机器人运动学课件

机器人运动学2005年3月24日机器人运动学2005年3月24日1运动学正问题杆件参数的意义坐标系的建立原则杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换机器人的运动学方程运动学正问题杆件参数的意义2杆件参数的意义-和

li关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度关节i轴线与i+1轴线在垂直于li平面内的夹角

串联关节，每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和Ai+1相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度

li（），一个是杆件的扭转角

AiAi+1杆件参数的意义-和li关节Ai轴和Ai+3杆件参数的意义-和

是从第i-1坐标系的原点到Zi－１轴和Ｘi轴的交点沿Ｚi-1轴测量的距离

绕Zi-1轴由Ｘi-1轴转向Ｘi轴的关节角确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的距离：，一个是杆件的回转角：

AiAi+1Ai-1杆件参数的意义-和是从第i-1坐标系的原点到4坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1为右手坐标系原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线Yi轴：按右手定则Li—沿xi轴，zi-1轴与xi轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xi坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1为右手坐标系Li—沿5杆件坐标系间的变换过程

-相邻关节坐标系的齐次变换将xi-1轴绕zi-1轴转i

角度，将其与xi轴平行；沿zi-1轴平移距离di

，使zi-1轴与zi轴重合；沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重合；绕xi

轴转i角度，两坐标系完全重合．杆件坐标系间的变换过程

-相邻关节坐标系6机器人的运动学方程

D-H变换矩阵机器人的运动学方程D-H变换矩阵7运动学逆问题多解性，剔除多余解原则根据关节运动空间合适的解选择一个与前一采样时间最接近的解根据避障要求得选择合适的解逐级剔除多余解可解性所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解运动学逆问题多解性，剔除多余解原则8例题：试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？

在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。xyz例题：试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置在机9解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X10解2：解2：11机器人运动学课件12特殊情况坐标系的建立原则Oi—Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi—Ai+1轴线Xi—Zi和Zi-1构成的面的法线Yi—右手定则

xiyi两个关节轴相交特殊情况坐标系的建立原则Oi—Ai与Ai+1关节轴线的13两个关节轴线平行先建立∑0i-1然后建立∑0i+1最后建立∑0i

两个关节轴线平行先建立∑0i-114举例：Stanford机器人举例：Stanford机器人15A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0x0O0为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线Yi轴：按右手定则Li—沿xi轴，zi-1轴与xi轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xiA1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y216解：解：17机器人运动学课件18机器人运动学课件19用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边求解这个未知数把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解运动学逆问题解法Paul等人提出的方法:用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即20Paul等人提出的方法Paul等人提出的方法21机器人末端操作器位姿的其它描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，φ、θ、ψ就是这种广义坐标。有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中

机器人末端操作器位姿的其它描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化223种最常见的欧拉角类型步1步2步3类型1绕OZ轴转φ角绕当前OU'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型2绕OZ轴转φ角绕当前OV'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型3绕OX轴转φ角绕OY轴转θ角绕OZ轴转ψ角φφφu′v′w′①x(u)y(v)z(w)oθu"v"θw"②u׳׳׳③ψψψv׳׳׳W׳׳׳类型1：表示法通常用于陀螺运动3种最常见的欧拉角类型步1步2步3类型1绕OZ轴转φ角绕当前23类型2：所得的转动矩阵为右乘

类型2：所得的转动矩阵为右乘24类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）

类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形25斯坦福机器人运动学逆问题解斯坦福机器人运动学逆问题解26式中：

由两端矩阵对应元素相等可得：

式中：由两端矩阵对应元素相等可得：27作三角变换：

式中：

得到：

即有：

（）作三角变换：式中：得到：即有：（28由1,4和2,4元素对应相等，得：

由1,4和2,4元素对应相等，得：29式中第四列：

式中第四列：30式中第三列：

式中第三列：31机器人运动学课件32机器人运动学课件33微动矩阵和微动齐次变换对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系定义:各关节当角度移小于5°时，平移在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用微动矩阵和微动齐次变换对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动34设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转；②绕各坐标轴平移dx,dy,dz

求：在中的位置和姿态.

