无限脉冲响应数字滤波器的设计课件

第七章

无限脉冲响应数字滤波器的设计第七章

无限脉冲响应数字滤波器的设计本章目录数字滤波器的技术指标与设计方法

用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

IIR数字滤波器的优化设计

IIR数字滤波器的Matlab仿真实现

2本章目录数字滤波器的技术指标与设计方法用模拟滤波器设计II理想的数字滤波器是非因果的，因而是物理上不可实现的。滤波器的设计就是用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数H(z)去逼近理想滤波器的性能。IIR数字滤波器的两类设计方法：借助于模拟滤波器的设计方法；直接在频域或者时域中进行设计。7.1引言3理想的数字滤波器是非因果的，因而是物理上不可实现的。滤波器的数字滤波器的技术要求

数字滤波器的设计方法

7.2数字滤波器的技术指标与设计方法4数字滤波器的技术要求数字滤波器的设计方法7.2数字滤传输函数幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况；

相频特性

φ(ω)

反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

7.2.1数字滤波器的技术要求5传输函数7.2.1数字滤波器的技术要求5理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。为了物理上可实现，在通带与阻带之间应设置一定宽度的过渡带，并且在通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。6理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。6低通滤波器通带阻带

7低通滤波器通带7通带内允许的最大衰减阻带内允许的最小衰减3dB通带截止频率当幅度下降到时，即下降为0.707,，对应的频率

8通带内允许的最大衰减87.2.2数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计问题就是寻找一组系数ai和bi，使得其性能在某种意义上逼近所要求的特性。数字滤波器的设计步骤:给出所需要的滤波器的技术指标；设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标；用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设计的H(z)。

97.2.2数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计问题就是寻IIR的设计方法—借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅。设计步骤将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。

10IIR的设计方法—借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，IIR的设计方法—直接设计直接在频域或者时域中进行设计这是一种最优化设计法。由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。11IIR的设计方法—直接设计直接在频域或者时域中进行设计11FIR滤波器的设计方法

FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器的频率特性作某种逼近得到的。常用的设计方法:窗函数法频率采样法计算机辅助最优化设计法12FIR滤波器的设计方法FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器7.3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器模拟滤波器的设计脉冲响应不变法双线性变换法设计IIR数字滤波器的频率变换法

137.3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器模拟滤波器的设计7.3.1模拟滤波器的设计

常用的模拟滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性切比雪夫（Chebyshew）滤波器幅频特性在通带或者阻带内有波动，可以提高选择性；椭圆（Ellipse）滤波器在通带和阻带内都有纹波贝塞尔（Bessel）滤波器等通带内有较好的线性相位特性

147.3.1模拟滤波器的设计常用的模拟滤波器14理想模拟滤波器幅频特性

15理想模拟滤波器幅频特性15幅度平方函数模拟低通滤波器的设计指标通带截止频率通带最大衰减阻带截止频率阻带最小衰减16幅度平方函数16模拟滤波器的设计步骤

由给定的、、和求出由得到滤波器的系统函数

Ha(s)的极点（或零点）与Ha(-s)的极点（或零点）具有象限对称性。为了保证设计的滤波器稳定，将|Ha(s)|2的左半平面的极点赋给Ha(s)。17模拟滤波器的设计步骤由给定的、、和巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器阶数Ωc为3dB截止频率18巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器的特点幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的速度与阶数有关。随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形频率特性。不管N的取值是多少，都经过点。

19巴特沃斯低通滤波器的特点幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的速幅度平方函数的极点分布幅度平方函数有2N个极点这N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是/Nrad。这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚轴上。当N是奇数时，实轴上有两个极点；当N是偶数时，实轴没有极点。

20幅度平方函数的极点分布幅度平方函数有2N个极点20Ha(s)的表达式为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)

21Ha(s)的表达式为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左频率归一化将所有的频率对Ωc归一化，归一化频率：归一化的幅度平方函数为：22频率归一化将所有的频率对Ωc归一化，归一化频率：22模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标Ωp、αp、Ωs和αs确定巴特沃斯滤波器的阶数N和频率Ωc。23模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤由给定的设计指标Ωp、α求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。幅度平方函数极点为：将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)

