计算机组成原理-全套ppt课件资料

第一章计算机系统概论

1.1计算机的分类与应用1.2计算机的硬件1.3计算机的软件1.4计算机系统的层次结构电子计算机从总体上来说分为两大类:电子模拟计算机和电子数字计算机。电子模拟计算机的特点是数值由连续量来表示，运算过程也是连续的。电子数字计算机的主要特点是按位运算，并且不连续地跳动计算。数字计算机与模拟计算机的主要区别见表1.1

比较内容数字计算机模拟计算机数据表示方式数字0和1电压计算方式数字计算电压组合和测量值控制方式程序控制盘上连线精度高低数据存储量大小逻辑判断能力强无表1.1数字计算机与模拟计算机的主要区别

1.1计算机的分类与应用1.1.1计算机的分类数字计算机又可分为专用计算机和通用计算机。专用和通用是根据计算机的效率、速度、价格、运行的经济性和适应性来划分的。专用机是最有效、最经济和最快速的计算机，它是针对某一任务设计的计算机，但是它的适应性很差。通用机适应性很大，但是牺牲了效率、速度和经济性。通用计算机又分巨型机、大型机、中型机、小型机、微型机和单片机六类,见图1.1所示。图1.1单片机、微型机、小型机、中型机、大型机、巨型机之间的区别

它们的区别在于体积、简易性、功率损耗、性能指标、数据存储容量、指令系统规模和机器价格。

巨型计算机主要用于科学计算，其运算速度在每秒一万亿次以上，数据存储容量很大，结构复杂，价格昂贵。

单片计算机是只用一片集成电路做成的计算机，体积小，结构简单，性能指标较低，价格便宜。介于巨型机和单片机之间的是大型机、中型机、小型机和微型机，它们的结构规模和性能指标依次递减。随着超大规摸集成电路的迅速发展,今天的小型机可能是明天的微型机，而今天的微型机可能是明天的单片机。

计算机所以迅速发展,其生命力在于它的广泛应用。计算机的应用范围几乎涉及人类社会的所有领域。下面归纳成六个方面来叙述：1.科学计算科学研究和工程计术计算领域,是计算机应用最早的领域,也是应用得较广泛的领域:数学、化学、原子能、天文学、地球物理学、生物学等基础科学的研究。航天飞行、飞机设计、桥梁设计、水力发电、地质找矿等方面的大量计算。计算机在科学计算和工程设计中的应用,不仅减轻了大量繁琐的计算工作量,更重要的是,一些以往无法解决、无法及时解决或无法精确解决的问题得到了圆满的解决。2.自动控制和测量自动控制和测量自动控制是涉及面极广的一门学科,应用于工业、农业、科学技术、国防以至我们日常生活等各个领域。测量和测试领域中,计算机主要起两个作用：第一对测量和测试设备本身进行控制；第二采集数据并进行处理。1.1.2计算机的应用3.信息处理计算机发展初期,仅仅用于数值计算。后来应用范围逐渐发展到非数值计算领域，可用来处理文字、表格、图象、声音等各类问题。

商务处理:在商业业务上，广泛应用的项目有：办公室计算机，数据处理机，发票处理机，销售额清单机，零售终端，会计终端，出纳终端，以及利用互连网的“电子商务”等等。在银行业务上，广泛采用金融终端、销售点终端、现金出纳机。银行间利用计算机进行的资金转移正式代替了传统的支票。在邮政业务上，大量的商业信件，现在开始用传真系统传送。

管理应用:计算机的引入，使信息处理系统获得了强有力的存储和处理手段。常见的物资管理，如用计算机进行，可以随时掌握各类物资库存情况，合理调剂，减少库存。4.教育和卫生

计算机被誉为“教育史上的第四次革命”:较多的应用是CAI(计算机辅助教学)。用这种方法进行教学,学生可以生动活泼地进行学习,教师也可以减少大量重复的课堂讲授,而把精力放在提高教材质量和研究教学方法上。计算机辅助教学既用于普通教育,又用于专业训练方面。人们还可坐在家里,通过计算机远程网络,按照自己的才能确定个人的学习计划和进度。远程计算机的问世，同样为人类健康长寿带来了福音；使用计算机的各种医疗设备应运而生，为及早发现疾病提供了强有力的手段。利用计算机建成的各种专家系统行之有效，为诊治疾病发挥了很大作用。5.家用电器

目前，不仅使用各种类型的个人计算机，而且将单片机广泛应用于微波炉、磁带录音机、自动洗涤机、煤气用定时器，家用空调设备控制器、电子式缝纫机、电子玩具、游戏机等。21世纪,国际互联网络和计算机控制的设备将广泛应用于家庭。6.人工智能