定义为微动齐次变换矩阵

在忽略高次项的情况下：微动齐次变换与次序无关设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oT35微动平移和微动旋转的齐次变换：平移：旋转R，绕任意轴旋转角:微动平移和微动旋转的齐次变换：平移：旋转R，36在微动范围内绕经意轴转动角,可以看作绕x,y,z轴的微转动的合成。因此：因此：在微动范围内绕经意轴转动角,可以看作绕x,y,z轴的微37因此微动率△=微动的齐次变换：dT=△•T

因此微动率△=微动的齐次变换：dT=△•T38己知变换矩阵转动：平移：求dT解：己知变换矩阵转动：平移：求dT解：39反过来：如果我们要求Σ在Σ中的齐次交换矩阵为实际测得的为那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？转动：平移：反过来：如果我们要求Σ在Σ中的齐次交换矩阵为实际测40等效微动位移的求解前面研究的是动坐标系ΣOn在ΣOo中的b变换为T，相对于基准坐标系作微平移和微转动，来求微动齐次交换。现在我们研究动坐标系ΣOn相对于自身坐标系做了微位移或微转动，达到绕基准坐标同样的效果则如何求解。

等效微动位移的求解前面研究的是动坐标系ΣOn在ΣOo中的b变41dT=△•T（绕基准坐标系）=T•△T（绕动坐标系）左乘,绕基准右乘,绕动坐标轴强调等效dT=△•T（绕基准坐标系）=T•△T（绕动坐标42设：有：设：有：43绕自身轴的微动率△Τ和绕固定坐标系坐标轴的微动率△之间的什么关系，举例说明：

例：一动坐标系相对于固定坐标系的齐次交换为nsap己知相对固定坐标系的微动平移和转动求：①△与△Τ

②求dT③求与之等效的绕动坐标系的微平移和微转动绕自身轴的微动率△Τ和绕固定坐标系坐标轴的微动率△之间的什么44解：①△=解：①△=45机器人运动学课件46解②：解③：绕自身平移和转动其结果等于绕固定坐标系转动和旋转等效解②：解③：绕自身平移和转动其结果等于绕固定坐标系转动和47说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移或转动）,我们可以认为末端操作器相对于自己的坐标系发生了微位移。只是微动率△和△Τ不同而己。其结果是等效的。这些在进行误差补偿和微动时有用,如产生误差如何补偿？可以反向运动末端关节来补偿微动齐次变换的意义说明：如果我们发现末端操作器相对于基准坐标系有了微位移（平移48误差及误差补偿制造和检测误差运算过程中圆整、插补、拟合造成的误差—原理性误差构件承受的负载、加速度、重力的变形误差传动误差环境影响误差误差来源：单关节补偿多关节补偿误差补偿：误差及误差补偿制造和检测误差误差来源：单关节补偿误差补偿：49单关节补偿：单关节补偿：50忽略高次项：绕自身绕Σi-1

多关节补偿：忽略高次项：绕自身绕Σi-1多关节补偿：51并联机器人运动学燕山大学黄真《并联机器人机构学理论及其控制》并联机器人运动学燕山大学黄真52机器人运动学课件53机器人运动学2005年3月24日机器人运动学2005年3月24日54运动学正问题杆件参数的意义坐标系的建立原则杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换机器人的运动学方程运动学正问题杆件参数的意义55杆件参数的意义-和

li关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度关节i轴线与i+1轴线在垂直于li平面内的夹角

串联关节，每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和Ai+1相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度

li（），一个是杆件的扭转角

AiAi+1杆件参数的意义-和li关节Ai轴和Ai+56杆件参数的意义-和

是从第i-1坐标系的原点到Zi－１轴和Ｘi轴的交点沿Ｚi-1轴测量的距离

绕Zi-1轴由Ｘi-1轴转向Ｘi轴的关节角确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的距离：，一个是杆件的回转角：

AiAi+1Ai-1杆件参数的意义-和是从第i-1坐标系的原点到57坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1为右手坐标系原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线Yi轴：按右手定则Li—沿xi轴，zi-1轴与xi轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xi坐标系的建立原则AiAi+1Ai-1为右手坐标系Li—沿58杆件坐标系间的变换过程

-相邻关节坐标系的齐次变换将xi-1轴绕zi-1轴转i

角度，将其与xi轴平行；沿zi-1轴平移距离di

，使zi-1轴与zi轴重合；沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重合；绕xi

轴转i角度，两坐标系完全重合．杆件坐标系间的变换过程

-相邻关节坐标系59机器人的运动学方程

D-H变换矩阵机器人的运动学方程D-H变换矩阵60运动学逆问题多解性，剔除多余解原则根据关节运动空间合适的解选择一个与前一采样时间最接近的解根据避障要求得选择合适的解逐级剔除多余解可解性所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解运动学逆问题多解性，剔除多余解原则61例题：试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？

