结构力学静定结构的受力分析

静定结构的受力分析第三章§3-3静定平面刚架受力分析§3-4静定平面桁架受力分析§3-1单跨静定梁的内力计算§3-2静定多跨梁受力分析§3-5组合结构受力分析§3-6三铰拱受力分析§3-7静定结构总论1第1页，共142页。⑴本章结合几种典型的静定结构，讨论静定结构的受力分析问题。其中包括：约束反力和内力的计算，内力图的绘制，受力性能的分析等。§3-1单跨静定梁的内力计算⑵由于本章研究的结构均属静定结构，故受力分析时只考虑静力平衡条件即可。⑶静定结构不仅在建筑结构中广泛应用，而且为超静定结构的计算奠定基础。⑷结构的受力性能的分析与结构的几何组成分析是相反相成的即“拆”与“搭”的过程。说明：2第2页，共142页。§3-1单跨静定梁的内力计算一、单跨静定梁的内力计算⑴单跨静定梁的分类⑵截面法∑X=0xA=F2cosα∑MB=0yA=[F1(L-a)+F2bsinα]/LABF1F2LxxAyAyBab∑MA=0yB=[F1a+F2(L-b)sinα]/L(b)截面法求x截面内力轴力：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力在杆件轴线方向投影代数和。剪力：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力在垂直杆件轴线方向投影代数和。弯矩：数值上等于截面任意一侧分离体上所有外力对截面形心力矩的代数和。(a)求支座反力悬臂梁(cantileverbeam)

简支梁(simplysupportedbeam)外伸梁(overhangingbeam)3第3页，共142页。

在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。横梁：正的N、Q图画上标正号，反之画下标负号。竖杆：正的N、Q图画外标正号，反之画内标负号。（自行规定）§3-1单跨静定梁的内力计算(c)内力符号的规定及内力图的绘制规定4第4页，共142页。⑶荷载与内力之间的微分关系（M、Q、N、与qx、qy的关系）yMM＋dMxqyqxFNFN+dFNdxo§3-1单跨静定梁的内力计算5第5页，共142页。1）剪力图上任意一点切线的斜率数值上等于该点横向分布荷载集度的负值。2）弯距图上任意一点切线的斜率数值上等于该点处剪力的大小。3）弯距图上任意一点处的曲率数值上等于该点的横向分布荷载的集度，但正负号相反。4）轴力图上任意一点切线的斜率数值上等于该点轴向分布荷载集度的负值。结论：§3-1单跨静定梁的内力计算6第6页，共142页。进一步讨论：（a）qx=0的区段：轴力图为一水平直线。qy=0的区段：剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。（b）qx=c的区段：（均布荷载区段）轴力图为一斜直线。qy=c的区段：（均布荷载区段）剪力图为一斜平直线，弯矩图为一二次抛物线。§3-1单跨静定梁的内力计算7第7页，共142页。⑷荷载与内力之间的增量关系xyMM+ΔMFQ+ΔFQdxFQFyoFNFN+ΔFNFxM0§3-1单跨静定梁的内力计算故：集中力或集中力偶作用点处内力发生突变。8第8页，共142页。⑸荷载与内力之间的积分关系（M、Q、N、与qx、qy的关系）§3-1单跨静定梁的内力计算FQAFNAMAFQBFNBMBqyqxAB⑴B端轴力等于A端轴力减去该段荷载图的面积。⑵B端剪力等于A端剪力减去该段荷载图的面积。⑶B端弯矩等于A端弯矩加上该段剪力图的面积。9第9页，共142页。2）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，突变梯度等于m，且左右截面剪力不变。1）集中力作用点左右截面的剪力产生突变，突变梯度等于P，且弯矩图出现尖点，发生折变。§3-1单跨静定梁的内力计算⑹区段叠加法作弯矩图①区段法作M、Q图；直接叠加法作弯矩图l/2l/2Pl/2l/2qma/Lmb/LmbaL10第10页，共142页。②区段叠加法作弯矩图分段叠加法是依据叠加原理得到的作M图的简便作图法。叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。qABBA=AqB+MAMBMAMBMAMB§3-1单跨静定梁的内力计算直接叠加法作M图11第11页，共142页。现在讨论区段叠加法的做法，见下图。ABDCFPqmBACFPDCqDmMCMDMCMDBACFPCDqmDMCMCMDMD§3-1单跨静定梁的内力计算12第12页，共142页。在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的M图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M图的问题。ABDCFPqmCDABMCMD基线基线基线§3-1单跨静定梁的内力计算13第13页，共142页。步骤：1）以集中力、集中力偶作用点，分布荷载的起点和终点或刚结点，以及梁的左、右端支座截面作为控制分段点，将梁划分为若干区段，分别判断各段M图形状。§3-1单跨静定梁的内力计算2）求控制分段点弯矩按比例画在受拉侧，若区段上无外荷载，则分段点弯矩以直线相连，若有横向荷载，则先连虚线作为基线，再叠加横向力在相应简支梁的弯矩图。14第14页，共142页。例3-1-1作图示单跨梁的M、FQ图。1）求支座反力

