142必修四第一章《正弦函数余弦函数性质》教学课件王卫

1.4.2必修四第一章?正弦函数余弦函数性质?讲课课件王卫1.4.2必修四第一章?正弦函数余弦函数性质?讲课课件王卫1.4.2必修四第一章?正弦函数余弦函数性质?讲课课件王卫高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案§正弦函数余弦函数的性质一、教材内容与分析〔一〕内容：正弦函数、余弦函数的性质〔二〕分析：?正弦函数和余弦函数的性质?是一般高中课程标准实验教材必修４中第四节的内容，对于函数性质的研究,本节课是在高一必修1中已经研究了指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质以及正弦函数、余弦函数的图象的知识后，对其周期性、奇偶性、单一性、最值和对称性等性质的再学习.所以作为高中最后一个根本初等函数的性质的研究,学生已经有些经验了.依据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特色得出正弦函数和余弦函数的性质。是今后研究正切函数的图象与性质、正弦型函数yAsin(x)的图象的知识基础和方法准备.其中,经过察看函数的图象,从图象的特色获得函数的性质是一个根本方法,这也是数形联合思想方法的应用。本节课第一让学生回想正弦函数、余弦函数的图象,从学生绘图象、察看图象下手,由此张开正弦函数、余弦函数性质的研究.因为三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不一样样于其余种类函数的最重要的地方,并且对于周期函数,我们只需认识清楚它在一个周期区间上的性质,那么就完满清楚它在整个定义域内的性质.。本节课的要点是正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单一性和最值，研究函数的思想方法.解决问题的要点是教师在讲课中重视培育学生运用函数图象分析问题、研究问题的能力、经历三角函数性质的商讨过程，让意会数形联合思想在商讨三角函数性质方面的应用，感觉研究函数性质的一般思路与方法.培育学生的数学应企图识.本课方案用4节课进行学习，此中正课3节，作业及讲评1节.二、讲课目的及分析目标：1、经过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单一性、最值和对称性，意会数形联合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单一区间、最值等。分析：1、目标1在于让学生意会到数形联合、概括的数学思想，能独立概括出的正弦函数、余弦函数的性质。、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单一性、最值等的求解。三、问题诊疗分析本节课的讲课中，学生可能出现以下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单一区间？不可以正确写出正弦函数、余弦函数的单一区间？学生出现这几个问题的原由是不理解正弦函数、余弦函数的实质，对函数的周期性、单一第1页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案性理解不透辟。学生运用数学知识解决实诘问题的能力还不强；在办理问题时学生考虑问题不深入，常常会造成错误的结果。解决这些问题的要点是联合图像变化趋向加以理解；联合定义，经过例题加以模拟。在此过程中，需要学生感觉概括的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，经过讨论、合作沟通、争辩获得正确的知识。四、讲课条件支持本节课的讲课中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有益于展现函数的图像，可以给学生直观的认识。五、讲课过程1、自学问题1：周期函数的见解是什么？问题2：正、余弦函数有如何的奇偶性和单一性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的见解是什么？设计企图：让学生察看函数的图像，认识函数的变化规律，培育学生的概括能力。师生活动：学生思虑并回复，教师指导。小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法〔几何法、五点法〕，图象变换法。并要修业生回想哪五个要点点。小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单一性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？两者有何互相联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生察看，并思虑以下问题：世界上有很多事物都表现“循环往复〞的变化规律，如年有四时更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理第2页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案论依据是什么？sin(x2k)sinx(kZ)小问题5：为了突出函数的这个特色，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由sin〔x2kπ〕sinx知:知:正弦函数值是依据必然规律不停重复地获得的.定义：对于函数f(x),假如存在一个非零常数T,使合适x取定义域内的每一个值时,都有f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.小问题6：周期函数的周期能否唯一？正弦函数的周期有哪些？由图可知,2,4,,2,4,,2k(kZ,k0)都是这两个函数的周期.小问题7：假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么,正弦函数的最小正周期是多少？为何？依据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kkZ,k0都是它的周期,最小正周期是2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由cos(x2kπ)cosx知:正、余弦函数是周期函数，2kπ〔k∈Z,k≠0〕都是它的周期，最小正周期是2π．例1求以下函数的周期:(1)y=3cosx,x∈R;(2)y=sin2x,x∈R;(3)y=2sin(x-),x∈R.6因为3cos(x+2π)=3cosx,依据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π能否是呢?让学生自己试一试,加深对见解的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx≠3cosx,所以π不是周期.教师指引学生察看2x,可把2x看作一个新的变量u,那么cosu的最小正周期是2,就是说,当u增添到u+2π时,函数cosu的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x增添到x+π且必然增添到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.第3页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案(3)因为2sin［1(x+4π)-］=2sin［(x-)+2π］=2sin(x-).所以由周期函数的262626定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π;(2)周期为π;(3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所拥有的一个根天性质，其余，正、余弦函数还拥有哪些性质呢？