学案 垂直关系的判定 学案

垂直关系的判定学案课前预习导学目标导航学习目标重点难点1．通过实例，掌握直线和直线垂直、直线和平面垂直、平面和平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理，并会利用定理证明垂直关系．3．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”的概念，会求简单的二面角的平面角．重点：直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义、判定定理及推论．难点：直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理在证明题中的应用．疑点：二面角的平面角的作法.预习导引1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．(2)直线和平面垂直的判定定理①文字叙述：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．②符号表示：若aα，bα，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b，则l⊥α.③图形表示：④作用：线线垂直线面垂直．预习交流1能够证明直线l与平面α垂直的条件是()．①l与α内两条平行直线垂直；②l与α内两条相交直线垂直；③l与α内无数条直线垂直；④l与α内任意两条直线垂直；⑤l∥m，m⊥α；⑥直线m，n确定平面α，l⊥m，l⊥n.A．①②④ B．①③⑥ C．②④⑤ D．③④⑥提示：C2．二面角及其平面角(1)半平面的定义：一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法：以直线AB为棱，半平面α，β为面的二面角，记作二面角α­AB­β.(4)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．(5)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角．预习交流2以下命题正确的个数是()．①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱必垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的直线所成的角等于二面角的大小．A．0B．1C．2D．3提示：B3．平面与平面垂直的判定(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面和平面垂直的判定定理①文字叙述：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．②符号表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,a⊥β))α⊥β.③图形表示：④作用：线面垂直面面垂直．预习交流3如何理解平面和平面垂直的判定定理？提示：(1)本质：证面面垂直eq\o(――→,\s\up7(转化))证线面垂直．(2)关键：寻找其中一个平面的垂线．(3)找平面垂线的方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若不存在则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有助于证明，不能随意添加．课堂合作探究问题导学1．线面垂直的判定活动与探究1如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.思路分析：题设条件中的三棱锥的三条侧棱相等，AB⊥BC，D是AC的中点，要证(1)需在平面ABC内找两条相交直线与SD垂直，故等腰三角形底边的中线是可以利用的垂直关系，要证(2)，需设法在平面SAC内找两条相交直线与BD垂直，而(1)的结论可利用．证明：(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.迁移与应用1．已知四棱锥P­ABCD的底面是菱形，且∠ABC＝60°，PA＝PC＝2，PB＝PD.若O是AC与BD的交点，求证：PO⊥平面ABCD.证明：∵PA＝PC，PD＝PB，且O是AC和BD的中点，∴PO⊥AC，PO⊥BD.又AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.2．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上异于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC.(1)图中共有多少个直角三角形？(2)若AH⊥PC，且AH与PC交于H，求证：AH⊥平面PBC.(1)解：由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，又由题设知BC⊥AC.由BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A得BC⊥平面PAC，∵PC平面PAC，∴BC⊥PC.故图中有4个直角三角形：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB.(2)证明：由(1)知BC⊥平面PAC，AH平面PAC，∴BC⊥AH.又AH⊥PC，BC∩PC＝C，∴AH⊥平面PBC.名师点津1.利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．2．利用直线和平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底边的中线、高、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．2．面面垂直的判定活动与探究2如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝2eq\r(2)，E，F分别是AB，PD的中点．(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD.思路分析：(1)要证AF∥平面PCE，只需证明AF平行于平面PCE内的一条直线即可，取PC的中点G，则该直线为GE.(2)要证明平面PCE⊥平面PCD，只需证明GE⊥平面PCD，而由(1)知GE∥AF，故只需证明AF⊥平面PCD即可．证明：(1)取PC的中点G，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG＝eq\f(1,2)CD，且FG∥CD，AE＝eq\f(1,2)CD，且AE∥CD，∴FG＝AE，且FG∥AE，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥GE.∵GE平面PEC，AF平面PCE，∴AF∥平面PCE.(2)∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∵AF平面PAD，∴AF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD.∵GE平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD.迁移与应用1．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.证明：∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.2．如图，棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B，求证：平面AB1C⊥平面A1BC1.证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以B1C⊥平面A1BC1.又B1C平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.名师点津利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，关键是先证线面垂直，再证线在另一个平面内，最终得到面面垂直．具体方法是：线线垂直eq\o(――――――――→,\s\up7(线面垂直的判定定理))线面垂直eq\o(――――――――→,\s\up7(面面垂直的判定定理))面面垂直．3．综合问题活动与探究3如图，四棱锥S­ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P­AC­D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．思路分析：(1)要证AC⊥SD，可先证明AC⊥平面SBD.(2)要求二面角P­AC­D的大小，可先找出二面角的平面角，再进行计算．(3)是一探索性问题，可先假设存在点E，再根据线面、面面的平行关系进行推理论证．(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.(2)解：设正方形边长为a，则SD=a，又OD=a，所以∠SDO=60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P­AC­D的平面角．由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD=30°，即二面角P­AC­D的大小为30°.(3)解：在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.由(2)可得PD=a，故可在SP上取一点N，使PN=PD.过N作PC的平行线与SC的交点即为E.连接BN，在△BDN中，知BN∥PO.又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，这得BE∥平面PAC.由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1.迁移与应用如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)求证：BF∥平面ACGD；(2)求二面角A­EG­D的正切值．(1)证明：设DG的中点为M，连接AM，FM，则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABED分别交平面ABC，平面DEFG于AB，DE，∴AB∥DE，又AB＝DE，∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF平面ACGD，AM平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)解：连接AE，AG，EG，∵AD⊥平面DEFG，∴AD⊥DG，AD⊥DE.∵AD＝ED＝DG，∴AE＝AG.取EG的中点H，连接AH，DH，有AH⊥EG，DH⊥EG，则∠AHD是二面角A­EG­D的平面角．∵在Rt△ADH中，由AD＝DE＝DG＝2，得DH＝eq\r(2).∴tan∠AHD＝eq\f(AD,DH)＝eq\r(2)，故二面角A­EG­D的正切值为eq\r(2).名师点津1.二面角的平面角的作法(1)垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角；(2)垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；2．根据线线、线面、面面之间的垂直关系探讨点的位置，解题的思路是从特殊位置入手，一般是中点或线段的端点处．另外，对于解答题，在解答后面小题时可注意应用前面小题的结论．当堂检测1．给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．其中正确的命题共有()．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：①中两条直线若不相交，则直线与平面不一定垂直；①错误；由线面垂直的定义知②正确；由于梯形的两腰所在直线是相交的，故③正确；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则该直线与梯形所在平面不一定垂直，从而不一定垂直于两腰所在直线，④错误．答案：B2．经过平面外两点作与此平面垂直的平面，则这样的平面()．A．只能作一个 B．只能作两个C．可以作无数个 D．可作一个或无数个解析：当两点所在直线垂直于平面时，可作无数个；否则，有且仅有1个．答案：D3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有()．A．一对B．两对C．三对D．四对解析：平面PAB⊥平面ABC；平面PAC⊥平面ABC；平面PAB⊥平面PBC.答案：C4．如图，四棱锥P­ABCD