人工智能，又称“智能模拟”，简单地说，就是要使计算机能够模仿人的高级思维活动。人工智能的研究课题是多种多样的,诸如计算机学习、计算机证明、景物分析、模拟人的思维过程、机器人等等。智能机器人，它会自己识别控制对象和工作环境，作出判断和决策,直接领会人的口令和意图，能避开障碍物,适应环境条件的变化，灵活机动地完成控制任务与信息处理任务。1.2计算机的硬件

1.2.1数字计算机的硬件组成

用一个算盘，一张纸，一支笔来计算y=ax+b-c这个题目，步骤如下。1.取数(9)→算盘；(9)表示第9行的数a,下同2.乘法(12)→算盘；完成a*x,结果在算盘上3.加法(10)→算盘；完成ax+b,结果在算盘上4.减法(11)→算盘；完成ax+b-c,结果在算盘上5.存数y→13；算盘上的y值记到第13行6.输出；把算盘上的y值写出给人看7.停止；运算完毕,暂停解题步骤和数据说明算盘计算中用到了：

1)纸:用于存储解题的原始信息;

2)算盘:用于对数据进行加、减、乘、除等算术运算;3)笔:用于把原始数据和解题步骤记录到纸上，及把运算结果写出;

4)我们人本身(主要是脑和手)用于控制解题步骤。计算机与算盘类似相应部件如:运算器：在计算机中相当于算盘功能的部件；存储器：在计算机中相当于纸那样具有“记忆”功能的部件;输入设备输出设备：相当于笔，把原始解题信息送到计算机或把运算结果显示出来的设备;控制器：相当于我们的大脑，能够自动控制整个计算过程。图1.2数字计算机的主要组成部分

1.运算器运算器就好比一个由电子线路构成的算盘，能进行加、减、乘、除等算术运算，还可进行逻辑运算。考

虑到电子器件的特性,计算机中通常采用二进制数。这是因为二进制数的运算规律非常简单，在电子线路中比较容易实现，而且设备也最省，其示意图如下

注：二进制数和十进制数一样,在运算中，当数的位数越多时，计算的精度就越高，但是位数越多，所需的电子器件也越多。目前计算机的运算器长度一般是8位、16位、32位或64位。

寄存器B寄存器A运算单元电路（ALU）图1.3运算器结构示意图存储器的功能：保存或“记忆”解题的原始数据和解题步骤。在运算前把参加运算的数据和解体步骤通过输入输出设备送到存储器中保存起来。不论是数据，还是解题步骤。存储器存储的全是0或1表示的二进制代码。目前采用半导体器件来作为存储器。一个半导体触发器（D触发器等）可以记忆一个二进制代码(0或1)，一个数假定用16位二进制代码表示，那么就需要有16个触发器来保存这些代码。

2.存储器

存储单元：在存储器中保存一个数的16个触发器，称为一个存储单元。

地址：存储器是由许多存储单元组成,每个存储单元的编号,称为地址。存储容量：存储器所有存储单元的总数。通常用单位“KB、MB”表示，如64KB,128KB。存储容量越大，表示计算机记忆储存的信息就越多。

外存储器：计算机中又配备的存储容量更大的磁盘存储器、光盘存储器等。相对而言,半导体存储器称为内存储器,磁盘存储器、光盘存储器等称为外存储器。2.存储器3.控制器

控制器是计算机中发号施令的部件，它控制计算机的各部件有条不紊地进行工作。控制器的任务是从内存中取出解题步骤加以分析，然后执行某种操作:(1)计算程序运算器只能完成加、减、乘、除四则运算及其他一些辅助操作。对于比较复杂的算题,计算机在运算前必须化成一步一步简单的加、减、乘、除等基本操作来做。每一个基本操作就叫做一条指令,而解算某一问题的一串指令序列，叫做该问题的计算程序，简称为程序。例如在前述求解y=ax+b-c的例子中，解题步骤的每一步,只完成一种基本操作，所以就是一条指令,而整个解题步骤就是一个简单的计算程序。y=ax+b-c(2)指令的形式每条指令应当明确告诉控制器，从存储器的那个单元取数,并进行何种操作。指令的内容由两部分组成,即操作的性质和操作的地址。前者称为操作码,后者称为地址码。

操作码地址码

操作码:指出指令所进行的操作,如加、减、乘、除、取数、存数等等;地址码:表示参加运算的数据应从存储器的哪个单元取,运算的结果应存到哪个单元。表1.3指令的操作码定义

指令操作码加法001减法010乘法011除法100取数101存数110打印111停机000表1.3中指令的操作码部分就可以变成二进制代码。假如把地址码部分和数据也换成二进制数,那么整个存储器的内容全部变成了二进制的代码或数据以二进制码存储的数据以二进制码存储的指令代码区数据区此处描述了以二进制码存储的指令和数据地址码操作码(3).

