2020-2021中考数学-平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案

2020-2021中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习及详细答案一、平行四边形1.在四边形ABCD中，ZB+ZD=180。，对角线AC平分ZBAD.（1）如图1,若ZDAB=120。，且ZB=90。，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.2）如图2,若将（1）中的条件“ZB=90。”去掉,（1）中的结论是否成立？请说明理cccB图3（3）如图cccB图3（3）如图3,若ZDAB=90。，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由.【答案】（1）AC=AD+AB.证明见解析；（2）成立；（3）AD+AB=、；2aC•理由见解析.解析】11试题分析：（1）结论：AC=AD+AB,只要证明AD=-AC,AB=-AC即可解决问题;（2）（1）中的结论成立.以C为顶点，AC为一边作ZACE=60°,ZACE的另一边交AB延长线于点E,只要证明厶DAC竺△BEC即可解决问题；（3）结论：AD+AB=込AC.过点C作CE丄AC交AB的延长线于点E,只要证明厶ACE是等腰直角三角形，△DAE△BEC即可解决问题;试题解析：解：（1）AC=AD+AB.理由如下：如图1中,在四边形ABCD中，ZD+ZB=180°,ZB=90°,ZD=90°,TZDAB=120°,AC平分ZDAB,.ZDAC=ZBAC=60°,TZB=90°,

AB11-AC,同理AD=-AC.AB11-AC,同理AD=-AC..AC=AD+AB．(2)(1)中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作/ACE=60°,ZACE的另一边父AB延长线于点E，TZBAC=60°,.△AEC为等边三角形，.AC=AE=CE，TZD+ZABC=180°，ZDAB=120°，.ZDCB=60°，.ZDCA=ZBCE，TZD+ZABC=180°，ZABC+ZEBC=180°.ZD=ZCBE，TCA=CE，.△DAC竺△BEC，.AD=BE，.AC=AD+AB．(3)结论：AD+AB=込AC.理由如下:过点C作CE丄AC父AB的延长线于点E，TZD+ZB=180°，ZDAB=90°,.DCB=90°，TZACE=90°，.ZDCA=ZBCE，又TAC平分ZDAB,.ZCAB=45°，.ZE=45°..AC=CE.又TZD+ZABC=180°，ZD=ZCBE，△CDA竺△CBE,AD=BE,.AD+AB=AE．在RtAACE中，ZCAB=45°,.AE=ACf：'2Ccos45°.AD+AB=2AC.2．问题发现：如图①，点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使其同时平分平行四边形ABCD的面积和周长.问题探究：(2)如图②，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，点B坐标为(8,6).已知点p(6,7)为矩形外一点，请过点p画一条同时平分矩形OABC面积和周长的直线l，说明理由并求出直线l，说明理由并求出直线l被矩形ABCD截得线段的长度.问题解决：(3)如图③，在平面直角坐标系x°y中，矩形OABCD的边OA、OD分别在x轴、y轴正半轴上，DCIIx轴，AB〃y轴，且OA=OD=8，AB=CD=2，点P(10-5^2,10-5迈)为五边形内一点•请问：是否存在过点P的直线l，分别与边OA与BC交于点E、F,且同时平分五边形OABCD的面积和周长?若存在，请求出点E和点F的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】(1)作图见解析；(2)y=2x-5，3弱；(3)E(0,0)，F(5,5).【解析】试题分析：(1)连接AC、BD交于点0,作直线P0,直线PO将平行四边形ABCD的面积和周长分别相等的两部分．连接AC,BD交于点O'，过O'、P点的直线将矩形ABCD的面积和周长分为分别相等的两部分.存在，直线y=x平分五边形OABCD面积、周长.试题解析：（1）作图如下：(2)•••P(6,7)，O'(4,3),设PO':y=kx+66k+6k+b=74k+b=3k{b2-5(5)交x轴于N-,0V2丿交BC于MMN=2、丿5-2+2MN=2、丿5-2+263-(3)存在，直线y=x平分五边形OABCD面积、周长.•••P(10-\.2,10-5打2)在直线y=x上,连OP交OA、BC于点E、F,设BC:y=kx+b，B(&2)C(2,8)，8k+b=2k=-1{2k+=8，{b=10，.直线BC:y=-x+10，y=-x+10\x=5联立{，得\＜，y=x〔y=5.E(0,0)，F(5,5)．（郢）（郢）3．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2,分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF,则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3,在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI.已知三个正方形面积分别是17、13、10,在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为J、」I的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积.若△ABC的面积为2,求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积.SC（動）?H【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可.（2）根据互补三角形的定义证明即可.（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可.②平移△CHG到AMF,连接EM,IM，则AM=CH=BI,只要证明S^EFM=3S^ABC即可.试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD,△ABD和厶ADC是互补三角形.