我们将对此作进一步研究.问题2：正、余弦函数有如何的奇偶性和单一性？设计企图：让学生察看函数的图像，认识函数的变化规律，数形联合，扫清了学生的思想阻拦，更好地打破了讲课的重难点，培育学生的概括能力。师生活动：学生思虑并回复，教师指导。小问题1：察看正、余弦函数的图象，说出函数图象有如何的对称性？其特色是什么？正弦函数图像对于原点对称，余弦函数的图像对于y轴对称.小问题2：上述对称性反应出正、余弦函数分别拥有什么性质？如何从理论上加以考证？由引诱公式sin(x)sinx,cos(x)cosx可知:正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.小问题3：察看正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单一区间进行整合？第4页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案从ysinx,x[,]的图象上可看出:22当x[2,]时,曲线渐渐上涨,sinx的值由1增大到12当x[,]时,曲线渐渐降落,sinx的值由1减小到12联合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是增函数,其值从1增大到1;22在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是减函数,其值从1减小到1.222kπ，π＋2kπ〕(k∈Z)上都是增函数，能否定小问题4：正弦函数在每一个开区间〔2为正弦函数在第一象限是增函数？小问题5：近似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？余弦函数在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是增函数,其值从1增添到1;余弦函数在每一个闭区间[2k,2k](kZ)上都是减函数,其值从1减小到1.问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？设计企图：让学生察看函数的图像，从图像上概括出函数的性质，培育学生的概括能力。师生活动：学生思虑并回复，教师指导。小问题1：察看正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数能否存在最大值和最小值？假定存在，其最大值和最小值分别为多少？小问题2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx获得最大值1和最小值－1？小问题3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx获得最大值1和最小值－1？小问题4：正弦曲线除了对于原点对称外，能否还对于其余的点和直线对称？正弦函数ysinx(xR)的对称中心是k,0kZ,对称轴是直线xkkZ;2小问题5：余弦曲线除了对于y轴对称外，能否还对于其余的点和直线对称？余弦函数ycosx(xR)的对称中心是k,0kZ,2对称轴是直线xkkZ(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴(中轴线)的交点).例2、以下函数有最大值、最小值吗?假如有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的会合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=cosx+1,x∈R;(2)y=-3sin2x,x∈R.解:(1)使函数y=cosx+1,x∈R获得最大值的x的会合,就是使函数y=cosx,x∈R获得最第5页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案大值的x的会合{x|x=2kπ,k∈Z};使函数y=cosx+1,x∈R获得最小值的x的会合,就是使函数y=cosx,x∈R获得最小值的x的会合{x|x=(2k+1)π,k∈Z}.函数y=cosx+1,x∈R的最大值是1+1=2,最小值是-1+1=0.(2)令Z=2x,使函数y=-3sinZ,Z∈R获得最大值的Z的会合是{Z|Z=-+2kπ,k∈Z},2由2x=Z=-+2kπ,得x=-+kπ.24所以使函数y=-3sin2x,x∈R获得最大值的x的会合是{x|x=-+kπ,k∈Z}.4同理,使函数y=-3sin2x,x∈R获得最小值的x的会合是{x|x=+kπ,k∈Z}.4函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3,最小值是-3.变式2、P40练习第3题.例3、函数的单一性,比较以下各组数的大小:(1)sin(-)与sin(-);(2)cos(2317).5)与cos(18104解:(1)因为<<18<0,正弦函数y=sinx在区间[,0]上是增函数,所以2102sin()>sin().1810(2)cos(23)=cos23=cos3,cos(17)=cos17=cos.555444因为0<<3<π,且函数y=cosx,x∈[0,π]是减函数,45所以cos>cos3,即cos(23)<cos(17).4554变式3、(1)cos15>cos14;89(2)sin(54)>sin(637).8例4、函数y=sin(1x+),x∈[-2π,2π]的单一递加区间.解:令Z=1x+23.函数y=sinZ的单一递加区间是3+2kπ,+2kπ］.22由-+2kπ≤1x+≤+2kπ,得5π≤≤+4kπ,k∈Z.22323+4kx3第6页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案由x∈［-2π,2π］可知,-2π≤5π且+4kπ≤2π,于是1≤≤5,因为k∈+4k12k125533Z,所以k=0,即≤x≤3,而［,］［-2π,2π］,3x+335所以,函数y=sin(),x∈[-2π,2π]的单一递加区间是［,］.2333变式4、求函数y=1sin(4-2x)的单一递减区间及单一递加区间.23解:y=1sin(-2x)=-1sin(2x-).243234由2kπ-≤2x-≤2kπ+,233492可得3kπ≤x≤3kπ(k∈Z),为单一减区间;88由2kπ+≤2x-≤2kπ+3,2342可得3kπ+9≤x≤3kπ+21(k∈Z),为单一增区间.883,3kπ+9］(k∈Z);所以原函数的单一减区间为［3kπ88原函数的单一增区间为［3kπ+9,3kπ+21］(k∈Z).88六、目标检测一、选择题1.以下函数在[,]上是增函数的是〔〕2A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.yx=cos22.以下四个函数中，既是0,上的增函数，又是以为周期的偶函数的是〔〕.2A.ysinxB.ysin2xC.ycosxD.ycos2x二、解答题3.比较sin2500、sin2600的大小.分析：经过引诱公式把角度化为同一单一区间，利用正弦函数单一性比较大小解：∵y=sinx在[2k，32k]〔∈〕，上是单一减函数，22kZ又2500<2600∴sin2500>sin2600第7页共9页高一数学必修4第一章第四节主备人：王卫讲课方案4.求函数y=sin(2x+)的单一增区间．3分析：求函数的单一增区间时，应把三角函数符号后边的角看作一个整体，采纳换元的方法，化归到正、余弦函数的单一性．解：令z=2x+3，函数y=sinz的单一增区间为[22k，2k]．52由2k≤2x+≤2k得≤x≤k2k1223512故函数y=sinz的单一增区间为[k，k]〔ｋ∈Ｚ〕1212讨论：“整体思想〞解题5.求函数y=sin(-2x+)的单一增区间.3解：令