AFDC8kN4kN/m16kN.mBEFyA=17kNFyF=7kN1m1m1m1m4m解：

§3-1单跨静定梁的内力计算15第15页，共142页。2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。已知MA＝0，MF＝0。1m1mAC8kN17kNMCFQCA2mDF16kN.mMD7kNFQDF取右图AC段为隔离体：取右图DF段为隔离体：§3-1单跨静定梁的内力计算16第16页，共142页。3)作M图

将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。4)作FQ图

M图（kN·m）CDAF172630237BECDAF1797FQ图（kN）BE7§3-1单跨静定梁的内力计算17第17页，共142页。例3-1-2作图示单跨梁的M、FQ图。解：1）求支座反力

130kN40kNAFD160kN40kN/m80kN·mBE310kN1m1m2m2m4mC18第18页，共142页。2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值。已知MA＝0，MF＝0。1m1mAC80kN·m130kNMcFQCAAC160kN80kN·m1m1m2mDMD130kNFQDC取右图AC段为隔离体：取右图AD段为隔离体：§3-1单跨静定梁的内力计算19第19页，共142页。对悬臂段EF：20第20页，共142页。3)作M、FQ图

将MA、MC、MD、ME、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。190AFDCE1303012040FQ图（kN）BM图（kN·m）340FADCBE13021028014016021第21页，共142页。小结：1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；3）先画M图后画FQ图，注意荷载与内力之间的微分关系。§3-1单跨静定梁的内力计算22第22页，共142页。§3-1单跨静定梁的内力计算二、斜梁内力计算⑴斜梁：杆轴倾斜的梁。Ex楼梯梁、刚架中的斜杆。⑵承载方式；（承受竖向均布荷载时有两种不同形式）（a）沿水平方向分布的均布荷载。Ex人群、雪等。（b）沿杆轴方向分布的均布荷载。Ex自重。⑶内力计算FyA=ql/2AlCBxFyB=ql/2FxA=0qqlcosθqlsinθqlθl

tgθθEx：23第23页，共142页。取右图AC段为隔离体：qxcosθqxsinθqxql/2(qlcosθ)/2(qlsinθ)/2sAθql/2CqxMCFQCFNCr§3-1单跨静定梁的内力计算⑴求支反力⑵求任意截面的内力24第24页，共142页。qxcosθqxsinθqxql/2(qlcosθ)/2(qlsinθ)/2sAθql/2CqxMCFQCFNCr§3-1单跨静定梁的内力计算25第25页，共142页。(qlcosθ)/2(qlcosθ)/2(qlsinθ)/2(qlsinθ)/2ql2/8M图FQ图FN图⑶作内力图。§3-1单跨静定梁的内力计算26第26页，共142页。斜杆上的竖向分布荷载也可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的均布荷载，如下图示。qlcosθqlsinθqlθ(qlcosθ)/2AB(qlsinθ)/2(qlsinθ)/2(qlcosθ)/2qcos2θqcosθsinθθ§3-1单跨静定梁的内力计算利用合力相等将载荷集度等效。27第27页，共142页。例3-1-3作图示斜梁的内力图。90°AlCBxθl/cosθqlcosθqlsinθqlθqFQBAFyAFxA§3-1单跨静定梁的内力计算28第28页，共142页。解：1)求A、B截面剪力和轴力FQABlθABFNABrsqqlcosθ

qlsinθ

l/cosθ

FQBAqlθ§3-1单跨静定梁的内力计算29第29页，共142页。2)求跨中截面MC取图示CB段为隔离体：FNCBFQCBBl/2（qlcosθ）/2MCqC下拉§3-1单跨静定梁的内力计算30第30页，共142页。3)作内力图。qlsinθFN图qlcosθ/2qlcosθ/2ql2/8FQ图M图31第31页，共142页。注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。AqBDC32第32页，共142页。§3-2静定多跨梁受力分析二、静定多跨梁的构造特征和受力特征1.构造特征