控制器的基本任务

计算机进行计算时，指令必须是按一定的顺序一条接一条地进行。控制器的基本任务，就是按照计算程序所排的指令序列，先从存储器取出一条指令放到控制器中，对该指令的操作码由指令译码器进行分析判别，然后根据指令性质，执行这条指令，进行相应的操作。接着从存储器取出第二条指令，在执行这第二条指令。依次类推，通常把取指令的一段时间叫做取指周期,而把执行指令的一段时间叫做执行周期。因此，控制器反复交替地处在取指周期与执行周期之中。每取出一条指令，控制器中的指令计数器就加1，从而为取下一条指令做好准备，这也就是指令为什么在存储器中顺序存放的原因。存储器指令寄存器（IR）指令译码器控制单元指令计数器（PC）内容特点：自动加1(4).指令流和数据流由于计算机仅使用0和1两个二进制数字，所以使用“位”(bit)作为数字计算机的最小信息单位。CPU向存储器送入或从存储器取出信息时，用B(字节)和W(字)等较大的信息单位来工作。一个“字节”由8位二进制信息组成，而一个“字”则至少由一个以上的字节组成。通常把组成一个字的二进制位数叫做字长（16bit，32bit，64bit）。计算机字既可以代表指令，也可以代表数据。如果某字代表要处理的数据，则称为数据字；如果某字为一条指令，则称为指令字。指令和数据统统放在内存中，从形式上看，它们都是二进制数码。一般来讲，在取指周期中从内存读出的信息是指令流，它流向控制器；而执行周期中从内存读出的信息流是数据流，它由内存流向运算器。4.适配器与输入输出设备目前常用的输入设备是键盘、鼠标器、数字扫描仪等。常用的输出设备如激光印字机、绘图仪、CRT显示器等。输入设备作用：是把人们所熟悉的某种信息形式变换为机器内部所能接收和识别的二进制信息形式。输出设备作用：是把计算机处理的结果变换为人或其他机器所能接收和识别的信息形式。外围设备：计算机的输入/输出设备通常称为外围设备。由于外围设备种类繁多且速度各异，因而它们不是直接挂在总线上同高速工作的主机相连接，而是通过适配器部件挂在总线上与主机相连接。适配器的作用相当于一个转换器，它可以保证外围设备用计算机所要求的形式发送或接受信息。计算机系统中还必须有总线。系统总线是构成计算机系统的骨架，是多个系统部件之间进行数据传送的公共通路。借助系统总线，计算机在各系统部件之间实现传送地址（AB）、数据（DB）和控制信息（CB）的操作。1.2.2计算机系统结构的过去和未来

自1946年在美国宾夕法尼亚大学制成的世界上第一台电子数字计算机以来，计算机的发展大致经历了五代的变化：1.1946年开始的第一代电子管计算机:计算机运算速度一般为每秒几千次至几万次，体积庞大，成本很高，可靠性较底，在此期间，形成了计算机的基本体系，确定了程序设计的基本方法，数据处理机开始得到应用。2.1958年开始的第二代晶体管计算机:运算速度提高到几万次至几十万次，可靠性提高，体积缩小，成本降低，工业控制机开始得到应用。3.1965年开始的第三代中小规模集成电路计算机:可靠性进一步提高，体积进一步缩小，成本进一步下降，运算速度提高到几十万次至几百万次。在此期间，形成机种多样化，生产系列化，使用系统化，小型计算机开始出现。4.1971年开始的第四代大规模集成电路计算机:

可靠性更进一步提高，体积更进一步缩小，成本更进一步降低，速度提高到每秒几百万次至几千万次。有几片大规模集成电路组成的微型机开始出现。5.1986年开始的第五代巨大规模集成电路计算机:运算速度提高到每妙几亿次至上百亿次。由一片巨大规模集成电路实现的“单片计算机”开始出现。

总之,从1946年计算机诞生以来，大约每隔五年运算速度提高10倍，可靠性提高10倍，成本降低10倍，体积缩小10倍。而70年代以来,计算机的生产数量每年以25%的速度递增。随着社会需求和微电子技术的不断发展,计算机的系统结构仍在继续发展,其发展趋势是：将进入以通信为中心的体系结构（计算机网络和分布式计算机系统为信息处理提供廉价的服务）。计算机智能化将进一步发展，进入知识处理阶段。不仅用多处理机技术来实现并行计算机，而且会出现计算机的动态结构。多媒体技术将有重大突破和发展。

