高数-1.4函数极限

数列极限中

把n看作是连续变量，则：fx)

sinx

,

f(x)观察函

sin

当n时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势

x时的变化趋势通过演示实验的观察x无限增大时

f(x)

sinx

无限接近于用数学语言刻划函数“无fxA表

f(x)

x

表示

的过程((X)定义记

0,

0当x

X

f(x)

x

fx)

f(x)

(x定义

0,X

0,当x

X,

f(x)

记作x

fx)

f(x)

(x定 x

f(x)A

0,

X,

f(x)

几何解释A 当x

X或x

X时

y

fx)图形完全落在直线y

A为中心线

宽为2的带形区域内 证

x

sinx

证

取X 当xysinxsinxysinxsinx

1 sinx sinx

x

sinx

函数y

fx)在x

x0的过程中,fx)无限趋近于确定fxA表0x

表示x

x0的过程x0

x0 点x0的去心邻域

体现x接近x0程度 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于适合不等式0xx0

x,对应的函数

fx)满足不等

f(x)

,那末常数A就叫函fx)当x

时的极限,记x

f(x)

fx

A(x

x0定 x

f(x)A定义

x

时

(x)

注意函数极限与

x)在点x02.与任意给定的正数有关2、几何解释当x在x0的去心

A

yf(x)域时,函数y

f(x)

A线yA为中心线 宽为2的带形区域

x0

x0 显然,找到一个后,越小越好例 证

x

任取

当0

x

f(x)

C

0成立

limx

C例 证

limxx

x0

(x)A

xx0

取当0

x

时f(x)A

x

成立

limxx

x0例如

单侧极限

yy1fx)

1x, xx

x

yx2证明x0

f(

0两种情况分x从左侧无限趋近x0x从右侧无限趋近x0

记作

x0x0

0,

0,使当

x

x0时

(x)

记作xx00(xx0

fx

f(

0)

0,

0,使当x0x

x0

时记作xx000(xx0

f(x)f(x)

A

f(

0)注意:x0

x

{x0

x

{x

x

定理:x

f(例验证x证x

x

x不存在y1oxy1oxxx0

x0 limx0

xxx0

limx x0

x0左右极限存在但不相等

x0

f(

例f(

xsin1

xx

在x

0处的左、右极限是否存x2

x解

0

x的极限是否存在？

f(x)

lim(5x0

x2)

左极限存在

f(x)

xsinx

右极限存在

f(

x0

f(x)

f(

不存在函数极限的统一定xx

f(n)f(x)f(x)

x0xx0

f(x)

x0xx0

f(x)f(x)

f(x)

A

0,时刻,

(x)

nxxx N从此时刻以nxxxf(x)f(x)A xxx0xx0 从此时刻以0xx00xx0xx0f(x)f(x)A定理2（极限的四则运算注意：1.运算法则对自变量的任何一种变化过程都适用。2x代表自然数就指的是数列的极证（1）就函数Pm(x0)

0,

1142x4 142x

2 )

2 4 2

x2 x4x

3x2121x3x817xx2 ,mlim(x1)(xx1(x1)(x2

x1

x1- x1x型，通过x1x有gx)

f(x)

且x

g(x)

x

hxA,x

f(x)注:定理1同样x例证明limcosx

x2

1cosx2sin2

)22lim 2x0

由定理li1x0

x0limcosxx0C二、两个重要极

x

sinxx

ox 设单位圆

圆心角AOB

(0

x2作单位圆的切OAB的高为BDOB于是有sinx

x

tanx

AC由

一般

u(

sinu(x)u(x) 2lim(sinx 24x0 x 2

1cosx2 x0

cos

sin2 x2lim(1lim(11)xxx设

(1

1)n

单调递增、有界(e2.71828(e2.71828)lim(1n

1)nex1时

有x

x[x]

)[x

(1

1)

(1

1)[x]1[x]

[x]lim(1

x

[x]lim(1

)[x]1

lim(1

)1e,x

[x]

x

[x]lim1

1)[x

lim(1

1)[x]

lim(1

1)x

[

x

[

x

[x]

1)

e.x t

1

lim(1

lim

1)

lim

x

t

t

t

tlim(1

)t

)t1(1

)t

t

t

t

t lim(1x

)xet1x lim(1x

x)

lim(1t1

)tet lim(1x

x) u(x)

x)

)u(x)适用

x

1)xx 原式

1)x

x

x

1)1 e 求lim(3

x)2xx

解原式

x

x

)x2]2(1

x

)4

e2limlimx11)x ee1函数极

x

f(x)

A刻画函数在有限点 附邻域的性有界定理若

x

f(x)

A,则存在

0<|x

x0|<

x)证x

f(x)

A

0,

0,使得当0

x

|f(x)

即A

f(x)<Afx)在0

x

|中有结论：函数在某点有极限，则在其附近邻域有不等式性定理

设0x0

f(x)

x

g(x)

B,且A则

0,xU0x,),有

(x)

g(

若x

f(x)

A,且A

0(或A

则

0,当xU0x,)时

f(x)

0(或

(x)

00定理４（保序性若

0,

U0(x0,

有

(x)

g(推 若x

f(x)

A,且

0,当xU0

,)时0f(x)0

0(或

(x)

0),则A

0(或A

思考x

(x)

0,并且x5

fx)极限存在，则x5

f(x)0?x5

f(x)定理5（函数极限和数列极限的关系设函数

，xU0(x

x

f(x)

}是U0

,)00n的数列，且lim 00nn

x0,n

f(xn)应用：利用数列极限证明函数极限不存

limsin 思考x

x

lim

f(x)

x,g(x)

1,x