(2)如图2中，延长FA到点H,使得AH=AF,连接EH.•四边形ABDE，四边形ACGF是正方形,AB=AE,AF=AC,ZBAE=ZCAF=90°,ZEAF+ZBAC=180°,.△AEF和厶ABC是两个互补三角形.TZEAH+ZHAB=ZBAC+ZHAB=90°,.ZEAH=ZBAC,TAF=AC,.AH=AB,在厶AEH和厶ABC中，AE~AB2LEAB-^_BACAH-AC.△AEH竺△ABC,…SAAEF=S"EH=S"BC(3)①边长为J、J"的三角形如图4所示.TS人abc=3x4-2-1.5-3=5.5,△ABC.S六边形7+13+10+4x5.5=62.②如图3中，平移△CHG到AMF,连接EM,IM,则AM=CH=BI，设ZABC=x,-AMIICH,CH丄BC,.AM丄BC,•ZEAM=90°+90°-x=180°-x,-ZDBI=360°-90°-90°-x=180°-x,.ZEAM=ZDBI,TAE=BD,.△AEM竺△DBI,•在△DBI和厶ABC中，DB=AB,BI=BC,ZDBI+ZABC=180°,-△DBI和厶ABC是互补三角形，■S"EM=SAAEF=SAAFM=2,■'△efm=3Saabc=&考点：1、作图-应用与设计,2、三角形面积4.如图，四边形ABCD中，ZBCD=ZD=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.设BC=x,CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；当ZB=70°时，求ZAEC的度数；当厶ACE为直角三角形时，求边BC的长.DA【答案】(1)y=x2+2X+3(0<X<3)；(2)ZAEC=105°；(3)边BC的长为2或2或1+4v72【解析】试题分析：(1)过A作AH丄BC于H,得到四边形ADCH为矩形.在△BAH中，由勾股定理即可得出结论.(2)取CD中点几连接7E,则TE是梯形中位线，得ETIAD,ET丄CD,ZAET=ZB=70°.又AD=AE=1，得到ZAED=ZADE=ZDET=35°.由ET垂直平分CD,得ZCET=ZDET=35°,即可得到结论.