静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。ABCDABCD附属部分1附属部分2基本部分一、静定多跨梁若干根单跨静定梁，用铰连接起来用来跨越几个相连跨度的结构。Ex：公路桥，檩条接头。33第33页，共142页。2.受力特征

由静定多跨梁的组成顺序可以看出：若基本部分受力，不影响附属部分，即附属部分不受力；若附属部分受力，则必通过约束传递于基本部分使基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力计算次序为：先计算附属部分的反力、内力再计算基本部分在自身荷载以及附属部分传过来的约束力作用下的反力、内力。故将一个多跨静定梁拆成一组单跨静定梁，分别计算画内力图再将所有单跨静定梁内力图拼接起来，即得多跨静定梁内力图三、静定多跨梁内力计算解题步骤：

2）画出每一单跨梁的内力图并拼接。§3-2静定多跨梁受力分析1）组成分析画层次受力图

34第34页，共142页。例3-2-1

作图示静定多跨梁的M图和FQ图。ABD1.5mCEF4kN/m10kN20kN1.5m1m1.5m1.5m1m3m解：1）作组成次序图

组成层次图

ABDCEF4kN/m10kN20kN35第35页，共142页。2）求附属部分和基本部分的约束力

对于CE段梁:ABDCEF4kN/m10kN20kN1.5m1.5m1m1.5m1.5m1m3m9kN14kN3kN13kN6kN6kN36第36页，共142页。对于AC段梁:ABDCEF4kN/m10kN20kN1.5m1.5m1m1.5m1.5m1m3m9kN14kN3kN13kN6kN6kN37第37页，共142页。

3）内力图如下图示ABDCEFM图（kN·m）13.54.5364.5BDCEFQ图（kN）9113766F38第38页，共142页。例3-2-2作图示静定多跨梁的M图和FQ图。A40kNBC80kNDEFGH40kN·m40kNKL40kN·m20kN/m2m2m2m2m2m1m1m2m2m组成次序图解：1）作组成次序图A40kNBC80kNDEFGH40kN·m40kNKL40kN·m20kN/m39第39页，共142页。2）求附属部分和基本部分的约束力

梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。FyAA40kNBC80kNDEFGH40kN·m40kNKL40kN·m20kN/m125kN10kNDF10kN65kN15kN25kNFyCFyHFyL40第40页，共142页。对于AD段梁：A40kNBC80kN10kND125kNFyC=15kNFyA=2m2m2m41第41页，共142页。对于FL段梁：10kNGH40kNKL40kN·m20kN/mF65kNFyH=FyL=25kN1m2m2m1m42第42页，共142页。3）内力图如下图示ABCDEFGHKL30140202010603040M

图（kN·m）ABCDEFGHKL15557010152550FQ图（kN）43第43页，共142页。例3-2-3

求使梁中正、负弯矩峰值相等的铰B的位置。ADECBl－xxlqqFyDADECBqq(l-x)/2q(l-x)/2FyCBAB跨为附属部分，BD跨为基本部分。解：44第44页，共142页。AB跨跨中弯矩ME为：

BD跨支座C负弯矩MC为：

令ME=MC

得：

ADECBqq(l-x)/2=0.4142qlFyCB0.4142ll－xxlq(l-x)/2FyDq45第45页，共142页。对于BD杆：CD跨最大弯矩为：DCq0.414215qlFyCB0.414215llFyD46第46页，共142页。四、多跨静定梁的特点

