苏教版高三数学复习课件87-双曲线

【命题预测】

1．本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率e的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题．2．考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系．3．在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考一个新的亮点，主要考查：(1)将向量作为工具解答双曲线问题；(2)以解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中．【命题预测】1．本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系1【应试对策】

1．注意双曲线中一些基本量及其关系：c2＝a2＋b2，e＝

，＝，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为，焦点到一条渐近线的距离为b，过焦点且垂直于实轴的弦长称为通径，即通径为等，这些量及其关系不会因坐标轴选择而改变．

【应试对策】1．注意双曲线中一些基本量及其关系：c2＝a222．求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置，若焦点不确定，则应分类讨论．如不清楚焦点的位置，可设方程为ax2＋by2＝1(ab<0)；若已知双曲线的渐近线方程y＝±x，则设双曲线方程为－＝λ(λ≠0，且λ为参数)，从而避免讨论和复杂的计算．3．对双曲线定义的理解，应注意有关条件(2a<|F1F2|)的限制，否则曲线不是双曲线．解题时涉及双曲线的焦点弦、焦半径的问题，常从两个定义入手解题．2．求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置3【知识拓展】

1．双曲线的焦半径公式 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若P(x0，y0)是双曲线上一 点．若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，若P在左支上， |PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.【知识拓展】1．双曲线的焦半径公式42．双曲线中的基本三角形 ①如图所示，△AOB中|OA|＝a， |OB|＝c，|AB|＝b，tan∠AOB＝，e＝ ②焦点三角形△F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝ b2cot.2．双曲线中的基本三角形51．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数) 的点的轨迹叫做

，两个定点F1，F2叫做双曲线的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

.双曲线焦点焦距1．双曲线的定义双曲线焦点焦距62．双曲线的简单几何性质2．双曲线的简单几何性质7顶点等长顶点等长8探究：双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．探究：双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系91．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线 方程为________________． 解析：由题知c＝4，且＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴双 曲线方程为－＝1. 答案：－＝11．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，10且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．解析：本题考查双曲线的方程及定义等知识．由题意，a＝3，b＝4，∴c＝5，根据题意，点P在靠近焦点F1的那支上，且PF2＝3PF1，所以由双曲线的定义，PF2－PF1＝2PF1＝2a＝6，∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周长等于3＋9＋10＝22.答案：222．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，2．设点P在双曲线－＝1上，若113．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________． 解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴＝或＝. 当＝时，＝，∴e＝＝；当＝时， ＝，∴e＝＝. 答案：3．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为124．若双曲线＝1的渐近线方程为y＝，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝，∴m＝3，求得双曲线方程为：＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．答案：(－，0)，(，0)4．若双曲线＝1的渐近线方程135．双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于________．解析：∵2c＝4×，∴c2＝4a2.∴e2＝＝4，e＝2.答案：25．双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于14【例1】在△MNG中，已知NG＝4.当动点M满足条件sinG－sinN＝sinM

时，求动点M的轨迹方程．

求双曲线的标准方程要确定焦点所在的坐标轴以及a2和b2的值，其常用的方法是待定系数法．【例1】在△MNG中，已知NG＝4.当动点M满足条件s15思路点拨：建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sinG－sinN＝

sinM转化成边长之间的关系，并由此关系确定轨迹方程．

解：以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．∵sinG-sinN=

∴由正弦定理，得MN-MG=

∴由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∴2c=4,2a=2，即c=2，a=1.∴b2=c2-a2=3.∴动点M的轨迹方程为x2－=1(x>0，且y≠0)．思路点拨：建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sinG－s16变式1：已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外

切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．解：设P的坐标为(x，y)．∵圆C与圆P外切且过点A，∴PC－

PA＝4.∵AC＝6>4，∴点P的轨迹是以C、A为焦点，2a＝4的双曲线的右支．∵a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.∴＝1(x>0)为动圆圆心P的轨迹方程．变式1：已知定点A(3,0)和定圆C：(171．双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．1．双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两18时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．(2)求已知渐近线的双曲线的方程．(3)渐近线的斜率与离心率的关系．如2．在双曲线的性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近19【例2】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，

且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．思路点拨：【例2】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的20解：(1)由已知：c＝设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则

解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为

双曲线方程为

(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝，

解：(1)由已知：c＝设椭圆长、短半轴长21变式2：已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点(4，－)．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x＝3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M.解：(1)e＝，则 ＝2，∴a＝b.故可设双曲线的方程为x2－y2＝

λ(λ≠0)．由于双曲线过点(4，－)，∴42－(－)2＝λ.∴λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可得变式2：已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过22【规律方法总结】1．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用和圆有关问题都是类似的．2．当涉及到双曲线上点到焦点或到准线的距离时，要注意双曲线是两条曲线，点有可能在其中的一支上．3．在已知双曲线上一点P与两个焦点F1、F2构成的△PF1F2中，||PF1|－|PF2||＝2a，F1F2＝2c，再给出一个条件时，焦点△PF1F2可解.