(3)分两种情况讨论：①当/AEC=90°时，易知△CBE竺△CAE^△CAD,得/BCE=30°,解厶ABH即可得到结论.②当/CAE=90°时，易知△CDA-△BCA,由相似三角形对应边成比例即可得到结论.试题解析：解：(1)过A作AH丄BC于H.由/D=ABCD=90°，得四边形ADCH为矩形.在厶BAH中，AB=2,ZBHA=90°,AH=y,HB=X一1,22=y2+x-12,贝9y=、：—x2+2x+3(0vxv3)(2)取CD中点几联结IE,则TE是梯形中位线，得ETIIAD,ET丄CD,.ZAET=ZB=70°.又AD=AE=1,.ZAED=ZADE=ZDET=35°.由ET垂直平分CD,得ZCET=ZDET=35°,.ZAEC=70°＋35°=105°.(3)分两种情况讨论：①当ZAEC=90°时，易知△CBE竺△CAE^△CAD,得ZBCE=30°,则在△ABH中，ZB=60°,ZAHB=90°,AB=2,得BH=1,于是BC=2.②当ZCAE=90°时，易知△CDA-△BCA,又AC=.-BCi-ABi=x2一4,ADCA则AC—CB舍负)x2-ADCA则AC—CB舍负)n=nx=x易知ZACE<90°，所以边BC的长为呼.综上所述：边BC综上所述：边BC的长为2或呼•点睛：本题是四边形综合题.考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.5.如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEIIBC,过点D作DEIIAB,DE与AC、AE分别交于点0、点E,连接EC.(1)求证：AD=EC；(2)见解析.【解析】【分析】先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形即可；由/BAC=90°,AD是边BC上的中线，得AD=BD=CD，即可证明.【详解】证明：TAEIIBC，DEIIAB，••四边形ABDE是平行四边形，AE=BD，TAD是边BC上的中线，BD=DC，AE=DC，又TAEIIBC，•四边形ADCE是平行四边形.⑵证明：TZBAC=90°,AD是边BC上的中线.AD=CDT四边形ADCE是平行四边形，•四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.6.(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,过点0作直线EF丄BD,交AD于点E,交BC于点F,连接BE、DF，且BE平分/ABD.求证：四边形BFDE是菱形；直接写出/EBF的度数；把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI,连接GD,H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J,连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF,使ADEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.【答案】(1)①详见解析；②60°.(2)IH=爲FH；(3)EG2=AG2+CE2.【解析】【分析】①由△DOE^△BOF,推出EO=OF,VOB=OD,推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB=ED即可.②先证明/ABD=2ZADB,推出/ADB=30°,延长即可解决问题./H=p'3FH.只要证明厶IJF是等边三角形即可.结论：EG2=AG2+CE2.如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM,先证明厶DEG^△DEM,再证明△ECM是直角三角形即可解决问题.【详解】(1)①证明：如图1中，V四边形ABCD是矩形,ADIIBC,OB=OD,ZEDO=AFBO,在厶DOE和厶BOF中,^ZEDO=ZFBO<OD=OB,ZEOD=ZBOF△doe竺△BOF,.EO=OF,VOB=OD,.四边形EBFD是平行四边形,EF±BD,OB=OD,.EB=ED,.四边形EBFD是菱形.②VBE平分ZABD,ZABE=ZEBD,EB=ED,ZEBD=ZEDB,ZABD=2ZADB,ZABD+ZADB=90°,:.乙ADB=30°,ZABD=60°,ZABE=ZEBO=ZOBF=30°,ZEBF=60°.(2)结论：IH=氏FH.理由：如图2中，延长BE到M,使得EM=EJ，连接MJ.T四边形EBFD是菱形，ZB=60°,.EB=BF=ED,DEIIBF,.ZJDH=ZFGH,在厶DHJ和厶GHF中，2dhg=zghfDH=GH,ZJDH=ZFGH.△DJ△GHF,DJ=FG,JH=HF,EJ=BG=EM=BI,.BE=IM=BF,TZMEJ=ZB=60°,.△MEJ是等边三角形，MJ=EM=NI,ZM=ZB=60°在厶BIF和厶MJI中，〜BI=MJZB=ZM,、BF=IM.△BIF里△MJI,.IJ=IF,ZBFI=ZMIJ,THJ=HF,.IH丄JF,TZBFI+ZB/F=120°,ZMIJ+ZB/F=120°,ZJ/F=60°,.△JIF是等边三角形，在RtAIHF中，TZIHF=90°,Z/FH=60°,ZFIH=30°,IH=弋3FH.(3)结论：EG2=AG2+CE2.理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM,TZFAD+ZDEF=90°,••AFED四点共圆，ZEDF=ZDAE=45°,ZADC=90°,ZADF+ZEDC=45°,TZADF=ZCDM,ZCDM+ZCDE=45°=ZEDG,在厶DEM和厶DEG中，〜DE=DE<ZEDG=ZEDM,、DG=DM△DEGZ△DEM,GE=EM,TZDCM=ZDAG=ZACD=45°,AG=CM,ZECM=90°EC2+CM2=EM2,TEG=EM,AG=CM,GE2=AG2+CE2.【点睛】考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.7.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点.在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且ZMON=90°；在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于(1)中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余(画出一种即可).

【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.【解析】试题分析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可；（2）根据勾股定理画出图形即可．试题解析：（1）过点O向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1所示；（2）等腰直角三角形MON面积是5,因此正方形面积是20（2）等腰直角三角形MON面积是5,因此正方形面积是20,如图2所示；于是根据勾股定理画出图3：AA图3考点：1•作图-应用与设计作图；2•勾股定理.8如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以线段AB为边向外作等边厶ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.

