(学)高中数学数列放缩专题用放缩法处理数列和不等问题模板

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数列和不等问题〔教师版〕

一．先乞降后放〔主假如先裂乞降，再放理〕例1．正数数列an的前n的和Sn，足2Snan1，求：〔1〕数列an的通公式；〔2〕bn1，数列bn的前n的和Bn，求：Bn1anan21解：〔1〕由得4Sn(an1)2，n2，4Sn1(an11)2，作差得：4anan22anan212an1，所以(anan1)(anan12)0，又因an正数数列，所以anan12，即an是公差2的等差数列，由2S1a11，得a11，所以an2n1〔2〕bn111)1(111)，所以anan1(2n1)(2n22n2n1Bn1(111111)11123352n12n122(2n1)2真演1：(06全国1卷理科22)数列an的前n的和,Sn4an12n12，n1,2,3,ggg333nn3.〔Ⅰ〕求首a1与通an；〔Ⅱ〕Tn2，n1,2,3,ggg，明：TiSni1241n+12412解:(Ⅰ)由Sn=3an－3×2+3,n=1,2,3，⋯,①得a1=S1=3a1－3×4+3所以a1=241n2再由①有Sn－1=3an－1－3×2+3,n=2,3，4,⋯41n+1n将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=3(an－an－1)－3×(2－2),n=2,3,⋯整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,⋯,因此数列{an+2n}是首a1+2=4,公比4的等比数列,即:nn－1n⋯,nn⋯,an+2=4×4=4,n=1,2,3,因此an=4－2,n=1,2,3,nn4nn1n+121n+1n+1(Ⅱ)将an=4－2代入①得Sn=3×(4－2)－3×2+3=3×(2－1)(2－2)23×(2n+1－1)(2n－1)2n32n311Tn=Sn=2×(2n+1－1)(2n－1)=2×(2n－1－2n+1－1)nTi3n(11)=3113所以,=2i－1－i+1－×(1－2n11)<i12i12122－121二．先放缩再乞降1．放缩后成等比数列，再乞降例2．等比数列n中，a11，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列．a2an21．设bnan，数列bn前n项的和为Tn，证明：Tn13解：∵A9A7a8a9，A8A9a9，a8a9a9，∴公比a91q．a821111∴an(n．bn4n．)14n(2)n32n21(n)2〔利用等比数列前n项和的模拟公式SnAqnA猜想〕11∴Bnb1b2bn11112(122)111．3232232n3113(12n)32真题操练2：(06福建卷理科22题)数列an知足a11,an12an1(nN*).〔I〕求数列an的通项公式；〔II〕假定数列bn滿足4b114b21L4bn1(an1)bn(nN*)，证明：数列bn是等差数列；〔Ⅲ〕证明：n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an12〔I〕解：Qan12an1(nN*),an112(an1),an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an12n.即an221(nN*).〔II〕证法一：Q4k114k21...4kn1(an1)kn.4(k1k2...kn)n2nkn.2[(b1b2...bn)n]nbn,①2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.②②－①，得2(bn11)(n1)bn1nbn,2(n1)bn1nbn20,nbn2(n1)bn120.③－④，得nbn22nbn1nbn0,即bn22bn1bn0,bn2bn1bn1bn(nN*),b是等差数列n〔III〕证明：Qak2k12k11,k1,2,...,n,ak12k112(2k12)2a1a2...ann.a2a3an12Qak2k112(2k11)1k1211.1,k1,2,...,n,ak12k112122k232ka1a2...ann111...1n1(11n1a2a3an1(22n)2n),23222323n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an122．放缩后为“差比〞数列，再乞降例3．数列{a}知足：a1，n．求证：n1an1(1n)an(n1,2,3)an1an3n1n122证明：因为an1(1nn)an，所以an1与an同号，又因为a110，所以an0，2即an1annan0，即an1an．所以数列{an}为递加数列，所以ana11，2n即an1annann，累加得：ana112n1．2n2n2222n1令Sn12n11Sn12n12222n1，所以222232n，两式相减得：11111n1n1n12Sn222232n12n，所以Sn22n1，所以an32n1，故得an1an3n1．2n13．放缩后成等差数列，再乞降例4．