在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。xyz例题：试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置在机62解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的-Y，X，Z轴平行。解1：因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X63解2：解2：64机器人运动学课件65特殊情况坐标系的建立原则Oi—Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi—Ai+1轴线Xi—Zi和Zi-1构成的面的法线Yi—右手定则

xiyi两个关节轴相交特殊情况坐标系的建立原则Oi—Ai与Ai+1关节轴线的66两个关节轴线平行先建立∑0i-1然后建立∑0i+1最后建立∑0i

两个关节轴线平行先建立∑0i-167举例：Stanford机器人举例：Stanford机器人68A1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y2O2z3y3x3O3y4z4x4O4z5y5x5O5d3z6x6y6O6d6z0y0x0O0为右手坐标系原点Oi：Ai与Ai+1关节轴线的交点Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意Xi轴：Zi和Zi-1构成的面的法线Yi轴：按右手定则Li—沿xi轴，zi-1轴与xi轴交点到0i的距离αi—绕xi轴，由zi-1转向zidi—沿zi-1轴，zi-1轴和xi交点至∑0i–1坐标系原点的距离θi—绕zi-1轴，由xi-1转向xiA1A2A3A4A5A6d1z1x1y1O1d2z2x2y269解：解：70机器人运动学课件71机器人运动学课件72用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即用逆变换把一个未知数由矩阵方程的右边移到左边求解这个未知数把下一个未知数移到左边重复上述过程，直到解出所有解运动学逆问题解法Paul等人提出的方法:用未知的逆变换逐次左乘，由乘得的矩阵方程的元素决定未知数，即73Paul等人提出的方法Paul等人提出的方法74机器人末端操作器位姿的其它描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，φ、θ、ψ就是这种广义坐标。有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态。三种最常见的欧拉角类型列在表中

机器人末端操作器位姿的其它描述方法用矩阵表示刚性体的转动简化753种最常见的欧拉角类型步1步2步3类型1绕OZ轴转φ角绕当前OU'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型2绕OZ轴转φ角绕当前OV'轴转θ角绕当前OW″轴转ψ角类型3绕OX轴转φ角绕OY轴转θ角绕OZ轴转ψ角φφφu′v′w′①x(u)y(v)z(w)oθu"v"θw"②u׳׳׳③ψψψv׳׳׳W׳׳׳类型1：表示法通常用于陀螺运动3种最常见的欧拉角类型步1步2步3类型1绕OZ轴转φ角绕当前76类型2：所得的转动矩阵为右乘

类型2：所得的转动矩阵为右乘77类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做横滚、俯仰和偏航角表示方法）

类型3：一般称此转动的欧拉角为横滚、俯仰和偏航角，这种形78斯坦福机器人运动学逆问题解斯坦福机器人运动学逆问题解79式中：

由两端矩阵对应元素相等可得：

式中：由两端矩阵对应元素相等可得：80作三角变换：

式中：

得到：

即有：

（）作三角变换：式中：得到：即有：（81由1,4和2,4元素对应相等，得：

由1,4和2,4元素对应相等，得：82式中第四列：

式中第四列：83式中第三列：

式中第三列：84机器人运动学课件85机器人运动学课件86微动矩阵和微动齐次变换对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动范围内各关节的位移运动关系定义:各关节当角度移小于5°时，平移在0.1mm左右时，微动矩阵大致可用微动矩阵和微动齐次变换对象:微动矩阵主要是描述机器人在微动87设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oTN，做微动，①绕任意轴w轴转；②绕各坐标轴平移dx,dy,dz

求：在中的位置和姿态.

定义为微动齐次变换矩阵

在忽略高次项的情况下：微动齐次变换与次序无关设：有一机器人如图，末端执行器在机座坐标系中的齐次变换为oT88微动平移和微动旋转的齐次变换：平移：旋转R，绕任意轴旋转角:微动平移和微动旋转的齐次变换：平移：旋转R，89在微动范围内绕经意轴转动角,可以看作绕x,y,z轴的微转动的合成。因此：因此：在微动范围内绕经意轴转动角,可以看作绕x,y,z轴的微90因此微动率△=微动的齐次变换：dT=△•T

因此微动率△=微动的齐次变换：dT=△•T91己知变换矩阵转动：平移：求dT解：己知变换矩阵转动：平移：求dT解：92反过来：如果我们要求Σ在Σ中的齐次交换矩阵为实际测得的为那么末端执行器坐标系要如何运动才能到达期望值？转动：平移：