【规律方法总结】1．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线23

【高考真题】【例3】(2009·湖南卷)

已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．

分析：根据四边形的特征，寻找a，c之间的关系，注意双曲线中a，b，c的关系．

【高考真题】【例3】(2009·湖南卷)24规范解答：设双曲线方程为

如右图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2=30°，所以

所以所以a=

答案：

规范解答：设双曲线方程为25本题考查双曲线的简单几何性质，在题目给出的四边形中隐含着对内角等于60°的选择，以此检测考生对双曲线几何性质的掌握程度，是一道有较好区分度的试题．

【全解密】【命题探究】

【知识链接】

双曲线(a>0，b>0)中有三类特殊点：焦点(±c,0)，顶点(±a,0)，虚轴的两个端点(0，±b)．

本题考查双曲线的简单几何性质，在题目给出的四边26双曲线中c2＝a2＋b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个问题，如本题就是根据这个关系得出只有∠OF1B2＝30°的结论．记不要和椭圆中a，b，c的关系相混淆.求双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a，c的关系，在用几何图形给出的问题中要善于利用几何图形的性质分析解决．【方法探究】【误点警示】双曲线中c2＝a2＋b2，说明双曲线中c最大，解决双曲线问271．已知F1，F2分别是双曲线的左、右两焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在第一象限交双曲线于点P，若∠PF1F2＝30°，求双曲线的渐近线方程．

分析：采用数形结合思想，知道点P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a，从“过F2作垂直于x轴的直线，在第一象限交双曲线于点P”可知PF2⊥F1F2，再利用直角三角形求解．

1．已知F1，F2分别是双曲线的左、右两焦点，过F2作垂直于28解：如图，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|=2a，①∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|.②|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2＝|PF2|2＋(2c)2.③由①②可得|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，代入③，可得3a2＝c2.④又c2＝a2＋b2，⑤由④⑤得2a2＝b2.∴

∴双曲线的渐近线方程为y＝±

解：如图，由双曲线定义可知292．双曲线 (a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥ 求双曲线的离心率e的取值范围．

分析：首先求出s，将不等式s≥转化为a、b、c的关系，将b用a、c表示，再由e＝即可化为e的关系式，进而求出e的范围．

2．双曲线 (a>1，b>0)的焦距为2c，直线30解：直线l的方程为

即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝

同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2＝

∴s＝d1＋d2＝由s≥

即5a

≥2c2.于是得5

≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得

e2≤5.由于e>1，∴e的取值范围是

解：直线l的方程为 即bx＋ay－ab＝0.由点到直31【命题预测】

1．本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系数法求椭圆方程，椭圆第一、二定义的综合运用，椭圆中各量的计算，关于离心率e的题目为热点问题，各种题型均有考查，属中档题．2．考纲要求掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，所以，近几年的高考试题一直在客观题中考查定义、性质的理解和运用，在解答题中考查轨迹问题和直线与椭圆的位置关系．3．在解析几何与向量的交汇处设计高考题，是近年来高考一个新的亮点，主要考查：(1)将向量作为工具解答双曲线问题；(2)以解析几何为载体，将向量作为条件融入题设条件中．【命题预测】1．本讲主要考查椭圆的基本概念和性质，用待定系32【应试对策】

1．注意双曲线中一些基本量及其关系：c2＝a2＋b2，e＝

，＝，两准线间的距离为，焦点到相应准线的距离为，焦点到一条渐近线的距离为b，过焦点且垂直于实轴的弦长称为通径，即通径为等，这些量及其关系不会因坐标轴选择而改变．

【应试对策】1．注意双曲线中一些基本量及其关系：c2＝a2332．求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置，若焦点不确定，则应分类讨论．如不清楚焦点的位置，可设方程为ax2＋by2＝1(ab<0)；若已知双曲线的渐近线方程y＝±x，则设双曲线方程为－＝λ(λ≠0，且λ为参数)，从而避免讨论和复杂的计算．3．对双曲线定义的理解，应注意有关条件(2a<|F1F2|)的限制，否则曲线不是双曲线．解题时涉及双曲线的焦点弦、焦半径的问题，常从两个定义入手解题．2．求双曲线的方程常用待定系数法，解题时应注意先确定焦点位置34【知识拓展】

1．双曲线的焦半径公式 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若P(x0，y0)是双曲线上一 点．若P在右支上，|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，若P在左支上， |PF1|＝－ex0－a，|PF2|＝－ex0＋a.【知识拓展】1．双曲线的焦半径公式352．双曲线中的基本三角形 ①如图所示，△AOB中|OA|＝a， |OB|＝c，|AB|＝b，tan∠AOB＝，e＝ ②焦点三角形△F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝ b2cot.2．双曲线中的基本三角形361．双曲线的定义 平面内到两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数) 的点的轨迹叫做