（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6,求平行四边形ADBC的面积.答案】（1）见解析；2)S平行四边形ADBC解析】分析】11(1)在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=-AB,BE=-AB,得到上BCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC，得上AFE=ZBCE=60°.又上D=60°，得上AFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因为上BAD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtAABC中，求出BC，AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在厶ABC中，ZACB=90°，ZCAB=30°，AZABC=60°，在等边厶ABD中，ZBAD=60°，AZBAD=ZABC=60°，VE为AB的中点，AAE=BE，又：ZAEF=ZBEC，11A△AEF^△BEC，在△ABC中，ZACB=90°，E为AB的中点，ACE=AB，BE=—AB,22ACE=AE,AZEAC=ZECA=30°,AZBCE=ZEBC=60°,又:△AEF竺△BEC,AZAFE=ZBCE=60°,又：ZD=60°,AZAFE=ZD=60°,AFCIIBD,又VZBAD=ZABC=60°,AADIIBC,即FDIIBC,A四边形BCFD是平行四边形；⑵解：在RfABC中,VZBAC=30°，AB=6,ABC=AF=3,AC=3訂,AS平行四边形S"CFS"CF=2x3x3J3=罕，平行四边形ADBC【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30,0）,交y轴于点D（0,140），直线AB：y=3x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF丄x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.（1）求边EF的长；

（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒\；10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒\；10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t>0）.当点行移动到点B时，求t的值；当q,H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与氐APE重叠部分的面积．DF.220E0EM音用囲【答案】（1）EF=15；（2）①10；②120；【解析】【分析】4（1）根据已知点E（30，0）,点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-3x+40，可求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；（2）①易求B（0，5）,当点F1移动到点B时，t=10*：T0^.10=10；②F点移动到F'的距离是.101，F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DETOC\o"1-5"\h\zNF1MH'4上时，在RtAF'NF中，nF=3，EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtADMH'中，=3，451023PK1t=4,S=x(12+)x11=；当点G运动到直线DE上时，在RtAF'PK中，=-48FK3PK=t-3,F'K=3t-9，在RtAPKG'PK=t-3,F'K=3t-9，在RtAPKG'中,PKKGH3379=3，t=7,S=15x(15-7)=120-【详解】（1）设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E（30，0），点D（0，40），j30k+b二0"lb二40，43,b=404••y—i3x+40,直线AB与直线DE的交点P（21，12），^4^4由题意知F(30，15)EF=15；(2)①易求B(0,5),•••当点卩］移动到点B时，t=1O\：•••当点卩］移动到点B时，t=1O\：T0十=10；F点移动到F'的距离是\-10t,10231023NF1在RtAF'NF中，=乂NF3.FN=t,F'N=3t,•:MH'=FN=t,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在RtADMH'中，MH'_4EM一3,.t_4…15-3t~3,.t=4，.EM=3，MH'=4，S=1x(12+45)x11二24当点G运动到直线DE上时,F点移动到F'的距离是y帀t,TPF=3J10,•••PF'=t-3近0,在RtAF'PK中，PK_1FK_3，PK=t-3,F'K=3t-9,PKt-34在RfPKG'中，应=石右=3，t=7，S=15x(15-7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影部分的面积是解题的关键．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF.FH平分ZEFB交BD于点H.求证：DE丄DF；求证：DH=DF:过点H作HM丄EF于点M,用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)EF=2AB-2HM，证明详见解析.解析】分析】根据正方形性质，CF=AE得到DE丄DF.由AAED^△CFD，得DE=DF.由ZABC=90。,BD平分ZABC,得上DBF=45。.因为FH平分ZEFB，所以ZEFH=ZBFH.由于ZDHF=上DBF+ZBFH=45O+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45O+ZEFH,所以DH=DF.过点H作HN丄BC于点N，由正方形ABCD性质，得BD=、：'AB2+AD2=42AB•由FH平分^EFB，HM丄EF,HN丄BC,得HM=HN.因为ZHBN=45。，ZHNB=90。，所以BH=HN=42HN=J2HM.sin45oDF由EF==、'2dF=、'2dH，得EF=2AB-2HM.cos45o【详解】证明：t四边形ABCD是正方形，AD=CD，ZEAD=ZBCD=ZADC=90。.ZEAD=ZFCD=90。.tCF=AE。△AED^△CFD..ZADE=ZCDF..ZEDF=ZEDC+ZCDF=ZEDC+ZADE=ZADC=90。..DE丄DF.证明：t△AED^△CFD，.DE=DF.tZEDF=90。，.ZDEF=ZDFE=45。.tZABC=90。，BD平分ZABC，.ZDBF=45。.tFH平分ZEFB，.ZEFH=ZBFH.tZDHF=ZDBF+ZBFH=45°+ZBFHJZDFH=ZDFE+ZEFH=45°+ZEFH,.ZDHF=ZDFH..DH=DF.EF=2AB-2HM.证明：过点H作HN丄BC于点N，如图，…BD=\：AB2+AD2=\：2AB-fh平分ZEFB,HM丄EF,HN丄BC,HM=HN.ZHBN二45。,ZHNB二90。,.BH二HN=^HN=^HMsin45。.DH=BD-BH=J2AB-迈HM.EF=DFf2DFf2DH,cos45。.EF=2AB-2HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.11.菱形ABCD中、ZBAD=120°，点0为射线CA上的动点，作射线0M与直线BC相交于点E,将射线0M绕点0逆时针旋转60°,得到射线ON,射线ON与直线CD相交于点F.如图①，点0与点A重合时，点E,F分别在线段BC,CD上，请直接写出CE，CF，CA三条段段之间的数量关系；如图②，点0在CA的延长线上，且0A=3AC,E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE,CF,CA三条线段之间的数量关系，并说明理由；点0在线段AC上，若AB=6,B0=2、耳，当CF=1时，请直接写出BE的长.