24求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。24切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型滤波器；在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。25切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特切比雪夫多项式

N

为切比雪夫多项式的阶数切比雪夫多项式的递推公式26切比雪夫多项式N为切比雪夫多项式的阶数26不同N值的切比雪夫多项式的曲线

切比雪夫多项式的零点在区间内；当时，曲线具有等纹波特性；当时，曲线按双曲余弦函数单调上升。

27不同N值的切比雪夫多项式的曲线切比雪夫多项式的零点在切比雪夫滤波器的幅度平方函数

ε是小于1的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数，ε愈大，纹波也愈大。Ωp称为有效通带截止频率。频率通常对Ωp归一化，

28切比雪夫滤波器的幅度平方函数ε是小于1的正数，称为纹波参数切比雪夫滤波器的幅频特性29切比雪夫滤波器的幅频特性29在通带内，在1和之间起伏变化；在阻带内是单调下降的；当N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1；当N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为。当时，

30在通带内，在1和之间起伏变化；在阻带内是单调ε的确定设允许的通带纹波为δ，那么

31ε的确定设允许的通带纹波为δ，那么31阶数N的确定32阶数N的确定32切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点

其中33切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点其中33极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在为长半轴，为短半轴的椭圆上的点。

34极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在34切比雪夫滤波器的传输函数

系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时，

35切比雪夫滤波器的传输函数系数A由s=0时滤波器幅度响应的值切比雪夫低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数ε、N和Ωp36切比雪夫低通滤波器的设计步骤由给定的设计指标确定切比雪夫滤求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。37求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。377.3.2脉冲响应不变法从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是按照一定的转换关系将s平面上的Ha(s)转换成z平面上的H(z)。脉冲响应不变法双线性变换法

387.3.2脉冲响应不变法从模拟滤波器设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)的取样值完全一样

39脉冲响应不变法使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟4040s平面到z平面的映射关系

s平面上每一条宽为2/T的横带重复地映射到整个z平面上每一横条的左半部分映射到z平面的单位圆以内右半部分映射到z平面的单位圆以外s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上虚轴上每一段长为的线段2/T都映射到z平面单位圆上一周。

41s平面到z平面的映射关系s平面上每一条宽为2/T的横带重例7.3设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。解将Ha(s)展开成部分分式得用代换得到42例7.3设模拟滤波器的系统函数为42取T=1，得到数字滤波器的频率响应为43取T=1，得到437.3.3双线性变换法采用非线性频率压缩方法将整个s平面压缩变换到s1平面/T之间的一条横带里;然后再用z=es1T将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面到z平面是一一映射的关系，从而消除了频谱混叠现象。447.3.3双线性变换法采用非线性频率压缩方法将整个s平面双线性变换法的映射关系

45双线性变换法的映射关系45非线性频率压缩

双线性变换的映射关系46非线性频率压缩双线性变换的映射关系46z平面的ω与s平面的Ω之间呈非线性关系。这种非线性关系导致双线性变换法的频率标度的非线性失真，直接影响数字滤波器频响逼真地模仿模拟滤波器的频响。

47z平面的ω与s平面的Ω之间呈非线性关系。47例7.4已知模拟滤波器的传输函数为采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设T=2s解将式(7.38)代入Ha(s)可得48例7.4已知模拟滤波器的传输函数为487.3.4设计IIR数字滤波器的频率变换法数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法

模拟原型低通滤波器模拟（高通、带通或带阻）滤波器数字（高通、带通或带阻）滤波器频率变换脉冲响应不变法双线性变换法模拟原型低通滤波器数字低通滤波器数字（高通、带通或带阻）滤波器脉冲响应不变法双线性变换法频率变换497.3.4设计IIR数字滤波器的频率变换法数字高通、带通模拟低通到模拟高通的变换

设λ为低通滤波器归一化频率，p=jλ，η为高通滤波器归一化频率，q=jη，50模拟低通到模拟高通的变换设λ为低通滤波器归一化频率，p=模拟低通到模拟高通的频率变换关系：模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为：模拟高通滤波器的转移函数为：