1.3计算机的软件

1.3.1软件的组成和分类

计算机是由运算器、存储器、控制器、适配器、总线和输入/输出设备组成的。这些部件或设备都是由元件构成的有形物体，因而称为硬件或硬设备。如果只有算盘，没有运算法则和步骤,就不能用算盘来计算。同样，假如计算机只有硬件，它仍是个“死”东西。那么计算机靠什么东西才能变“活”，从而高速自动地完成各种运算呢？这就是我们前面讲过的计算程序。因为它是无形的东西，所以称为软件或软设备。比方说，用算盘进行运算，算盘本身就是硬件，而运算法则和解题步骤等就是软件。事实上，利用电子计算机进行计算、控制或作其他工作时，需要有各种用途的程序。因此，凡是用于一台计算机的各种程序，统称为这台计算机的程序或软件系统。

计算机软件一般分为两大类：一类叫系统程序,一类叫应用程序

系统程序用来简化程序设计，简化使用方法，提高计算机的使用效率，发挥和扩大计算机的功能及用途。它包括以下四类:

应用程序是用户利用计算机来解决某些问题所编制的程序,如工程设计程序、数据处理程序、自动控制程序、企业管理程序、情报检索程序、科学计算程序等等。随着计算机的广泛应用,这类程序的种类越来越多。各种服务性程序，如诊断程序、排错程序、练习程序等；语言程序，如汇编程序、编译程序、解释程序等；操作系统；数据库管理系统1.3.2软件的发展演变

如同硬件一样，计算机软件也是在不断发展的。下面以系统程序为例，简要说明软件的发展演变过程。1.目的程序早期计算机中，人们直接用机器语言编写程序，这种编写程序的方式称为手编程序。这种用机器语言书写的程序，计算机完全可以“识别”并能执行，所以又叫做目的程序。但是，用机器语言编写程序很繁琐，又耗费大量的人力和时间，容易出错，出错后寻找错误也相当费事，这就大大限制了计算机的使用。2.汇编程序为了编写程序方便翻译和提高机器的使用效率，人们用一些约定的文字、符号和数字按规定的格式来表示各种不同的指令（MOVAX，BX），然后再用这些特殊符号表示的指令来编写程序，这就是所谓的汇编语言。借助于汇编程序，计算机本身自动地把符号语言表示的程序(称为汇编源程序)翻译成用机器语言表示的目的程序。3.源程序

为了进一步实现程序自动化和便于程序交流，使不熟悉具体计算机的人也能很方便地使用计算机，人们又创造了各种接近于数学语言的算法语言。

算法语言是指按实际需要规定好的一套基本符号以及由这套基本符号构成程序的规则。比较接近数学语言，直观通用，与具体机器无关，只要稍加学习就能掌握，便于推广使用计算机。如BASIC，C，C++，JAVA等用算法语言编写的程序称为源程序，这种源程序是不能由机器直接识别和执行的，必须给计算机配备一个即懂算法语言又懂机器语言的“翻译”，才能把源程序翻译为机器语言。通常采用下面两种方法：

1.计算机配置一套用机器语言写的编译程序，它把源程序翻译成目的程序，然后机器执行目的程序，得出计算结果。但由于目的程序一般不能独立运行，还需要一种叫做运行系统的辅助软件来帮助。通常，把编译程序和运行系统和称为编译系统。如VC、C++、C等

2.使源程序通过所谓的解释系统进行解释执行，即逐个解释并立即执行源程序的语句，它不是编出目的程序后再执行，而是直接逐一解释语句并得出计算结果。如BASIC、VB等4.操作系统

为了摆脱用户直接使用机器并独占机器这种情况，依靠计算机来管理自己和管理用户。于是人们又创造出一类程序,叫做操作系统。它是随着硬件和软件不断发展而逐渐形成的一套软件系统。作用：用来管理计算机资源(如处理器、内存、外部设备和各种编译、应用程序)和自动调度用户的作业程序。而使多个用户能有效地共用一套计算机系统。根据不同使用环境要求，操作系统目前大致分为批处理操作系统（DOS操作系统）、分时操作系统（UNIX操作系统）、网络操作系统（WindowNT操作系统）、实时操作系统（嵌入式操作系统）等多种。5.数据库管理系统