2）合理调整铰的位置或减小梁的跨度可降低梁中弯矩图峰值，使弯矩图分布均匀。§3-2静定多跨梁受力分析1）若铰结点处无集中力和集中力偶，则内力图经过铰结点方向不变且铰结点处弯矩为零。47第47页，共142页。例：图示多跨静定梁全长受均布荷载q，各跨长度均为l。欲使梁上最大正、负弯矩的绝对值相等，试确定铰B、E的位置。由MC=AB跨中弯矩可求得x48第48页，共142页。§3-2静定多跨梁受力分析由MC=AB跨中弯矩可求得x49第49页，共142页。§3-3静定平面刚架一、刚架的组成若干根梁和柱通过刚结点联接而成的结构。其中的刚结点可部分或全部为刚结点。当杆件轴线和荷载作用线共面时即为平面刚架。三、刚结点特征变形特征——杆件变形后刚结点处各杆保持原夹角不变。即刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。受力特征——刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。故刚结点可以削弱结构中弯矩图峰值，使弯矩分布均匀。二、刚架的特点⑴杆件内存在M、Q、N三种内力分量。⑵由于刚架中的杆件通过刚结点相联，因而具有杆数少，内部空间大的特点。50第50页，共142页。⑴悬臂刚架——梁为悬臂杆，如火车站之月台结构简支刚架三铰刚架悬臂刚架⑵简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架。⑶三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。§3-3静定平面刚架四、静定平面刚架的分类及相应支反力的计算51第51页，共142页。§3-3静定平面刚架⑷基本—附属型刚架。⑸超静定刚架五、静定平面刚架的内力分析⑴先计算各杆杆端内力。⑵再用区段或区段叠加法作内力图。⑶内力符号及内力图的规定：（a）内力符号规定同前。（b）水平杆件：正的N、Q图画上侧标正号，反之画下侧标负；竖杆：正的N、Q图画外侧标正号，反之画内侧标负。M图画在弯矩受拉侧。（c）杆端内力表示法。52第52页，共142页。§3-3静定平面刚架六、作内力图的两套方法方法（一）①求全部支反力②截面法求各杆端及控制分段点的M、Q、N，再用区段法或区段叠加法作内力图。③结点平衡法校核。方法（二）①求垂直杆轴支反力②截面法求各杆端及控制分段点的M，区段法或区段叠加法作弯矩图。③杆段平衡法由M图求各杆端Q，作剪力图。④结点平衡法由Q图求各杆端N，作轴力图。⑤由力的边界条件校核。53第53页，共142页。例3-3-1作图示平面刚架内力图。AC2m4m4kN/mKBDEHG2kN2m2mF2kNFxK=1kNFyK=2kNFyG=30kN2mFxA=3kN§3-3静定平面刚架54第54页，共142页。ACKBDEHG6F84242848M图（kN·m）8§3-3静定平面刚架解：⑴求支反力⑵作M图⑶作Q图⑷作N图55第55页，共142页。ACKBDEHGF311614221FQ图（kN）§3-3静定平面刚架56第56页，共142页。ACKDEHG11302FN图（kN）§3-3静定平面刚架57第57页，共142页。例3-3-2作图示三铰刚架内力图。FyB1kN/mABDECFyAFxA1.385kN4.5kN1.5kNFxB1.385kN6m6m4.5m2m§3-3静定平面刚架58第58页，共142页。解：1)支座反力考虑整体平衡:由BEC部分平衡：FyB1kN/mABDECFyAFxAFxB6m6m4.5m2m§3-3静定平面刚架59第59页，共142页。2)作M图斜杆DC中点弯矩为：ABDEC4.5kN1.5kN1.385kN6.236.231.385M图(kN.m)1kN/m1.385kN§3-3静定平面刚架60第60页，共142页。3)作FQ图斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。对于DC杆：D1kN/m6mCFQDCFQCD6.23§3-3静定平面刚架61第61页，共142页。对于EC杆：竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。剪力图见下页图。6mFQEC6.23EFQCEC§3-3静定平面刚架62第62页，共142页。FQ

图(kN)AD1.393.831.860.991.39BEC§3-3静定平面刚架63第63页，共142页。4)作FN图竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。结点D：13D1.385FNDCαs4.5§3-3静定平面刚架64第64页，共142页。结点E：E1.385FNEC1.5s13§3-3静定平面刚架65第65页，共142页。右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：1.3854.5DA1kN/mCFNCDs1.51.3851.38513§3-3静定平面刚架66第66页，共142页。FN

图(kN)ABDEC4.52.740.841.791.50§3-3静定平面刚架67第67页，共142页。七、下面讨论对称结构的求解问题。1)对称结构2)对称结构的受力特性①对称结构在正对称荷载作用下，其受力、变形正对称；M、N图正对称，Q图反对称。②对称结构在反对称荷载作用下，其受力、变形反对称；M、N图反对称，Q图正对称。若对称结构的所受荷载不对称，则可以将荷载拆分为正对称荷载与反对称荷载两种情况分别求解再叠加。3)非对称荷载的处理对称结构①结构的几何形状②结构的支座③杆件材料的性质关于某一几何轴线对称该轴线—结构的对称轴§3-3静定平面刚架68第68页，共142页。§3-3静定平面刚架㈠如何快速熟练勾画刚架的弯矩图？⑴由平衡方程快速判断垂直杆轴的支反力方向。⑵快速判断杆端及控制分段点的弯矩受拉侧。⑶熟练判断各段杆件弯矩图形状。⑷定性判断弯矩图正误。㈡如何定性判断弯矩图正误？⑴集中力作用点M图出现尖点发生折变；⑵集中力偶作用点M图发生突变；⑶铰结点处无集中力和集中力偶作用M图经过铰方向不变；且铰结点处弯矩为零；⑷刚结点处弯矩要平衡；⑸均布荷载区段M图为二次抛物线且沿载荷方向凸；⑹对称结构受正对称荷载，M图正对称；受反对称荷载，M图反对称。69第69页，共142页。例3-3-3