51模拟低通到模拟高通的频率变换关系：51模拟低通到模拟带通的变换

Ωsl：下阻带上限频率Ω1：通带下限Ω3：通带上限Ωsh：上阻带下限频率B=Ω3-Ω1:带通滤波器的带宽，并以此作为参考频率对轴Ω作归一化处理52模拟低通到模拟带通的变换Ωsl：下阻带上限频率52通带中心频率归一化中心频率

53通带中心频率53模拟低通到模拟带通的频率变换关系

η和λ的对应关系：

54模拟低通到模拟带通的频率变换关系η和λ的对应关系：54模拟低通到模拟带通的频率变换关系

模拟带通滤波器的系统函数为：

55模拟低通到模拟带通的频率变换关系模拟带通滤波器的系统函数为模拟低通到模拟带阻的变换

Ω1：通带下限Ω3：通带上限Ωsl：阻带下限Ωsh：阻带上限B=Ω3-Ω1:阻带带宽，并以此作为参考频率对轴Ω作归一化处理

56模拟低通到模拟带阻的变换Ω1：通带下限56通带中心频率归一化中心频率57通带中心频率57η和λ的对应关系：

58η和λ的对应关系：58模拟低通到模拟带阻的频率变换关系

模拟带阻滤波器的系统函数为:

59模拟低通到模拟带阻的频率变换关系模拟带阻滤波器的系统函数为由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤：将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。设计模拟低通滤波器。将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成所需类型的模拟滤波器。采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。

60由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤例7.5设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率，阻带上限频率为，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于15dB。解数字高通滤波器的技术指标为模拟高通滤波器的技术指标，取T=161例7.5设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率对p归一化，模拟低通滤波器的技术指标设计归一化模拟低通滤波器62对p归一化，62取N=2，归一化模拟低通滤波器为去归一化，将模拟低通转换成模拟高通63取N=2，归一化模拟低通滤波器为63用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通64用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通647.4IIR数字滤波器的优化设计频率最小均方误差设计时域直接设计657.4IIR数字滤波器的优化设计频率最小均方误差设计67.4.1频率最小均方误差设计理想滤波器的频率响应：Hd(ejω)设计的滤波器的频率响应：H(ejω)频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的频率响应H(ejω)，使最小

667.4.1频率最小均方误差设计理想滤波器的频率响应：Hd设滤波器的频率响应为：共有（4N+1）个待定系数设

那么67设滤波器的频率响应为：67取E对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到4N+1个方程68取E对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到4N+1个方6969对极点的修正在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。如果极点在单位圆外，那么滤波器不是因果稳定的，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。由于系统函数是一个有理函数，零极点均以共轭成对的形式存在。70对极点的修正在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，设z1为极点如果将极点z1和它的共轭极点均以其倒数和代替后，幅度特性的形状不变化，仅是幅度的增益变化了。设极点z1处于单位圆外，如果用其倒数进行代换，变成，将极点搬移到单位圆内。极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定的。

71设z1为极点717.4.2IIR数字滤波器的时域直接设计设希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，时域设计法是设计一个IIR数字滤波器，使它的单位脉冲响应h(n)逼近hd(n).设滤波器是因果性的，其系统函数为时域直接设计法是寻找M+N-1个系数ai、bi，使得在范围内，使h(n)逼近hd(n)。

727.4.2IIR数字滤波器的时域直接设计设希望设计的II求解上述方程，得到系统函数H(z)73求解上述方程，得到系统函数H(z)73波形形成滤波器

设x(n)为给定的输入信号，yd(n)为希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际的滤波器输出为y(n)74波形形成滤波器设x(n)为给定的输入信号，yd(n)为希望取E对h(n)的偏导为0得到求解上式得H(z)的系数h(n)，然后求出ai和bi75取E对h(n)的偏导为0757.5IIR数字滤波器的Matlab仿真实现IIR数字滤波器设计模拟滤波器到数字滤波器的转换

767.5IIR数字滤波器的Matlab仿真实现IIR数字滤7.5.1IIR数字滤波器设计设数字滤波器系统函数为模拟滤波器的系统函数为函数butter和cheby1可以确定Butterworth和ChebyshevI型滤波器的系统函数。777.5.1IIR数字滤波器设计设数字滤波器系统函数为77函数butter的调用格式