随着计算机在信息处理、情报检索及各种管理系统中应的发展，要求大量处理某些数据，建立和检索大量的表格。这些数据和表格按一定的规律组织起来，使得处理更方便，检索更迅速，用户使用更方便，于是出现了数据库。所谓数据库就是实现有组织地、动态地存储大量相关数据，方便多用户访问的计算机软、硬件资源组成的系统。数据库和数据库管理软件一起，组成了数据库管理系统。1.4计算机系统的层次结构

1.微程序设计级这是一个实在的硬件级，他由机器硬件直接执行微命令。如果某一个应用程序直接用微命令来编写，那么可在这一级上运行应用程序。2.一般机器级机器语言级，由微程序解释机器指令系统。这一级也是硬件级。3.操作系统级由操作系统程序实现。这些操作系统由机器指令和广义指令组成，这些广义指令是操作系统定义和解释的软件指令，所以这一级也称为混合级。图1.6计算机系统的层次结构1.4.1多级组成的计算机系统4.汇编语言级给程序人员提供一种符号形式语言，以减少程序编写的复杂性。这一级由汇编程序支持和执行。如果应用程序采用汇编语言编写，则机器必须要有这一级的功能；如果应用程序不采用汇编语言编写，则这一级可以不要。5.高级语言级面向用户，为方便用户编写应用程序而设置的。这一级由各种高级语言编译程序支持和执行。图1.6计算机系统的层次结构随着大规模集成电路技术的发展和软件硬化的趋势，计算机系统软、硬件界限已经变得模糊了。因为任何操作可以由软件来实现，也可以由硬件来实现；任何指令的执行可以由硬件完成，也可以由软件来完成。对于某一功能采用硬件方案还是软件方案，取决于器件价格、速度、可靠性、存储容量、变更周期等因素。当研制一台计算机的时候，设计者必须明确分配每一级的任务，确定哪些情况使用硬件，哪些情况使用软件，而硬件始终放在最低级。就目前而言，一些计算机的特点是，把原来明显地在一般机器级通过编制程序实现的操作，如整数乘除法指令、浮点运算指令、处理字符串指令等等，改为直接由硬件完成。1.4.2软件与硬件的逻辑等价性

总之，随着大规模集成电路和计算机系统结构的发展，实体硬件机的功能范围不断在扩大。第一级和第二级的边界范围，要向第三级乃至更高级扩展。这是因为容量大、价格低、体积小、可以改写的只读存储器提供了软件固化的良好物质手段。现在已经可以把许多复杂的、常用的程序制作成所谓固件。就它的功能来说，是软件；但从形态来说，又是硬件。其次，目前在一片硅单晶芯片上制作复杂的逻辑电路已经是实际可行的，这就为扩大指令的功能提供了物质基础，因此本来通过软件手段来实现的某种功能，现在可以通过硬件来直接解释执行。进一步的发展，就是设计所谓面向高级语言的计算机。这样的计算机，可以通过硬件直接解释执行高级语言的语句而不需要先经过编译程序的处理。传统的软件部分，今后完全有可能“固化”甚至“硬化”。

小结

习惯上所称的“电子计算机”是指现在广泛应用的电子数字计算机，它分为专用计算机和通用计算机两大类。专用和通用是根据计算机的效率、速度、价格、运行的经济性和适应性来划分的。通用计算机又分为巨型机、大型机、中型机、小型机、微型机、单片机六类，其结构复杂性、性能、价格、依次递减。计算机的生命在于它的广泛应用，应用的范围几乎涉及人类社会的所有领域。归纳起来，在科学计算、自动控制、测量与测试、信息处理、教育卫生、家庭电器、人工智能等领域的应用成就最为突出。

计算机的硬件是由有形的电子器件等构成的，它包括运算器、存储器、控制器、适配器、输入输出设备。传统上将运算器和控制器称为ＣＰＵ，而将ＣＰＵ和存储器称为主机。存储程序并按地址顺序执行，这是冯·诺依曼型计算机的工作原理，也是计算机自动化工作的关键。计算机的软件是计算机系统结构的重要组成部分，也是计算机不同于一般电子设备的本质所在。计算机软件一般分为系统程序和应用程序两大类。系统程序用来简化程序设计，简化使用方法，提高计算机的使用效率，发挥和扩大计算机的功能和用途，它包括：(1)各种服务程序，(2)语言类程序，(3)操作系统，(4)数据库管理系统。应用程序是针对某一应用课题领域开发的软件。计算机系统是一个又硬件、软件组成的多级层次结构，它通常由微程序级、一般机器级、操作系统级、汇编语言级、高级语言级组成，每一级上都能进行程序设计，且得到下面各级的支持。[完]第二章运算方法和运算器2.1数据与文字的表示方法2.2定点加、减法运算2.3定点乘法运算2.4定点除法运算2.5定点运算器的组成2.6浮点运算的方法和浮点运算器2.1数据与文字的表示方法计算机内部信息控制信息数据信息控制字数值型数据非数值型数据定点数浮点数数字串字符与字符串汉字与汉字串指令2.1.1数据格式计算机中常用的数据表示格式有两种：一是定点格式，二是浮点格式。定点格式容许的数值范围有限，但要求的处理硬件比较简单。而浮点格式容许的数值范围很大，但要求的处理硬件比较复杂。1.定点数的表示方法定点表示：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。由于约定在固定的位置，小数点就不再使用记号“.”来表示。通常将数据表示成纯小数或纯整数。定点数ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn

在定点机中表示如下(ｘ0:符号位，0代表正号，1代表负号):.纯小数的表示范围为(ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn各位均为0时最小；各位均为1时最大)

+0.0000001表示为0000，0001;0.1111111表示为0111，1111-0.0000001表示为1000，0001;-0.0011111表示为1001，1111最大数：+0.1111111表示为0111，1111最小数：-0.1111111表示为1111，11110≤|ｘ|≤1－2－n

(2.1)

即－0.11……1≤x≤+0.11……1

n个1n个1小数点位置2.纯整数的表示范围为+0000,1111表示为0000,1111;-0000，1111表示为1000，1111+01110011表示为0111,0011;-01110011表示为1111,0011最大数：+127=表示为0111，1111最小数：-127表示为1111，11110≤|ｘ|≤2n－1(2.2)即－11……1≤x≤+11……1n个1n个1目前计算机中多采用定点纯整数表示，因此将定点数表示的运算简称为整数运算。小数点位置补充内容：移码表示法移码通常用于表示浮点数的阶码。由于阶码是个n位的整数，假定定点整数移码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn时，对定点整数,移码的传统定义是真值加上一个固定常数2n[ｘ]移＝2n＋ｘ2n＞ｘ≥－2n(2.14)

若阶码数值部分为7位,以ｘ表示真值,则[ｘ]移＝27＋ｘ=128+ｘ

128＞ｘ≥－128例如,当正数ｘ＝＋1010101=85时,[ｘ]移＝27＋ｘ=

1，1010101；当负数ｘ＝－1010101=-85时,[ｘ]移＝27＋ｘ＝27－1010101＝10000000-1010101=0，0101011。移码中的逗号不是小数点,而是表示左边一位是符号位。移码中的符号位0表示负数，1表示正数例电子的质量(9×10－28克)和太阳的质量(2×1033克)相差甚远。在定点计算机中无法直接来表示这个数值范围。要使它们送入定点计算机进行某种运算，必须对它们分别取不同的比例因子，使其数值部分绝对值小于1，即：9×10－28＝0.9×10－272×1033＝0.2×1034这里的比例因子10－27和1034要分别存放在机器的某个存储单元中，以便以后对计算结果按这个比例增大。显然这要占用一定的存储空间和运算时间。因此得到浮点表示法如下：浮点表示法：把一个数的有效数字和数的范围在计算机的一个存储单元中分别予以表示，这种把数的范围和精度分别表示的方法，数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内自由浮动。2.浮点数的表示方法任意一个十进制数Ｎ可以写成

N=10E·M(2.3)同样，在计算机中一个任意进制数Ｎ可以写成

Ｎ＝Ｒe×Ｍ(2.4)Ｍ：尾数，是一个纯小数。e：比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数。R

：比例因子的基数，对于二进制计数值的机器是一个常数，一般规定Ｒ为2，8或16。尾数，是一个纯小数比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数比例因子的基数，对于二进制计数值的机器是一个常数，一般规定Ｒ为2，8或16。一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成

尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数决定了浮点数的表示精度；

阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。尾数阶码符号为便于软件移植，按照IEEE754标准，32位浮点数和64位浮点数的标准格式为3.IEEE754标准浮点数的表示方法浮点数的符号位(1位)，0表示正数，1表示负数尾数(23位)，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面阶码(8位),阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数52位尾数位11位阶码位1位符号位32位的浮点数中，Ｓ：浮点数的符号位，1位，0表示正数，1表示负数。

Ｍ：尾数，23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。

Ｅ：阶码(8位),阶符采用隐含方式，即采用移码方式来表示正负指数。采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码Ｅ时，应将指数e