作图示三铰刚架内力图。ABDEqCql/83ql/8ql/8ql/8l/2l/2l/2解：1)支座反力整体平衡：§3-3静定平面刚架70第70页，共142页。由CEB部分平衡：BECl/2l/2由整体平衡：§3-3静定平面刚架71第71页，共142页。2)作M图MDA＝ql2/16(右拉)M中＝ql2/16(右拉)ABDEqCql/83ql/8ql/8ql/8ql2/16ql2/16ql2/16M图§3-3静定平面刚架72第72页，共142页。3)作FQ、FN图FQ图3ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8FN图§3-3静定平面刚架73第73页，共142页。如下图示对称结构在对称荷载作用下，铰C左、右截面剪力关于竖轴反对称，故该剪力为0。于是很容易求得结构各部分的作用力。ED2qa2qa2qa2qaaaaaaqCyABDAC0CB2qa2qa2qa2qa000§3-3静定平面刚架74第74页，共142页。§3-4静定平面桁架（truss

）一、桁架的组成和特点1.组成：由轴力直杆通过铰结点连接而成的几何不变结构。当杆件轴线及荷载作用线共面时称平面桁架结构。Ex：工程中常见的有刚桁架、钢筋混凝土桁架、木桁架。2.特点：桁架与梁和刚架相比具有如下特点①杆件横截面上应力分布均匀，能充分发挥材料的力学性能。②由于采用“格构空腹”结构，因而具有用料省，自重轻，跨越较大跨度的特点。二、理想桁架的基本假定①各杆均为直杆②杆与杆用光滑的理想铰联结。③杆轴绝对平直且通过铰的几何中心。④荷载及支座反力均作用于铰结点且与杆轴共面。——理想桁架。理想桁架中的杆件均为二力杆件。75第75页，共142页。§3-4静定平面桁架三、桁架的分类2.按竖载下是否有水平推力分类1.按几何外形分类①三角形桁架②平行弦桁架③梯形桁架④折弦形桁架⑤抛物线形桁架①梁式桁架②拱式桁架拱式桁架梁式桁架三角形桁架平行弦桁架梯形桁架抛物线桁架76第76页，共142页。②联合桁架（combinedtruss

）——两个简单桁架用两片一铰一链杆规则或两片三链杆规则连结而成的桁架称为联合桁架。3.按几何组成分类①简单桁架（simpletruss

）——由基本的铰接三角形或基础开始，依次搭接二元体组成的桁架称为简单桁架。§3-4静定平面桁架③复杂桁架（complicatedtruss

）——既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。77第77页，共142页。§3-4静定平面桁架78第78页，共142页。§3-4静定平面桁架79第79页，共142页。四、桁架的内力计算方法⑴数解法：求桁架结构杆件内力时，截取桁架一部分为隔离体，由隔离体的平衡，建立平衡方程求解各杆内力的方法。⑴结点法§3-4静定平面桁架数解法结点法：隔离体只包含一个结点时截面法：隔离体包含两个或两个以上结点时⑵图解法：由平面汇交力系平衡的几何条件，逐个截取结点为研究对象，作每个结点的闭合力多边形，以确定各杆内力的方法。五、数解法求平面桁架的内力①结点法：计算桁杆轴力时，截取桁架结点为隔离体，由隔离体平面汇交力系的平衡，可以建立两个平衡方程，计算两根桁杆的轴力。②结点法适用条件：适用于计算简单桁架内力。③为避免解联立方程采取如下措施：80第80页，共142页。(a)简单桁架逆几何组成次序解，即截取结点的顺序，应与组成时添加结点的顺序相反，可使每个结点包含的未知量不超过两个。§3-4静定平面桁架(b)灵活建立坐标系。(c)利用轴力与分力的关系。(d)为简化计算，可先去掉桁架结构中的零杆。零杆的判断规则：⑴结点上无荷载时(a)两杆交于一点，且不共线，则此二杆轴力为零。(b)三杆交于一点，其中两杆共线，则第三杆轴力为零，且同一直线上的两杆轴力相等性质相同。⑵结点上有荷载作用时两杆交于一点且不共线，其中一杆与外力P共线，则此杆内力大小为P，另一杆轴力为零。(e)利用对称性只计算半部结构的内力。81第81页，共142页。例3-4-1