函数butter的调用格式为>>[b,a]=butter(n,Wc,)%设计数字Butterworth滤波器>>[b,a]=butter(n,Wc,'ftype')%设计模拟Butterworth滤波器其中，n为滤波器阶数，Wc为截止频率。78函数butter的调用格式函数butter的调用格式为78函数cheby1的调用格式

函数cheby1的调用格式为>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc)%设计数字Chebyshev滤波器>>[b,a]=cheby1(n,Rp,Wc,'ftype')%设计模拟Chebyshev滤波器其中，n为滤波器阶数，Rp为通带内的纹波系数，Wc为截止频率。79函数cheby1的调用格式函数cheby1的调用格式为79例：设计butterworth低通滤波器

例7.8设计一模拟butterworth低通滤波器，通带截止频率300Hz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率800Hz，阻带最小衰减30dB。

解滤波器的阶数和截止频率可由式和确定，程序段为>>Wp=2*pi*300;Ws=2*pi*800;Rp=2;Rs=30;N=ceil((log10((10^(0.1*Rs)-1)/(10^(0.1*Rp)-1)))/(2*log10(Ws/Wp)));Wc=Wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)));[b,a]=butter(N,Wc,'s');freqs(b,a)80例：设计butterworth低通滤波器例7.8设计一例7.8

程序运行结果运行程序，得到N=4，Wc=2.0157e+003。幅频特性和相频特性如图7.16所示。81例7.8程序运行结果运行程序，得到N=4，Wc=7.5.2模拟滤波器到数字滤波器的转换设模拟滤波器系统函数为数字滤波器的系统函数为从模拟滤波器到数字滤波器的转换有两种方法，即脉冲响应不变法和双线性变换法。827.5.2模拟滤波器到数字滤波器的转换设模拟滤波器系统函脉冲响应不变法

脉冲响应不变法:用代换Ha(s)中的(s-sk)即可得到H(z)，从而将模拟滤波器转换为数字滤波器格式。可用函数impinvar实现，调用格式为>>[bz,az]=impinvar(b,a,fs)其中，fs为取样频率。83脉冲响应不变法脉冲响应不变法:用代换Ha(s)中的(s双线性变换法双线性变换法:用代换Ha(s)中的s即可得到H(z)，从而将模拟滤波器转换为数字滤波器格式。可用函数bilinear实现，调用格式为>>[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,fs)其中，z，p，k和zd，pd，kd分别为s域和z域系统函数的零点、极点和增益。84双线性变换法双线性变换法:用代换Ha(s)中的s即可得到例：模拟滤波器转换数字滤波器例7.9利用impinvar将一模拟低通滤波器变换成数字滤波器(取样频率为10Hz)，程序段为>>[b,a]=butter(4,.3,’s’);[bz,az]=impinvar(b,a,10);程序运行结果为bz=1.0e-006*-0.00000.13240.51920.12730az=1.0000-3.92165.7679-3.77090.924685例：模拟滤波器转换数字滤波器例7.9利用impinvar第七章

无限脉冲响应数字滤波器的设计第七章

无限脉冲响应数字滤波器的设计本章目录数字滤波器的技术指标与设计方法

用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

IIR数字滤波器的优化设计

IIR数字滤波器的Matlab仿真实现

87本章目录数字滤波器的技术指标与设计方法用模拟滤波器设计II理想的数字滤波器是非因果的，因而是物理上不可实现的。滤波器的设计就是用一个因果稳定的离散线性移不变系统的系统函数H(z)去逼近理想滤波器的性能。IIR数字滤波器的两类设计方法：借助于模拟滤波器的设计方法；直接在频域或者时域中进行设计。7.1引言88理想的数字滤波器是非因果的，因而是物理上不可实现的。滤波器的数字滤波器的技术要求

数字滤波器的设计方法

7.2数字滤波器的技术指标与设计方法89数字滤波器的技术要求数字滤波器的设计方法7.2数字滤传输函数幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况；

相频特性

φ(ω)

反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

7.2.1数字滤波器的技术要求90传输函数7.2.1数字滤波器的技术要求5理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。为了物理上可实现，在通带与阻带之间应设置一定宽度的过渡带，并且在通带和阻带都允许一定的误差容限，即通带不一定是完全水平的，阻带不一定都绝对衰减到零。91理想滤波器是非因果的，物理上不可实现。6低通滤波器通带阻带

