椭圆、双曲线焦点弦和顶点弦垂直的充要条件

椭圆、双曲线焦点弦和顶点弦垂直的充要条件圆锥曲线方程一直是高考的热点内容，而且考题难度高，也是同学学习过程中觉得比较难的一个内容之一。因为课本所介绍的方法少，内容少，而考题却五花八门，有些题目如果用课本所介绍的常规方法也可能解得出，但是相当复杂，因此，当学到这章内容时，作为老师都是通过自己在解题过程中所总结出一些规律和结论让同学们记住，在以后解题时灵活运用，简化题目，化难为易。作为学生，要大量练习之后善于总结、归纳，发现规律，要看通、看透题目所隐含的条件。本人近段时间复习这一章内容时，总结出本文所要介绍的一些结论。1、有关概念椭圆（双曲线）上的点与焦点的距离称为焦点弦，过椭圆（双曲线）焦点的直线与椭圆（双曲线）相交于两点，这两点间的线段称为焦点弦。焦半径和焦点弦在解题中有着重要的作用，在实践过程中总结出椭圆焦半径公式：,。焦点弦公式已通过证明其成立，今后在解题过程中可直接运用。椭圆（双曲线）上的点与顶点连成的线段叫顶点弦。在解有关圆锥曲线问题时，我们发现焦点弦与顶点弦有一种特殊的关系，当它们互相垂直时，便可以产生许多联想，从而解决很多数学问题。然而焦点弦与顶点弦在什么条件下互相垂直呢？本文先证明它们互相垂直的充要条件，然后把这个结论作为定理，去解决圆锥曲线的其它问题。2、圆锥曲线焦点弦与顶点弦垂直的充要条件 圆锥曲线与直线的位置关系多种多样，我们在做题时经常碰到一些特殊的位置关系。比如，焦点弦与顶点弦所在直线垂直。碰到有关这方面题目后，本人通过证明，验证得出这种位置关系的充要条件。2.1椭圆焦点弦与顶点弦垂直的充要条件定理1F是椭圆的焦点，P是椭圆上一点，A是椭圆长轴端点，且A与F位于y轴的两侧，直线PA的倾斜角为，椭圆的离心率为e，则的充要条件是sin6=.证明：不妨设A是椭圆的左端点,F是右焦点(,0)，则直线PA的方程由对称性，当A是椭圆的右端点，F是左焦点时同样可以证得该定理成立。2.2双曲线焦点弦与顶点弦垂直的充要条件定理2F是双曲线(>0,b>0)的焦点，P是双曲线上一点，A是双曲线实轴端点，且A与F位于y轴的两侧，直线PA的倾斜角为，双曲线的离心率为e,则的充要条件是。通过以上证明，椭圆和双曲线焦点弦和顶点弦垂直的充要条件，与顶点弦所在直线的倾斜角和它们的离心率e有关，今后在解题过程中，如果题目中的条件符合以上两个定理之一的，我们都可以直接运用，能使解题过程简化。3定理1、定理2具有广泛的应用为了说明这两个定理具有广泛的应用，我们看下面几个例子。例1:F是椭圆的左焦点，A是椭圆右端点，问椭圆的离心率e在什么范围内时，椭圆上恒存在一点 P,使得分析：根据题目中所给的条件，由定理1可得。解：设直线PA的倾斜角为，则由题设和定理1得，sin=,由倾斜角的范围和三角函数的有界性得， 0e=2由e=得…（1）点A的坐标为，设直线PA的方程为：即右焦点到直线PA的距离为：==3所以…（2）联立（1）（2）解得，,由得b==故所求双曲线方程为-=1以上两个例题运用了定理1或定理2的结论解题，实践证明，这两个定理具有广泛应用，并且在解题过程中具有化难为易的功能。在历年的高考中也出现类似以上两个例题的题目，我们同样可以运用这两个定理来解决。下面这个例题就是2005年全国高考上海卷上的一个题目。例3:AB是椭圆+=1的左右端点，F是右焦点P在椭圆上，并且位于x轴上方，PAAPF。1）求点P坐标；2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。分析：题目中所给的条件符合了定理1的条件，因此可以利用定理1的结论解题。解：由椭圆方程可知：，，，设直线PA的倾斜角为，则由题意和定理1得：sin====>=或，因为点P位于轴上方，所以=，在直角三角形PAF中，由椭圆焦点弦公式得：代入椭圆方程解得故所求的点为2）由1）的解知道直线PA的方程为即设点M的坐标为，贝UM到直线PA的距离由题设知：椭圆上的点到点M（2,0）的距离