用结点法求各杆轴力。解：1）支座反力2）判断零杆FyA=FyB=30kN(↑)FxA=0见图中标注。3）求各杆轴力取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。A20kNBCDEGFH30kN2m2m2m2m1m1m-67.08-44.72-22.3660602020kN20kN30kN000§3-4静定平面桁架82第82页，共142页。结点A（压）结点EE60kNFNEF0A30kNFNAEFxADFyADFNAD1283第83页，共142页。结点D将FNDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDF12FxDFA20kNFNDCCFFyDFFNDFFNDFD2m4m84第84页，共142页。12FxDFA20kNFNDCCFFyDFFNDFFNDFD2m4mFyDC85第85页，共142页。结点CFNCFC20kN86第86页，共142页。例3-4-2

用结点法求AC、AB杆轴力。2m3m2m4mFPFPDCEGFABH3m4m87第87页，共142页。解：取结点A，将FNAC延伸到C分解，将FNAB延伸到B分解。4mCAFPBFNABFNACFxABFyABFxACFyAC2m3m321288第88页，共142页。4mCAFPBFNABFNACFxABFyABFxACFyAC2m3m321289第89页，共142页。⑵截面法

§3-4静定平面桁架①截面法：用截面切断要求的杆件，从桁架中截取包含两个或两个以上的结点的隔离体，由隔离体上平面任意力系的平衡，可以建立三个平衡方程∑Fx＝0、∑Fy＝0、∑M＝0，求解三个未知轴力。②适用条件：(a)联合及复杂桁架的计算。(b)简单桁架中指定杆件的计算。③为简化计算通常采取以下措施：1)联合桁架逆几何组成顺序，先求联合处杆件轴力，再求剩下简单桁架中杆件轴力。2)为避免求解“隔离体”联立方程(a)建立适当的投影方程;(b)建立适当的取矩方程；(c)结合力的平移定理,灵活运用分力建立取矩方程。3)当截面法截开的杆件个数超过三个时(a)所求杆件不与其它杆件平行，其它杆件均平行。(b)其它杆件均相交于一点，而所求杆件不与之相交此点。90第90页，共142页。111123123123§3-4静定平面桁架91第91页，共142页。§3-4静定平面桁架⑶结点法与截面法的联合应用桁架计算中有时联合使用结点法和截面法，可使解题更为简单。对于复杂的简单桁架、联合桁架、复杂桁架，采用此法可尽量避免解联立方程或少解联立方程。Ex:求N1、N2、N3的轴力。6×4m3m3m60kN12yA=20kNyB=40kN392第92页，共142页。例3-4-3

用截面法求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。解：1）对称结构对称荷载，支座反力如图示。2）零杆如图示。aaaaaaaaFPFPFPFPFPABCDEII12340000002.5FP2.5FP093第93页，共142页。3）求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。结点CFN1FN2CFP12§3-4静定平面桁架94第94页，共142页。取截面I－I以左为隔离体：IaaaaFPFPACDI12340002.5FP012§3-4静定平面桁架95第95页，共142页。IaaaaFPFPACDI12340002.5FP012§3-4静定平面桁架96第96页，共142页。例3-4-4

求FN1、FN2。

解：1)求支座反力2m60kNAD80kNIIIIIICBE1G2m2m2m2m2m80kN60kN22mF§3-4静定平面桁架97第97页，共142页。2)求FN1、FN2结点BB60kNFNBEFNBC取截面I－I以左为隔离体2m60kNADIIC2m2m80kN60kN2mFN2§3-4静定平面桁架98第98页，共142页。取截面II－II以右为隔离体：80kNIIIIBEFG2m2m2m2m2m2mFN1§3-4静定平面桁架99第99页，共142页。§3-4静定平面桁架⑷对称性的利用①对称结构受正对称荷载，对称位置处支反力及杆件轴力正对称。②对称结构受反对称荷载，对称位置处支反力及杆件轴力反对称。③对称结构受对称荷载，若对称轴上的结点两杆共线（杆轴垂直于对称轴）则另两对称杆件轴力N=P/2sinα，若结点上无荷载则N=0。④对称结构受反对称荷载，则对称轴上垂直于对称轴的横杆及对称轴上的竖杆轴力为零。PP/2P/2P/2P/2=+0000000100第100页，共142页。§3-4静定平面桁架00000000000P2m2m1m1m1m3P/43P/4P+=2m2m1m1m1mP/2P/2P/2P/23P/43P/42m2m1m1m1mP/2P/2P/2P/200101第101页，共142页。例3-4-5