【解析】【分析】如图①中，结论：CA=CE+CF.只要证明厶AD思△ACE(SAS)即可解决问题；结论：CF-CE=3AC.如图②中，如图作OGIIAD交CF于OGC是等边三角形.只要证明△FOG竺△EOC(ASA)即可解决问题；分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.【详解】AB=AD=DC=BC,ZBAC=ZDAC=60°••△ABC,△ACD都是等边三角形，TZDAC=ZEAF=60°,.ZDAF=ZCAE，TCA=AD，ZD=ZACE=60°，△ADF竺△ACE(SAS),.DF=CE，.CE+CF=CF+DF=CD=AC，.CA=CE+CF.4(2)结论:CF-CE=3AC.理由：如图②中，如图作OGIIAD交CF于6,则厶OGC是等边三角形.

圍②\弋•••ZGOC=ZFOE=60°,ZFOG=ZEOC,TOG=OC,ZOGF=ZACE=120°,.△FOG竺△EOC(ASA),.CE=FG,TOC=OG,CA=CD,.OA=DG,14CF-EC=CF-FG=CG=CD+DG=AC+_AC=AC,3(3)作BH丄AC于H.TAB=6,AH=CH=3,BH=3*3,如图③-1中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.TOB=2J7,.OH=七OB2BH2=1,.OC=3+1=4，由（1）可知：CO=CE+CF,TOC=4，CF=1，.CE=3，.BE=6-3=3.如图③-2中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时.

由（2）可知：CE-CF=OC,CE=4+1=5,BE=1.如图③-3中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时.同法可证：OC=CE+CF,TOC=CH-OH=3-1=2,CF=1,.CE=1，.BE=6-1=5.如图③-4中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时.同法可知：CE-CF=OC，.CE=2+1=3，.BE=3，综上所述，满足条件的BE的值为3或5或1.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．12.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(-6,0)、点C(0,6),若正方形OABC绕点O顺时针旋转，得正方形OA'B'C'，记旋转角为a：如图①，当a=45。时，求BC与A®的交点D的坐标；如图②，当a=60°时，求点B'的坐标；【答案】(1)(6-6巨,6)；(2)(3运-3,3+3吕；(3)3迈-3剟AP3迈+3.【解析】【分析】当a=45。时，延长0Az经过点B,在RtABAZD中，ZOBC=45°，AZB=6迈—6，可求得BD的长，进而求得CD的长，即可得出点D的坐标；过点C'作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B'作MN的垂线，垂足为N,证明△OMC'^△C'NBZ,可得C'N=OM=,BZN=C'M=3,即可得出点Bz的坐标；连接OB,AC相交于点K,则K是OB的中点，因为P为线段BU的中点，所以PK=1OU=3，即点P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP长的取值范围.【详解】解：(1)TA(-6,0).C(0,6),O(0,0),•••四边形OABC是边长为6的正方形，当a=45°时，如图①，延长OAZ经过点B,TOB=6,OA'=OA=6,ZOBC=45°,二a'B=6迈—6,二BD=(6巨—6)W2=12—6、辽,•••CD=6-(i2—6迈)=6迈—6,