，两个定点F1，F2叫做双曲线的

，两焦点间的距离叫做双曲线的

.双曲线焦点焦距1．双曲线的定义双曲线焦点焦距372．双曲线的简单几何性质2．双曲线的简单几何性质38顶点等长顶点等长39探究：双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系？提示：离心率越大，双曲线的“开口”越大．探究：双曲线的离心率的大小与双曲线“开口”大小有怎样的关系401．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线 方程为________________． 解析：由题知c＝4，且＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝12，∴双 曲线方程为－＝1. 答案：－＝11．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)、(4,0)，41且PF1∶PF2＝1∶3，则△F1PF2的周长等于________．解析：本题考查双曲线的方程及定义等知识．由题意，a＝3，b＝4，∴c＝5，根据题意，点P在靠近焦点F1的那支上，且PF2＝3PF1，所以由双曲线的定义，PF2－PF1＝2PF1＝2a＝6，∴PF1＝3，PF2＝9，故△F1PF2的周长等于3＋9＋10＝22.答案：222．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，2．设点P在双曲线－＝1上，若423．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为________． 解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴＝或＝. 当＝时，＝，∴e＝＝；当＝时， ＝，∴e＝＝. 答案：3．双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为434．若双曲线＝1的渐近线方程为y＝，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝，∴m＝3，求得双曲线方程为：＝1，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)．答案：(－，0)，(，0)4．若双曲线＝1的渐近线方程445．双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于________．解析：∵2c＝4×，∴c2＝4a2.∴e2＝＝4，e＝2.答案：25．双曲线的焦距是两准线间距离的4倍，则此双曲线的离心率等于45【例1】在△MNG中，已知NG＝4.当动点M满足条件sinG－sinN＝sinM

时，求动点M的轨迹方程．

求双曲线的标准方程要确定焦点所在的坐标轴以及a2和b2的值，其常用的方法是待定系数法．【例1】在△MNG中，已知NG＝4.当动点M满足条件s46思路点拨：建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sinG－sinN＝

sinM转化成边长之间的关系，并由此关系确定轨迹方程．

解：以NG所在的直线为x轴，以线段NG的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．∵sinG-sinN=

∴由正弦定理，得MN-MG=

∴由双曲线的定义知，点M的轨迹是以N、G为焦点的双曲线的右支(除去与x轴的交点)．∴2c=4,2a=2，即c=2，a=1.∴b2=c2-a2=3.∴动点M的轨迹方程为x2－=1(x>0，且y≠0)．思路点拨：建立适当的直角坐标系，利用正弦定理把sinG－s47变式1：已知定点A(3,0)和定圆C：(x＋3)2＋y2＝16，动圆和圆C相外

切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．解：设P的坐标为(x，y)．∵圆C与圆P外切且过点A，∴PC－

PA＝4.∵AC＝6>4，∴点P的轨迹是以C、A为焦点，2a＝4的双曲线的右支．∵a＝2，c＝3，∴b2＝c2－a2＝5.∴＝1(x>0)为动圆圆心P的轨迹方程．变式1：已知定点A(3,0)和定圆C：(481．双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系．1．双曲线的性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两49时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线．(2)求已知渐近线的双曲线的方程．(3)渐近线的斜率与离心率的关系．如2．在双曲线的性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近50【例2】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，

且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线的方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．思路点拨：【例2】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的51解：(1)由已知：c＝设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则

解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为

双曲线方程为

(2)不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，所以PF1＝10，PF2＝4.又F1F2＝，

解：(1)由已知：c＝设椭圆长、短半轴长52变式2：已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过点(4，－)．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线x＝3与双曲线交于M、N两点，求证：F1M⊥F2M.解：(1)e＝，则 ＝2，∴a＝b.故可设双曲线的方程为x2－y2＝

λ(λ≠0)．由于双曲线过点(4，－)，∴42－(－)2＝λ.∴λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可得变式2：已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为且过53【规律方法总结】1．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用和圆有关问题都是类似的．2．当涉及到双曲线上点到焦点或到准线的距离时，要注意双曲线是两条曲线，点有可能在其中的一支上．3．在已知双曲线上一点P与两个焦点F1、F2构成的△PF1F2中，||PF1|－|PF2||＝2a，F1F2＝2c，再给出一个条件时，焦点△PF1F2可解.

【规律方法总结】1．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线54

【高考真题】【例3】(2009·湖南卷)

已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．

分析：根据四边形的特征，寻找a，c之间的关系，注意双曲线中a，b，c的关系．

【高考真题】【例3】(2009·湖南卷)55规范解答：设双曲线方程为

如右图所示，由于在双曲线中c>b，故在Rt△OF1B2中，只能是∠OF1B2=30°，所以

所以所以a=

答案：

规范解答：设双曲线方程为56本题考查双曲线的简单几何性质，在题目给出的四边形中隐含着对内角等于60°的选择，以此检测考生对双曲线几何性质的掌握程度，是一道有较好区分度的试题．

【全解密】【命题探究】

【知识链接】

双曲线(a>0，b>0)中有三类特殊点：焦点(±c,0)，顶点(±a,0)，虚轴的两个