求FN1、FN2。ABFPaaaaaaFPC12D解：复杂桁架，结构对称。将荷载分为对称和反对称两种情况求解。§3-4静定平面桁架102第102页，共142页。1）对称结构对称荷载结点C位于对称轴上，所以两斜杆轴力等于零，见右图。C00FP/20FPII0FPABaaaaaaFPC12DFP/2EF00§3-4静定平面桁架103第103页，共142页。取截面I－I以左为隔离体：FP/20FPIAaaa1DI0结点DD0FP/2§3-4静定平面桁架104第104页，共142页。2）对称结构反对称荷载整体平衡FP/20ABaaaaaaC12DFP/2IIIIFEF§3-4静定平面桁架105第105页，共142页。结点F取截面II－II以左为隔离体：F000结点EE000叠加两种情况的结果得：II0FP/4AaaII0§3-4静定平面桁架106第106页，共142页。§3-4静定平面桁架各种不同桁架的受力特点（轴力分布规律）107第107页，共142页。六、零载法

零载法是针对W＝0的体系，用静力法来研究几何问题，用平衡方程解答的唯一性来检验体系几何不变性的方法。（一）计算自由度W＝0的体系的静力特征：（二）零载法的原理荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自内力。如果某体系存在自内力，则该体系为几何可变体系。对于W=0的体系，自内力是否存在是这类体系是否几何可变的标志。§3-4静定平面桁架⑴如体系几何不变，则其静力学平衡方程不仅有解而且是唯一解。⑵如体系可变或瞬变，则只在特殊荷载下其平衡方程才有解而且解不唯一或为无穷解。结论：对于W=0的体系，平衡方程的解是否唯一，是该体系是否几何不变的标志。对于W=0的体系，若几何不变，则在荷载为零的条件下其全部反力内力均应等于零。反之，若几何可变，它的某些反力、内力可不为零。108第108页，共142页。例3-4-6

用零载法检验下图示桁架是否几何不变。000a）0000b）CBEDFIAxxx§3-4静定平面桁架零载法多用于复杂桁架的组成分析109第109页，共142页。解：∑FS＝0x－x/2＝0x＝0xFNAsA§3-4静定平面桁架复杂桁架往往每个结点上杆件个数多于两个，要采用结点法不可避免解联立方程，但对于三杆相交的结点，用结点法可以将任意两杆轴力用第三杆表示，故此，可先选取某杆的轴力作为基本参数（初参数），然后利用闭合通路上各结点的平衡，将其余各杆轴力用初参数表示，再由最后一个多余结点的平衡来确定初参数。——此种由闭合通路上结点的平衡来确定复杂桁架杆件轴力的计算方法称通路法。110第110页，共142页。一、组合结构的组成特点⑴组成：由梁式杆和桁杆共同组合而成的结构。其中含有组合结点，梁式杆内存在M、Q、N三种内力，桁杆只有轴力。⑵特点：由于桁杆的作用改善了梁式杆的受力状态，使梁式杆内弯矩峰值减小，弯矩分布均匀，从而达到减轻自重，增大刚度跨越较大跨度的特点。二、组合结构的内力计算计算步骤：组成分析逆几何组成先求解桁杆之轴力，再将其作用于梁式杆计算梁式杆的M、Q、N作内力图。采用的方法：结点法、截面法、联合应用。P说明：①结点法计算时应截取“纯铰结点”②截面法计算时应尽量避免截开梁式杆否则会使未知力个数超过三个。§3-5组合结构111第111页，共142页。例3-5-1