加上一个固定的偏移值127(01111111)，即Ｅ＝e＋127.因此Ｅ的范围为1~254，e的范围为-126~+127，32位浮点数表示的绝对值的范围是10-38~1038IEEE754标准中，一个规格化的32位浮点数ｘ的真值可表示为ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－127

e＝Ｅ－127(2.5)一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023

e＝Ｅ－1023(2.6)同一个浮点数的表示方法不是唯一的,如:

(1.75)10=1.11×20

(IEEE规格化表示是唯一)

=0.111×21

(非规格化表示)

=0.0111×22

=0.00111×23为提高数据的表示精度，当尾数的值不为0时，尾数域的最高有效位应为1，否则以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一表示形式，这称为浮点数的规格化表示。当浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。当阶码E为全0且尾数M也为全0时，表示的真值x为零，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。

浮点数所表示的范围远比定点数大。一台计算机中究竟采用定点表示还是浮点表示，要根据计算机的使用条件来确定。一般在高档微机以上的计算机中同时采用定点、浮点表示，由使用者进行选择,而单片机中多采用定点表示。

[例1]若浮点数ｘ的754标准存储格式为(41360000)16，求其浮点数的十进制数值。[解:]将十六进制数展开后，可得二进制数格式为指数e＝阶码－127＝10000010－01111111＝00000011=(3)10包括隐藏位1的尾数1.M＝1.01101100000000000000000＝1.011011于是有

ｘ＝(－1)s×1.M×2e

＝＋(1.011011)×23＝＋1011.011＝(11.375)10

[例2]将(20.59375)10转换成754标准的32位浮点数的二进制存储格式。

[解:]首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.59375＝10100.10011然后移动小数点，使其在第1，2位之间10100.10011＝1.010010011×24

e＝4于是得到：S＝0，E＝4＋127＝131=1000，0011M＝010010011最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：0，10000011，01001001100000000000000＝(41A4C000)16

3.十进制数串的表示方法a.字符串形式字符串形式：一个字节存放一个十进制的数位或符号位。为了指明这样一个数，需要给出该数在主存中的起始地址和位数(串的长度)。这种方式表明的十进制字符串主要用在非数值计算的应用领域中。b.压缩的十进制数串形式压缩的十进制数串形式：一个字节存放两个十进制的数位。它比前一种形式节省存储空间，又便于直接完成十进制数的算术运算，是广泛采用的较为理想的方法。用压缩的十进制数串表示一个数，也要占用主存连续的多个字节。

每个数位占用半个字节(即4个二进制位)，其值可用二－十编码(BCD码)或数字符的ASCII码的低4位表示。

符号位也占半个字节并放在最低数字位之后，其值选用四位编码中的六种冗余状态中的有关值,如用12(c)，表示正号用13(d)表示负号。123C(＋123)012D(－12)在上述表示中，每一个小框内给出一个数值位或符号位的编码值(用十六进制形式给出)，符号位在数字位之后。前两个小框占一个字节，后两个小框占一个字节。与第一种表示形式类似，要指明一个压缩的十进制数串,也得给出它在主存中的首地址和数字位个数(不含符号位)，又称位长，位长为0的数其值为0。十进制数串表示法的优点是位长可变，许多机器中规定该长度从0到31，有的甚至更长。2.1.2数的机器码表示

在计算机中对数据进行运算操作时，符号位如何表示呢？是否也同数值位一道参加运算操作呢？为了妥善的处理好这些问题，就产生了把符号位和数字位一起编码来表示相应的数的各种表示方法，如原码、补码、反码、移码等。真值：一个机器数所代表的实际数值。机器数：计算机中用编码表示的二进制数。1.原码表示法若定点小数的原码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn，则原码表示的定义是例如：以8位的机器数为例

ｘ＝+0.1001，则[ｘ]原＝0.1001ｘ＝-0.1001，则[ｘ]原＝1.1001最大的8位定点小数为=+0.111，1111=0.111，1111=1-2-8=0.9921875最小的8位定点小数为=-0.111，1111=1.111，1111=2-8-1=-0.9921875[ｘ]原＝ｘ1＞ｘ≥01－ｘ＝1＋|ｘ|0≥ｘ＞－1（2.7）原码就是数值的真值前面加上一个符号位（正数0、负数1）一个n+1位定点小数原码的表示范围是-1+2-n≤x≤1-2-n若定点整数的原码形式为ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn，则原码表示的定义是[ｘ]原＝ｘ2n＞ｘ≥0