•••BC与A'B'的交点D的坐标为(6-6迈,6)；(2)如图②，过点C'作x轴垂线MN,交x轴于点M,过点B'作MN的垂线，垂足为N,TZOC'B'=90°,ZOC'M=90°-ZB'C'N=ZC'B'N,TOC'=B'C',ZOMC'=ZC'NB'=90°,△OMC仝△C'NB'(AAS),当a=60°时，TZAZOC'=90°,OC'=6,ZC'OM=30°,CZN=OM=3J3,B'N=C'M=3\•••点B，的坐标为-3,3+3j3丿；(3)如图③，连接OB,AC相交于点K,则K是OB的中点，TP为线段BC，的中点，1PK=OC'=3,2P在以K为圆心,3为半径的圆上运动,TAK=3J2,AP最大值为3迈+3,AP的最小值为3迈-3,AP长的取值范围为3匹-3剟AP3迄+3.召气■二■二E/yA0圏国【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．13.在VABC中，zABC二90o,BD为AC边上的中线，过点C作CE丄BD于点E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG,DF.（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=5，CF=、汗，求四边形BDFG的周长.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（】）利用平行线的性质得到ZCFA=90o，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证，（2）利用平行四边形的判定定理判定四边形BDFG为平行四边形，再利用（1）得结论即可得证，（3）设GF=X,则AF=5-X，利用菱形的性质和勾股定理得到CF、AF和AC之间的关系，解出x即可.【详解】（1）证明：QAG//BD，CF丄BD，CF丄AG，又QD为AC的中点，DF二1AC,21又QBD二-AC,厶:.BD=DF,（2）证明：QBD//GF,BD=FG,.四边形BDFG为平行四边形，又QBD=DF,.四边形BDFG为菱形,（3）解：设GF=x，则AF=5一x,AC=2x,在RtVAFC中，（2x）2=^.'7）-+（5-x）-,16解得：X]=2,x2=-舍去）,.GF=2，.菱形BDFG的周长为8．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质直角三角形斜边上的中线,勾股定理等知识,正确掌握这些定义性质及判定并结合图形作答是解决本题的关键．14.如图，在菱形ABCD中，AB=6,ZABC=60°,AH丄BC于点H.动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动.过点E作EF丄AB,垂足为点F.点E出发后，以EF为边向上作等边三角形EFG,设点E的运动时间为t秒，△EFG和厶AHC的重合部分面积为S.（1）CE=（含t的代数式表示）.（2）求点G落在线段AC上时t的值.（3）当S>0时，求S与t之间的函数关系式.（4）点P在点E出发的同时从点A出发沿A-H-A以每秒个单位长度的速度作往复运动，当点E停止运动时，点P随之停止运动，直接写出点P在厶EFG内部时t的取值范围.3【答案】（1）6-2t【答案】（1）6-2t；；当2<t<3时，S=-(2)t=2；(3)当■-<t<2时，S='t2+【解析】试题分析：(1)由菱形的性质得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；由菱形的性质和已知条件得出厶ABC是等边三角形，得出ZACB=60°,由等边三角形的性质和三角函数得出/GEF=60°,GE=EF=BE・sin60°*'t，证出ZGEC=90°，由三角函数求GE出CE」m=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；3分两种情况：①当'<t<2时，SMEFG的面积-△NFN的面积，即可得出结果；②当2<t<3时，由①的结果容易得出结论；3由题意得出t=囲，点P与H重合，E与H重合，得出点P在厶EFG内部时，t的不等式，解不等式即可．试题解析：(1)根据题意得：BE=2t，•••四边形ABCD是菱形，BC=AB=6,CE=BC-BE=6-2t；(2)点G落在线段AC上时，如图1所示:•••四边形ABCD是菱形，.AB=BC，TZABC=60°，.△ABC是等边三角形，.ZACB=60°，T△EFG是等边三角形，ZGEF=60°，GE=EF=BE・sin60°=「：t,TEF丄AB，.ZBEF=90°-60°=30°，.ZGEB=90°，.ZGEC=90°，GE戶.CE=i：J：=t,TBE+CE=BC，.2t+t=6，解得：t=2；3分两种情况：①当：3分两种情况：①当：'<t<2时，如图2所示:、=△EFG的面积-△NFN的面积=(-；+2」)2=:t2+l1-3、：,即S='t2+lI,I即S=-37(4)T即S=-37(4)TAH=AB・sin60°=6x-3,32,3•••t=»时，点P与H重合，E与H重合，TOC\o"1-5"\h\zI3I宀•点P在厶EFG内部时，二-