衡水中学自用课件第五章-21复数的加法与减法

第五章数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算2.1

c第五章数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04明目标知重点填要点探要点内容010203当堂测041.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.明目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.明目标、知重点填要点·记疑点1.复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝

，z1－z2＝

.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝

，(z1＋z2)＋z3＝

.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)填要点·记疑点1.复数加法与减法的运算法则(a＋c)＋(b＋42.复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为

，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是

，与

z1－z2对应的向量是

.2.复数加减法的几何意义5探要点·究所然情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探要点·究所然情境导学6探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数；探究点一复数加减法的运算7思考2复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则.答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.思考2复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比8思考3实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明.答满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).思考3实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律9例1

计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；解原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i).解

原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.例1计算：10反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚11跟踪训练1计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；解原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R).解原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.跟踪训练1计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i12探究点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？探究点二复数加减法的几何意义13思考2

怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答z1－z2可以看作z1＋(－z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).思考2怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答z1－z2可14例2

如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示015衡水中学自用课件第五章-21复数的加法与减法16反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结17跟踪训练2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图.跟踪训练2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－18故点D对应的复数为2－i.故点D对应的复数为2－i.19探究点三复数加减法的综合应用例3

已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解方法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，

①(a－c)2＋(b－d)2＝1，

②由①②得2ac＋2bd＝1，探究点三复数加减法的综合应用20方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为21∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，22反思与感悟(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.反思与感悟(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复23(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应24跟踪训练3若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值.解设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图.∵|z＋i|＋|z－i|＝2，Z1Z2＝2，∴点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.跟踪训练3若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋25连接Z3Z1，Z3Z1⊥Z1Z2，则Z3与Z1的距离即为所求的最小值，Z1Z3＝1.故|z＋i＋1|的最小值为1.连接Z3Z1，Z3Z1⊥Z1Z2，26当堂测·查疑缺C12345当堂测·查疑缺C12345272.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(

)A.1＋i B.1＋3iC.－1－i

D.－1－3i解析z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.B123452.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于()B12345283.在复平面内，O是原点

，表示的复数分别为

－2＋i，3＋2i,1＋5i，则

表示的复数为(

)A.2＋8i B.－6－6iC.4－4i D.－4＋2iC123453.在复平面内，O是原点294.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(

)A.实轴上

B.虚轴上C.第一象限

D.第二象限解析∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上即虚轴上.B123454.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在()B13012345.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.5解析

z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，－112345.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝31呈重点、现规律1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算.2.复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.呈重点、现规律1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复32更多精彩内容请登录http://谢谢观看更多精彩内容请登录http://www.91taoke.co第五章数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算2.1

c第五章数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺04明目标知重点填要点探要点内容010203当堂测041.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.明目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.明目标、知重点填要点·记疑点1.复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则z1＋z2＝

，z1－z2＝

.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝

，(z1＋z2)＋z3＝

.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)填要点·记疑点1.复数加法与减法的运算法则(a＋c)＋(b＋372.复数加减法的几何意义如图：设复数z1，z2对应向量分别为

，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是

，与

z1－z2对应的向量是

.2.复数加减法的几何意义38探要点·究所然情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探要点·究所然情境导学39探究点一复数加减法的运算思考1我们规定复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答仍然是个复数，且是一个确定的复数；探究点一复数加减法的运算40思考2复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则.答实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项.(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.思考2复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？类比41思考3实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明.答满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1.结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i，显然，z1＋z2＝z2＋z1，同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).思考3实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律42例1

计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；解原式＝(1－2－2＋1)＋(2＋1－1－2)i＝－2.(2)1＋(i＋i2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i).解

原式＝1＋(i－1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i＝－2＋i.例1计算：43反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i看作字母，类比多项式加减中的合并同类项.反思与感悟复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚44跟踪训练1计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；解原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R).解原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.跟踪训练1计算：(1)2i－[(3＋2i)＋3(－1＋3i45探究点二复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？探究点二复数加减法的几何意义46思考2

怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答z1－z2可以看作z1＋(－z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量(如图).思考2怎样作出与复数z1－z2对应的向量？答z1－z2可47例2

如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示048衡水中学自用课件第五章-21复数的加法与减法49反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结50跟踪训练2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.解设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图.跟踪训练2复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－51故点D对应的复数为2－i.故点D对应的复数为2－i.52探究点三复数加减法的综合应用例3

已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解方法一设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，

①(a－c)2＋(b－d)2＝1，

②由①②得2ac＋2bd＝1，探究点三复数加减法的综合应用53方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，方法二设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为54∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，55反思与感悟(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用.反思与感悟(1)设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复56(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.(2)在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应57跟踪训练3若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值.解设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图.∵|z＋i|＋|z－i|＝2，Z1Z2＝2，∴点Z的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.跟踪训练3若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋58连接Z3Z1，Z3Z1⊥Z1Z2，则Z3与Z1的距离即为所求的最小值，Z1Z3＝1.故|z＋i＋1|的最小值为1.连接Z3Z1，Z3Z1⊥Z1Z2，59当堂测