作图示组合结构内力图。解：结构对称荷载对称。1）求支座反力如图示。2）求FNDE，取截面I－I以左为隔离体。C1kN/mBADEFG06kN6kNII3m3m3m3m0.5m0.7m112第112页，共142页。结点DFNDFFNDAD15kN0.733.0806§3-5组合结构113第113页，共142页。3）求梁式杆的内力M、FQ、FN。取FC段作隔离体：求MF153.0130.25F1kN/m3mFQCFCFQFCMFFNFCFNCF150.25m§3-5组合结构114第114页，共142页。求FC杆的剪力和轴力3.0130.2515F1kN/m3mFQCFCFQFC0.75kN.mFNFCFNCF150.25m§3-5组合结构115第115页，共142页。取AF段作隔离体：152.53.0130.25A1kN/m3mFQFAFFNAFFNFA152.50.75kN.mFQAF0.25m§3-5组合结构116第116页，共142页。152.53.0130.25A1kN/m3mFQFAFFNAFFNFA152.50.75kN.mFQAF0.25m§3-5组合结构117第117页，共142页。M图(kN∙m)0.750.750.75CAFFQ图(kN)1.2461.2461.7441.744CAFFN图(kN)15.1615.214.95CAF14.914)结构内力如下图示。15kN-3.5kN15.4kNCBADEFG06kN6kN§3-5组合结构118第118页，共142页。§3-6三铰拱一、拱式结构的特征及应用⑴特征：轴线为曲线，竖载下可以产生水平推力的结构。水平推力的存在是拱式结构区别于梁式结构的标志。⑵应用：房屋建筑；桥梁建筑；渡槽；水工结构。拱式结构与同跨长、同载荷简支梁（对比梁）相比，具有如下特点：优点：由于水平推力的存在，截面弯矩小于对比梁相同截面的弯矩，又由于拱主要承受轴向压力，建造时可用抗拉性能弱而耐压性能好的材料。Ex：砖、石、混凝土等。故有用料省，自重轻，可跨越较大空间的特点。缺点：构造复杂，施工费用大，需要有坚固的地基支承。FVAFHFHFVBBFPAlf119第119页，共142页。(拉杆)l(跨度)f(矢高)(拱脚)ABC(拱顶)通常在1～1/10之间变化，的值对内力有很大影响。l(跨度)f(拱高)(拱脚)C(拱顶)FVABFPAFHFHFVB120第120页，共142页。§3-6三铰拱二、拱的分类⑴由拱铰分类：三铰拱两铰拱无铰拱⑵由支座高度分类：平拱斜拱⑶由支座反力情况分类：推力拱拉杆拱121第121页，共142页。FHAFHBFVAFVBlFP1FP2ABCl1l2fFVB=FVB0

FVA=FVA0

FH=MC0/

f

对比梁三铰拱的反力只与荷载及三个铰的位置有关，与拱轴线形状无关；荷载与跨度一定时，水平推力与矢高成反比FVA0FVB0a2b1b2a1FP1FP2CAB三、三铰拱的内力计算（以三铰平拱承受竖载为例）§3-6三铰拱解：⑴求支反力122第122页，共142页。FVAFVB对比梁FHAFHBFVA0FVB0a2b1b2a1KFP1FP2CABKxyxyFP1FP2ABCfll1l2§3-6三铰拱⑵内力计算FHFVAFP1NxyQMφFVA0Q0M0FP1a1123第123页，共142页。§3-6三铰拱内力计算：设拱轴线方程y=y(x)则任意截面位置由三个参量确定x、y、φ其中tgφ=dy/dx，φ左半拱为正，右半拱为负。内力计算公式：⑶受力特点：①竖载下梁无水平推力，拱有水平推力。②由于M(x)=M0(x)-FHy＜M0(x)水平推力的存在使拱内截面的弯矩小于对比简支梁同截面弯矩，弯矩的降低使拱更能充分发挥材料的力学性能。③竖载下简支水平梁的截面内无轴力，而拱截面内轴力较大且为压力。④拉杆拱的拉力代替了推力拱的推力，从而降低了拱的推力对地基的影响。124第124页，共142页。三、三铰拱的内力计算（以三铰平拱承受竖载为例）f=4mCAJBKFP1=15kNFP2=5kNyJykyFHAFVAFHBxFVB4m4m4m4ml/2l/2§3-6三铰拱125第125页，共142页。解：拱轴方程为1.支座反力整体平衡4m4m4m4ml/2l/2CAJBKFP1=15kNFP2=5kN对比梁126第126页，共142页。考虑拱AC部分平衡：下面求支座水平推力。上式中，为代梁C截面弯矩。f=4mAFHAFVAKFP1=15kNCyk4m4ml/2127第127页，共142页。小结：1)水平推力与矢高f成反比。2)支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。将本例题数据代入得：128第128页，共142页。2.弯矩计算公式求任意截面D的弯矩。由AD段隔离体可得：AFHAFVAFP1DyDxDFNDFQDMDd1AFºVADMºDd1FP1FºQD代梁<MºD。由上式可见，因为有推力存在，三铰拱任一截面之弯矩小于代梁中相应截面的弯矩，即MD129第129页，共142页。求MK求MJ下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。A10kN12.5kN15kNyK=3mMKK4mB10kN7.5kNyJ=3mMJJ4m5kN130第130页，共142页。3.求FQ、FN的计算公式拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。小结：1)左半拱>0，右半拱<0。

相应代梁中，设为正方向。AFHAFVAFP1DFHφφADFP1代梁FNDFQD131第131页，共142页。2)

FºQD是代梁截面D的剪力，设为正方向。故FºQD可能大于零、等于零或小于零。