92低通滤波器通带7通带内允许的最大衰减阻带内允许的最小衰减3dB通带截止频率当幅度下降到时，即下降为0.707,，对应的频率

93通带内允许的最大衰减87.2.2数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计问题就是寻找一组系数ai和bi，使得其性能在某种意义上逼近所要求的特性。数字滤波器的设计步骤:给出所需要的滤波器的技术指标；设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标；用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设计的H(z)。

947.2.2数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计问题就是寻IIR的设计方法—借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指标的数字滤波器。很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图表供查阅。设计步骤将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。

95IIR的设计方法—借用模拟滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，IIR的设计方法—直接设计直接在频域或者时域中进行设计这是一种最优化设计法。由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。96IIR的设计方法—直接设计直接在频域或者时域中进行设计11FIR滤波器的设计方法

FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器的频率特性作某种逼近得到的。常用的设计方法:窗函数法频率采样法计算机辅助最优化设计法97FIR滤波器的设计方法FIR滤波器的设计是通过对理想滤波器7.3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器模拟滤波器的设计脉冲响应不变法双线性变换法设计IIR数字滤波器的频率变换法

987.3用模拟滤波器设计IIR数字滤波器模拟滤波器的设计7.3.1模拟滤波器的设计

常用的模拟滤波器巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性切比雪夫（Chebyshew）滤波器幅频特性在通带或者阻带内有波动，可以提高选择性；椭圆（Ellipse）滤波器在通带和阻带内都有纹波贝塞尔（Bessel）滤波器等通带内有较好的线性相位特性

997.3.1模拟滤波器的设计常用的模拟滤波器14理想模拟滤波器幅频特性

100理想模拟滤波器幅频特性15幅度平方函数模拟低通滤波器的设计指标通带截止频率通带最大衰减阻带截止频率阻带最小衰减101幅度平方函数16模拟滤波器的设计步骤

由给定的、、和求出由得到滤波器的系统函数

Ha(s)的极点（或零点）与Ha(-s)的极点（或零点）具有象限对称性。为了保证设计的滤波器稳定，将|Ha(s)|2的左半平面的极点赋给Ha(s)。102模拟滤波器的设计步骤由给定的、、和巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：N为滤波器阶数Ωc为3dB截止频率103巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器的特点幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的速度与阶数有关。随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内迅速接近于零，因而幅度特性更接近于理想的矩形频率特性。不管N的取值是多少，都经过点。

104巴特沃斯低通滤波器的特点幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的速幅度平方函数的极点分布幅度平方函数有2N个极点这N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是/Nrad。这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚轴上。当N是奇数时，实轴上有两个极点；当N是偶数时，实轴没有极点。

105幅度平方函数的极点分布幅度平方函数有2N个极点20Ha(s)的表达式为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)

106Ha(s)的表达式为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s平面左频率归一化将所有的频率对Ωc归一化，归一化频率：归一化的幅度平方函数为：107频率归一化将所有的频率对Ωc归一化，归一化频率：22模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标Ωp、αp、Ωs和αs确定巴特沃斯滤波器的阶数N和频率Ωc。108模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤由给定的设计指标Ωp、α求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。幅度平方函数极点为：将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)

109求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。24切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的，称为切比雪夫Ⅰ型滤波器；在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切比雪夫Ⅱ型滤波器。110切比雪夫滤波器的设计方法切比雪夫滤波器的幅频特性具有等波纹特切比雪夫多项式

N

为切比雪夫多项式的阶数切比雪夫多项式的递推公式111切比雪夫多项式N为切比雪夫多项式的阶数26不同N值的切比雪夫多项式的曲线

切比雪夫多项式的零点在区间内；当时，曲线具有等纹波特性；当时，曲线按双曲余弦函数单调上升。

112不同N值的切比雪夫多项式的曲线切比雪夫多项式的零点在切比雪夫滤波器的幅度平方函数

ε是小于1的正数，称为纹波参数，是表示通带内纹波大小的一个参数，ε愈大，纹波也愈大。Ωp称为有效通带截止频率。频率通常对Ωp归一化，

113切比雪夫滤波器的幅度平方函数ε是小于1的正数，称为纹波参数切比雪夫滤波器的幅频特性114切比雪夫滤波器的幅频特性29在通带内，在1和之间起伏变化；在阻带内是单调下降的；当N为奇数时，滤波器在处的幅度响应为1；当N为偶数时，滤波器在处的幅度响应为。当时，

