第3章随机变量的数字特征第1节-概率论课件

2022/12/112022/12/112022/12/122022/12/12

随机变量某一方面的概率特性都可用

数字来描写（1）随机变量的平均取值——数学期望；（2）随机变量的取值平均偏离平均值的情况——方差；（3）描述随机变量之间的相关关系——协方差和相关系数；2022/12/13随机变量某一方面的概率特性都可用

数字来描写（1）随机变一、数学期望的定义二、数学期望的性质基本内容：第一节数学期望

第三章

——随机变量的数字特征2022/12/14一、数学期望的定义基本内容：第一节数学期望抽象出§3.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望

1、概念的引入：例1甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,则平均成绩

平均值

===以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均频率和概率的关系改以概率为权的加权平均数学期望

试验次数很大时,频率会接近于概率pk2022/12/15§3.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望1、概念离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和红球数的数学期望。例

1从装有6个红球与4个白球的袋中任意取出3个球，求其中解设

X

为红球数,则

X

的分布列为

它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均超几何分布2022/12/16离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和红球数的数学期2022/12/172022/12/170-1分布几种常见分布的数学期望二项分布2022/12/180-1分布几种常见分布的数学期望二项分布2022/12/1Poisson分布2022/12/19Poisson分布2022/12/19定义2

设

X

是连续型随机变量,

其密度函数为f(x),若收敛,则称为

X

的数学期望，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分小面积近似为简称期望或均值.

f

(

x)

x2022/12/110定义2设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x)例设随机变量X密度为试证E(X)不存在.

解柯西分布=+,

∴

E(X)不存在.不绝对收敛2022/12/111例设随机变量X密度为试证E(X)不存在.解均匀分布指数分布2022/12/112均匀分布指数分布2022/12/112

如果收敛,三、随机变量函数的数学期望

定理设随机变量Y是随机变量X

的连续函数Y=g(X),

(1)设X为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi)=pi,i=1,2,…,(2)设X是连续型随机变量,其密度函数为

f(x),

如果收敛,则

则

2022/12/113

=

0.

1+

0.

2+

0.

4

+

0.

3例设随机变量X的分布列为pkX

-1012

0.10.

20.40.3求E(2X-

1),E(X

2).

解E(2X

-1)=1.4

;

解2022/12/114=0.1+四、数学期望的性质证:证:推广2022/12/115四、数学期望的性质证:证:推广2022/12/115证：仅就连续随机变量情形2022/12/116证：仅就连续随机变量情形2022/12/116五、期望及其性质的应用2022/12/117五、期望及其性质的应用2022/12/117例(P74)设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N),求EX。五、期望及其性质的应用解设

Xi表示第

i次取出的样品数中的次品数，则Xi服从如下的“0-1”分布,且Xi的分布列为这种将

X

分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得X的期望的方法是较常见的基本方法.取出的n件样品中的次品数2022/12/118例(P74)设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N)

设每次命中率为p,例对某一目标连续射击,直到命中n次为止.

五、期望及其性质的应用求消耗子弹数X的数学期望.

解设

Xi表示从第

i–1

次命中后至第i次命中时所消耗的子弹数，

则X=X1+X2+…+Xn

,且Xi的分布列为

P(Xi=k)=(1-p)k-1p,2022/12/119

而商场每销售一单位商品可获利500元,

若供大于求,则削价处理,

每单位商品亏损100元;例某种商品每周的需求量

X～U[10,30],

若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每单位商品可获利300元.要使商场获得最大的收益,问应进货多少?

解设应进货量为a(

10至

30

间的某数),利润为Y,则

连续故当a=23.33时,

EY

最大,

供不应求供大于求2022/12/120

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我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.小结·保线性运算五条性质:·独立性与积2022/12/123我们介绍了随机变量的数学期望，2022/12/1242022/12/112022/12/1252022/12/12

随机变量某一方面的概率特性都可用

数字来描写（1）随机变量的平均取值——数学期望；（2）随机变量的取值平均偏离平均值的情况——方差；（3）描述随机变量之间的相关关系——协方差和相关系数；2022/12/126随机变量某一方面的概率特性都可用

数字来描写（1）随机变一、数学期望的定义二、数学期望的性质基本内容：第一节数学期望

第三章

——随机变量的数字特征2022/12/127一、数学期望的定义基本内容：第一节数学期望抽象出§3.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望

1、概念的引入：例1甲班有30名学生，他们的数学考试成绩(按五级记分)如右表所示,则平均成绩

平均值

===以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均频率和概率的关系改以概率为权的加权平均数学期望

试验次数很大时,频率会接近于概率pk2022/12/128§3.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望1、概念离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和红球数的数学期望。例

1从装有6个红球与4个白球的袋中任意取出3个球，求其中解设

X

为红球数,则

X

的分布列为

它是随机变量所有取值的以概率为权的加权平均超几何分布2022/12/129离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛级数的和红球数的数学期2022/12/1302022/12/170-1分布几种常见分布的数学期望二项分布2022/12/1310-1分布几种常见分布的数学期望二项分布2022/12/1Poisson分布2022/12/132Poisson分布2022/12/19定义2

设

X

是连续型随机变量,

其密度函数为f(x),若收敛,则称为

X

的数学期望，连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分小面积近似为简称期望或均值.

f

(

x)

x2022/12/133定义2设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x)例设随机变量X密度为试证E(X)不存在.

解柯西分布=+,

∴

E(X)不存在.不绝对收敛2022/12/134例设随机变量X密度为试证E(X)不存在.解均匀分布指数分布2022/12/135均匀分布指数分布2022/12/112

如果收敛,三、随机变量函数的数学期望

定理设随机变量Y是随机变量X

的连续函数Y=g(X),

(1)设X为离散型随机变量,其分布列为P(X=Xi)=pi,i=1,2,…,(2)设X是连续型随机变量,其密度函数为

f(x),

如果收敛,则

则

2022/12/136

=

0.

1+

0.

2+

0.

4

+

0.

3例设随机变量X的分布列为pkX

-1012

0.10.

20.40.3求E(2X-

1),E(X

2).

解E(2X

-1)=1.4

;

解2022/12/137=0.1+四、数学期望的性质证:证:推广2022/12/138四、数学期望的性质证:证:推广2022/12/115证：仅就连续随机变量情形2022/12/139证：仅就连续随机变量情形2022/12/116五、期望及其性质的应用2022/12/140五、期望及其性质的应用2022/12/117例(P74)设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N),求EX。五、期望及其性质的应用解设

Xi表示第

i次取出的样品数中的次品数，则Xi服从如下的“0-1”分布,且Xi的分布列为这种将

X

分解为有限多个随机变量之和,再利用期望性质求得X的期望的方法是较常见的基本方法.取出的n件样品中的次品数2022/12/141例(P74)设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N)

设每次命中率为p,例对某一目标连续射击,直到命中n次为止.

五、期望及其性质的应用求消耗子弹数X的数学期望.

解设

Xi表示从第

i–1

次命中后至第i次命中时所消耗的子弹数，

则X=X1+X2+…+Xn

,且Xi的分布列为

P(Xi=k)=(1-p)k-1p,2022/12/142