偏微分方程差分方法(内容参考)

材料供借鉴材料供借鉴#第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。椭圆型方程边值问题的差分方法差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson（泊松）方程u(2ux2

2u)f(x,y), (x,y)G （9.1）2Gx,y为分段光滑的闭曲线。当f(x,y)≡0（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 u(x,y) （9.2）第二边值条件

(x,y) （9.3）第三边值条件 (uku)

(x,y) （9.4）n表示Γ和k(x,y)都是已知的函数，k(x,y)≥0。满足方程和上述三种边值条件之一的光滑函数u(x,y)称为椭圆型方程边值问题的解。u(x,y)在区域G的一些离散节x y u x y 点（，）上的近似值,≈(，x y u x y i i ij i i格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。设G={0<x<a,0<y<b}为矩形区域，在x,y平面上用两组平行直线x=ih,i=0,1,…,N,h=a/N1 1 1 1y=jh,j=0,1,…,N,h=b/N2 2 2 2G剖分为网格区域，见图9-1hxy方向的剖分步长，网格1 2（x（G（xi i h i i i i材料供借鉴材料供借鉴#网格线与边界Γ的交点称为边界点，边界点集合记为Γ。hx y 现在将微分方程在每一个内节点（，x y i i iy）处，方程（9.1）为yi[2u(x,yx2 i

)2u(x,y2 i

)]f(x,yi i

), (x,yi

)Gh

（9.5）i i 需进一步离散中的二阶偏导数。为简化记号，简记节点）=(i,j)，节i i 代入（9.5）式中，得到方程（9.1）在节点(i,j)处的离散形式其中f

f(x,y

0(h

h2u(i,jui,j i i 1 2 ij足的差分方程h2i1,ji,ji1,jh2i,jh2i1,ji,ji1,jh2i,j1i,ji,j1i,j12

1[u2u u

]f

, (i,j)Gh

（9.6）在节点(i,j)处方程（9.6）逼近偏微分方程（9.1）的误差为O(h21

h2，它关于剖2分步长是二阶的。这个误差称为差分方程逼近偏微分方程的截断误差，它的大小将影响近似解的精度。i在差分方程i,juiui u u u h h ,，,，,，,，因此通常称式五点差分格式，当ui u u u h h +1j i-1j ij+1 ij-1 1 2它简化为差分方程中，方程个数等于内节点总数，但未知量除内节点值ui,j,(i,j)∈Gh(1,ju0j要利用给定的边值条件补充上边界点未知量的方程。对于第一边值条件式9.，可直接取u,α（xy，,∈Γ （9.）ij i i h对于第三=0时为第二）边值条件式(1,j9-2,利用一阶差商公式则得到边界点(0,j)处的差分方程u0,j

uh1

k0,j

u0,

r0,j（9.8）联立差分方程（9.6）与（9.7）或（9.8）就形成了求解Poisson方程边值问题的差分方程组，它实质上是一个关于未知量{ui,j}的线性代数方程组，可采用第2，3材料供借鉴材料供借鉴#章介绍的方法进行求解。这个方程组的解就称为偏微分方程的差分近似解，简称差分解。考虑更一般形式的二阶椭圆型方程[

(Au)

(Bu)C

D

Eu]f(x,y), (x,y)G （9.9）x x y y x yA(x,y)≥A

>0,B(x,y)≥B

>0,E(x,y)≥0。引进半节点x

x1hmin111

min

i 2

2 (Au)(i,j(Au)(i,j)1[(Au)(i1,j)(Au)(i1xxhx2x2

利用一阶中心差商公式，在节点（i,j）处可有1i 12

2 2,1

,j)]O(h2)11 u(i1,j)u(i,j) u(i,j)u(ij) [Ah i1,j h

A1i,j 1

]O(h2)11 2 1 2 1u(i1,j)u(ij)(i,j)

O(h2)2h 11对(Bu

u类似处理，就可推得求解方程（9.9）的差分方程y y y[a

ui1,j

a

ui1,j

a i,j1

i,j1

a i,j1

i,j1

ai,j

u i,j

（9.10）f(i,j), (i,j)Gh其中 ha h2(A 1C )i1,j 1

i1,j 22

i,ja h2(A hC )i1,j 1

1i1,j 2

i,jh2ha h2(B

2D )

（9.11）i,j1a

2 1i,jh2h12h2(B 12

i,jD )i,j1

2 i,j2

2 i,j1 a h2(1

A )h2(B

B )E11i,j 111

i,j i,

2 i,j

i,j

i,j2 2 2 2材料供借鉴材料供借鉴#A(x,y)=B(x,y)=1,C(x,y)=D(x,y)=E(x,y)=0（9.9）就成为Poisson方程9.，而差分方程9.1）就成为差分方程9.6。容易看出，差分方程（9.10）的截断误差为O(h21

h2阶。2一般区域的边界条件处理GG件的处理。考虑Poisson方程第一边值问题f(x,y), (x,y)G

(x,y), (x,y)

（9.12）其中G 可为平面上一般区域，例如为曲边区域。仍然用两组平行直线：x=x+ih,y=y+jh,i,j=0,±1,…,对区域G进行矩形网格剖分，见图9-3。0 1 0 2如果一个内节点（,j）的四个相邻节点（+1,j（-1,j（,+1）和（,-1）属于GG正则内点9-3（i,j）属于G且不为正则内点，则称其非正则内点，见图9-3中打号者。记正内点集合为G，非正则内点集合为。显然，当G 为矩形区域时，hGG,

h成立。h h h h在正则内点（i,j）处，完全同矩形区域情形，可建立五点差分格式1[u u ]h2 i1,j i,j i1,j1

1[uh22

i,j

i,j

ui,j1

]

i,j

, (i,j)G （9.13）h在方程（9.13）中，当（i在方程（9.13）中，当（i,j）点临近边界时，将出现非