115在通带内，在1和之间起伏变化；在阻带内是单调ε的确定设允许的通带纹波为δ，那么

116ε的确定设允许的通带纹波为δ，那么31阶数N的确定117阶数N的确定32切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点

其中118切比雪夫滤波器幅度平方函数的极点其中33极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在为长半轴，为短半轴的椭圆上的点。

119极点分布2N个等角度间隔（间隔为/N）分布在34切比雪夫滤波器的传输函数

系数A由s=0时滤波器幅度响应的值确定:当N为奇数时，当N为偶数时，

120切比雪夫滤波器的传输函数系数A由s=0时滤波器幅度响应的值切比雪夫低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标确定切比雪夫滤波器的参数ε、N和Ωp121切比雪夫低通滤波器的设计步骤由给定的设计指标确定切比雪夫滤求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。122求滤波器的极点，并由s平面左半平面的极点构成Ha(s)。377.3.2脉冲响应不变法从模拟滤波器设计IIR数字滤波器就是按照一定的转换关系将s平面上的Ha(s)转换成z平面上的H(z)。脉冲响应不变法双线性变换法

1237.3.2脉冲响应不变法从模拟滤波器设计IIR数字滤波器脉冲响应不变法使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟滤波器的单位脉冲响应ha(t)的取样值完全一样

124脉冲响应不变法使数字滤波器的单位取样响应h(n)与相应的模拟12540s平面到z平面的映射关系

s平面上每一条宽为2/T的横带重复地映射到整个z平面上每一横条的左半部分映射到z平面的单位圆以内右半部分映射到z平面的单位圆以外s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上虚轴上每一段长为的线段2/T都映射到z平面单位圆上一周。

126s平面到z平面的映射关系s平面上每一条宽为2/T的横带重例7.3设模拟滤波器的系统函数为试利用脉冲响应不变法求数字滤波器的系统函数。解将Ha(s)展开成部分分式得用代换得到127例7.3设模拟滤波器的系统函数为42取T=1，得到数字滤波器的频率响应为128取T=1，得到437.3.3双线性变换法采用非线性频率压缩方法将整个s平面压缩变换到s1平面/T之间的一条横带里;然后再用z=es1T将此横带变换到整个z平面上去，这样就使s平面到z平面是一一映射的关系，从而消除了频谱混叠现象。1297.3.3双线性变换法采用非线性频率压缩方法将整个s平面双线性变换法的映射关系

130双线性变换法的映射关系45非线性频率压缩

双线性变换的映射关系131非线性频率压缩双线性变换的映射关系46z平面的ω与s平面的Ω之间呈非线性关系。这种非线性关系导致双线性变换法的频率标度的非线性失真，直接影响数字滤波器频响逼真地模仿模拟滤波器的频响。

132z平面的ω与s平面的Ω之间呈非线性关系。47例7.4已知模拟滤波器的传输函数为采用双线性变换法将其转换为数字滤波器的系统函数，设T=2s解将式(7.38)代入Ha(s)可得133例7.4已知模拟滤波器的传输函数为487.3.4设计IIR数字滤波器的频率变换法数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法

模拟原型低通滤波器模拟（高通、带通或带阻）滤波器数字（高通、带通或带阻）滤波器频率变换脉冲响应不变法双线性变换法模拟原型低通滤波器数字低通滤波器数字（高通、带通或带阻）滤波器脉冲响应不变法双线性变换法频率变换1347.3.4设计IIR数字滤波器的频率变换法数字高通、带通模拟低通到模拟高通的变换

设λ为低通滤波器归一化频率，p=jλ，η为高通滤波器归一化频率，q=jη，135模拟低通到模拟高通的变换设λ为低通滤波器归一化频率，p=模拟低通到模拟高通的频率变换关系：模拟低通到模拟高通的系统函数映射关系为：模拟高通滤波器的转移函数为：

