理论力学13-3动能定理

CvC牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:均质圆环在地面上作纯滚动时的动能见P183。vABC解：II

为AB杆的瞬心例2均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上，下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。O1例4求椭圆规的动能，其中OC、AB为均质细杆，质量为m和2m，长为a和2a，滑块A和B质量均为m，曲柄OC的角速度为w，j

=60°。解：在椭圆规系统中滑块A和B作平动，曲柄OC作定轴转动，规尺AB作平面运动。首先对运动进行分析，O1是AB的速度瞬心，因:ABOCjwvCvBvAwABABvAvCOCjO1wvBwAB对于曲柄OC： 规尺作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式求动能：系统的总动能为： BjA例5滑块A以速度vA在滑道内滑动，其上铰接一质量为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度w绕A转动，如图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j时，杆的动能。解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为

速度合成矢量图如图。由余弦定理则杆的动能vAwjBAlvAvCAvCvAw

例6一长为l，质量密度为ρ的链条放置在光滑的水平桌面上，有长为b的一段悬挂下垂，如图。初始链条静止，在自重的作用下运动。求当末端滑离桌面时，链条的速度。解得解:链条在初始及终了两状态的动能分别为

在运动过程中所有的力所作的功为由例7已知：

m

，R,f

，

。求纯滚动时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象，假设圆盘中心向下产生位移s时速度达到vc。s力的功：由动能定理得：解得：例8卷扬机如图，鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m2，质量均匀分布。设斜坡的倾角为α，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程S时的速度。

解：以系统为研究对象，受力如图。系统在运动过程中所有力所作的功为系统在初始及终了两状态的动能分别为aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC例9在对称连杆的A点，作用一铅垂方向的常力F，开始时系统静止，如图。求连杆OA运动到水平位置时的角速度。设连杆长均为l，质量均为m，均质圆盘质量为m1，且作纯滚动。解：分析系统，初瞬时的动能为设连杆OA运动到水平位置时的角速度为w，由于OA＝AB，所以杆AB的角速度也为w，且此时B端为杆AB的速度瞬心，因此轮B的角速度为零，vB=0。系统此时的动能为OaAFBwvAvB

系统受力如图所示，在运动过程中所有的力所作的功为解得OaAFBmgmgFSFNm1gFOxFOy由得BA

例15物块A和B的质量分别为m1、m2，且m1＞m2

，分别系在绳索的两端，绳跨过一定滑轮，如图。滑轮的质量为m，并可看成是半径为r的均质圆盘。假设不计绳的质量和轴承摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动，试求物块A的加速度和轴承O的约束反力。解一：取单个物体为研究对象。

分别以物块A、B和滑轮为研究对象，受力如图。分别由质心运动定理和定轴转动的微分方程，得m1gFAam2gFBaABOrF'BF'AFOxFOyOmga

由以上方程联立求解得：注意到

解二：用动能定理和质心运动定理。

解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统动能为所有力的元功的代数和为于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由微分形式的动能定理得

由质心坐标公式于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由得

解三：用动量矩定理和质心运动定理(或动量定理)。解：以整个系统为研究对象，受力如图，运动分析如图。系统对定轴的动量矩为然后按解二的方法即可求得轴承O的约束反力。BAm1gam2gaFOxFOyOmge由得OD(b)例18图示三棱柱体ABC的质量为m1，放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为q，求三棱柱体的加速度。qACBOvrwDavvevDvODvDa解：整体系统在水平方向上受力为零，所以系统的动量在水平方向上守恒。设某瞬时三棱柱的速度是v，圆柱体的角速度是w。求圆柱体的动量需要用O点的绝对速度，该速度可用两种方法求得：②基点法：取圆柱体与三棱柱的接触点D为基点，分析圆柱体中心O点的速度，如图(b)所示①复合运动法：取圆柱体中心O为动点，动系与三棱柱固连，则O点的速度分析如图(a)所示(a)