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an2an2Sn.322(1)求证：Snanan1；4(2)求证：SnS1S2SnSn1122解：〔1〕在条件中，令n1，得a12a12S12a1，a10a11，又由条件an2an2Sn有an21an12Sn1，上述两式相减，注意到an1Sn1Sn得(an1an)(an1an1)0an0an1an0∴an1an1所以，an11(n1)n(n1)n，Sn2n(n1)1n2(n1)2an2an12所以Sn2?242〔2〕因为nn(n1)n1，所以nn(n1)n1，所以222S1S2Sn1223n(n1)23n1222222n23nSn11；S1S2Sn12nn(n1)Sn222222222练习：1.〔08南京一模22题〕设函数f(x)1x2bx3，不论,为什么实数，恒有f(cos)0且44N*).f(2sin)0.关于正数列an，其前n项和Snf(an)，(n(Ⅰ)务实数b的值；〔II〕求数列an的通项公式；〔Ⅲ〕假定cn11,nN，且数列cn的前n项和为Tn，试比较Tn和1的大小并证明之.an6解：(Ⅰ)b1〔利用函数值域夹逼性〕；〔II〕an2n1；2〔Ⅲ〕∵cn1111，∴Tnc1c2c31111(2n2)222n12n3⋯+cn6232n32.〔04全国〕数列{an}的前n项和Sn知足：Sn2an(1)n，n1〔1〕写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；〔2〕求数列{an}的通项公式；4〔3〕证明：对随意的整数m4，有1117a4a5am8剖析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由得：anSnSn12an(1)n2an1(1)n1〔n>1〕化简得：an2an12(1)n1an2an12,an22[an12](1)n(1)n1(1)n3(1)n13故数列{an2}是以a12为首项,公比为2的等比数列.(1)n33故an2(1)(2)n1∴an2[2n2(1)n](1)n333∴数列{an}的通项公式为：an2[2n2(1)n].3⑶察看要证的不等式，左侧很复杂，先要想法对左侧的项进行适合的放缩，使之可以乞降。而左侧=11L13[11L1]，假如我们把上式中的分母中的1去掉，便可利a4a5am22212312m2(1)m用等比数列的前n项公式乞降，因为-1与1交织出现，简单想到将式中两项两项地归并起来一同进行放缩，试试知：2211111，123222311111，所以，可将2211保留，再将后边的项两两组合后放缩，即可乞降。这里需要对232412324m进行分类议论，〔1〕当m为偶数(m4)时，1111(11)(11)a4a5ama4a5a6am1am1311122(23242m2)131(11)2242m4137288〔2〕当m是奇数(m4)时，m1为偶数，111111117a4a5ama4a5a6amam185所以随意整数m4，有1117。a4a5am8本的关是并后行适合的放。3.〔07武市模〕定数列以下：a12,an1an2an1,nN求：〔1〕于nN恒有an1an建立；〔2〕当n2且nN，有an1anan1a2a11建立；〔3〕11111122006a1a2a2006剖析：〔1〕用数学法易。〔2〕由an1an2an1得：an11an(an1)an1an1(an11)⋯⋯a21a1(a11)以上各式两分相乘得：an11anan1a2a1(a11)，又a12an1anan1a2a11〔3〕要不等式111111，20062a1a2a2006可先法乞降：111，再行适合的放。a1a2a2006an11an(an1)111111an11an1ananan1an1111111)1111a1a2a2006(a2()()a111a21a31a20061a200711111111又a1a2a2006a1200622006a1a2007a1a2a20061111原不等式得。a200622006a1a2本的关是依据条件裂乞降。6数列和不等问题〔学生版〕一．先乞降后放缩〔主假如先裂项乞降，再放缩办理〕例1．正数数列an的前n项的和Sn，知足2Snan1，试求：〔1〕数列an的通项公式；1bn的前n项的和为Bn1〔2〕设bn，数列，求证：Bnanan12真题操练1：(06全国1卷理科22题)设数列an的前n项的和,Sn4an12n12，n1,2,3,ggg333nn3.〔Ⅰ〕求首项a1与通项an；〔Ⅱ〕设Tn2，n1,2,3,ggg，证明：TiSni127二．先放缩再乞降1．放缩后成等比数列，再乞降例2．等比数列n中，a11，前n项的和为Sn，且S7,S9,S8成等差数列．a22设bn1an，数列bn前n项的和为Tn，证明：Tn1．an3真题操练2：(06福建卷理科22题)数列an知足a11,an12an1(nN*).〔I〕求数列an的通项公式；〔II〕假定数列b11b21bn1bn*n滿足44L4(an1)(nN)，证明：数列bn是等差数列；b〔Ⅲ〕证明：n1a1a2...ann(nN*).23a2a3an1282．放缩后为“差比〞数列，再乞降例3．数列{an}知足：a11，an1nn1(1n)an(n1,2,3)．求证：an1an32n123．放缩后成等差数列，再乞降例4．各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且an2an2Sn.22(1)求证：Snanan1；4(2)求证：SnSSSSn11212n29练习：1.〔08南京一模22题〕设函数f(x)1x2bx3，不论,为什么实数，恒有f(cos)0且f(2sin)0.关于正数列44N*).n，其前n项和Snf(an)，(na(Ⅰ)务实数b的值；〔II〕求数列an的通项公式；〔Ⅲ〕假定cn1,nN，且数列cn的前