136模拟低通到模拟高通的频率变换关系：51模拟低通到模拟带通的变换

Ωsl：下阻带上限频率Ω1：通带下限Ω3：通带上限Ωsh：上阻带下限频率B=Ω3-Ω1:带通滤波器的带宽，并以此作为参考频率对轴Ω作归一化处理137模拟低通到模拟带通的变换Ωsl：下阻带上限频率52通带中心频率归一化中心频率

138通带中心频率53模拟低通到模拟带通的频率变换关系

η和λ的对应关系：

139模拟低通到模拟带通的频率变换关系η和λ的对应关系：54模拟低通到模拟带通的频率变换关系

模拟带通滤波器的系统函数为：

140模拟低通到模拟带通的频率变换关系模拟带通滤波器的系统函数为模拟低通到模拟带阻的变换

Ω1：通带下限Ω3：通带上限Ωsl：阻带下限Ωsh：阻带上限B=Ω3-Ω1:阻带带宽，并以此作为参考频率对轴Ω作归一化处理

141模拟低通到模拟带阻的变换Ω1：通带下限56通带中心频率归一化中心频率142通带中心频率57η和λ的对应关系：

143η和λ的对应关系：58模拟低通到模拟带阻的频率变换关系

模拟带阻滤波器的系统函数为:

144模拟低通到模拟带阻的频率变换关系模拟带阻滤波器的系统函数为由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤：将所需类型数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。利用频率变换关系将模拟滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。设计模拟低通滤波器。将模拟低通滤波器通过频率变换法，转换成所需类型的模拟滤波器。采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。

145由模拟低通原型滤波器设计数字带通、高通和带阻滤波器的设计步骤例7.5设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率，阻带上限频率为，通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于15dB。解数字高通滤波器的技术指标为模拟高通滤波器的技术指标，取T=1146例7.5设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率对p归一化，模拟低通滤波器的技术指标设计归一化模拟低通滤波器147对p归一化，62取N=2，归一化模拟低通滤波器为去归一化，将模拟低通转换成模拟高通148取N=2，归一化模拟低通滤波器为63用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通149用双线性变换法将模拟低通转换成模拟高通647.4IIR数字滤波器的优化设计频率最小均方误差设计时域直接设计1507.4IIR数字滤波器的优化设计频率最小均方误差设计67.4.1频率最小均方误差设计理想滤波器的频率响应：Hd(ejω)设计的滤波器的频率响应：H(ejω)频率最小均方误差设计方法就是寻找滤波器的频率响应H(ejω)，使最小

1517.4.1频率最小均方误差设计理想滤波器的频率响应：Hd设滤波器的频率响应为：共有（4N+1）个待定系数设

那么152设滤波器的频率响应为：67取E对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到4N+1个方程153取E对每一个参数的偏导数，并令这些导数为零，得到4N+1个方15469对极点的修正在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，零极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。如果极点在单位圆外，那么滤波器不是因果稳定的，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。由于系统函数是一个有理函数，零极点均以共轭成对的形式存在。155对极点的修正在设计过程中，对系数函数零极点位置未给任何约束，设z1为极点如果将极点z1和它的共轭极点均以其倒数和代替后，幅度特性的形状不变化，仅是幅度的增益变化了。设极点z1处于单位圆外，如果用其倒数进行代换，变成，将极点搬移到单位圆内。极点位置重新分配后，滤波器就变成因果稳定的。

156设z1为极点717.4.2IIR数字滤波器的时域直接设计设希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，时域设计法是设计一个IIR数字滤波器，使它的单位脉冲响应h(n)逼近hd(n).设滤波器是因果性的，其系统函数为时域直接设计法是寻找M+N-1个系数ai、bi，使得在范围内，使h(n)逼近hd(n)。

1577.4.2IIR数字滤波器的时域直接设计设希望设计的II求解上述方程，得到系统函数H(z)158求解上述方程，得到系统函数H(z)73波形形成滤波器

设x(n)为给定的输入信号，yd(n)为希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际的滤波器输出为y(n)159波形形成滤波器设x(n)为给定的输入信号，yd(n)为希望取E对h(n)的偏导为0得到求解上式得H(z)的系数h(n)，然后求出ai和bi