2n－ｘ＝2n＋|ｘ|0≥ｘ＞－2n(2.8)一个n+1位定点整数原码的表示范围是－2n+1≤x≤2n–1例如：以8位的机器数为例

ｘ=+4则[ｘ]原＝0000，0100ｘ=-4，则[ｘ]原＝1000，0100ｘ=+0则[ｘ]原＝0000，0000ｘ=-0，则[ｘ]原＝1000，0000；因此0有两种表示方法。最大的8位定点整数为=+111，1111=0111，1111==+127最小的8位定点整数为=-0111，1111=1111，1111=-1278位定点原码的表示范围是（-127~+127），0有两种表示方法采用原码表示法简单易懂，但它的最大缺点是加法运算复杂。这是因为：当两数相加时，如果是同号则数值相加；如果是异号，则要进行减法。而在进行减法时还要比较绝对值的大小，然后大数减去小数，最后还要给结果选择符号。为了解决这些矛盾，人们找到了补码表示法。对于0，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：[+0]原=0.000，0000；[-0]原=1.000，0000

3.反码表示法为了得到补码引入了反码的概念。所谓反码，就是二进制的各位数码取反。也就是说，若xi=1，则反码为xi=0；若xi=0，则反码xi=1。数值上面的一横表示反码的意思。在计算机中用触发器寄存数码，若触发器Q端输出表示原码，则其/Q端输出就是反码。由此可知，反码是容易得到的。其中n代表数的位数。[ｘ]反＝ｘ1＞ｘ≥0(2－2-n)＋ｘ0≥ｘ＞－1(2.9)对定点小数，反码表示的定义为求反码的原则：正数的反码=正数的原码

负数的反码=在原码的基础上，符号位不变，后面的位取反。[ｘ]补＝[ｘ]反＋2－n(2.10)

一般情况下，对于正数ｘ＝＋0.ｘ1ｘ2…ｘn,则[ｘ]反＝0.ｘ1ｘ2…ｘn

对于负数ｘ＝－0.ｘ1ｘ2…ｘn,则有[ｘ]反＝1.ｘ1ｘ2…ｘn这就是通过反码求补码的重要公式。这个公式告诉我们。若要一个负数变补码,其方法是符号位置1，其余各位0变1，1变0，然后在最末位(2-n)上加1。对于0,有[＋0]反和[－0]反之分:[＋0]原＝0.000，0000[＋0]反＝0.000，0000[－0]原＝1.000，0000[－0]反＝1.111，1111我们比较反码与补码的公式[ｘ]反＝(2－2－n)＋ｘ[ｘ]补＝2＋ｘ可得到对定点整数,反码表示的定义为[ｘ]反＝ｘ2n＞ｘ≥0

(2n+1－1)＋ｘ0≥ｘ＞－2n(2.11)例如：[＋4]原＝0000，0100

；

[＋4]反＝0000，0100

[－4]原码＝1000，0100；[－4]反＝1111，1011[＋127]原＝0111,1111

；

[＋127]补＝0111,1111

[－127]原码＝1111，1111；[－127]补＝1000，0000因此反码的表示范围为[-127~+127]，0有两种表示方法。2.补码表示法我们先以钟表对时为例说明补码的概念。假设现在的标准时间为4点正；而有一只表已经7点了，为了校准时间，可以采用两种方法：一是将时针退7-4=3格；一是将时针向前拨12-3=9格。这两种方法都能对准到4点。由此可以看出，减3和加9是等价的，就是说9是(-3)对12的补码，可以用数学公式表示

-3＝+9（mod12）mod12的意思就是12模数，这个“模”表示被丢掉的数值。上式在数学上称为同余式。上例中其所以7-3和7+9(mod12)等价，原因就是表指针超过12时，将12自动丢掉，最后得到16-12=4。从这里可以得到一个启示，就是负数用补码表示时，可以把减法转化为加法。这样，在计算机中实现起来就比较方便。若定点小数补码形式为ｘ0.ｘ1ｘ2…ｘn，则补码表示的定义是

[ｘ]补＝ｘ1＞ｘ≥02＋ｘ＝2－|ｘ|0≥ｘ≥－1(mod2)(2.12)求补原则：正数的补码=正数的原码

负数的补码=在原码的基础上，符号位不变，后面的位取反加1对于0，[＋0]补＝0.000，0000

(mod2)

[－0]

原码＝1.000，0000；[－0]补＝0.000，0000注意，从上述分析看出0的补码表示只有一种形式。例如：ｘ＝+0.1011，则[ｘ]补＝0.1011ｘ＝-0.1011，由公式得[ｘ]补＝10+ｘ＝10.0000-0.1011＝1.0101由规则得[x]原＝1.1011，则[ｘ]补＝1.0101又如：ｘ＝+0.1001，则[ｘ]原＝0.1001＝[ｘ]补ｘ＝-0.1001，则[ｘ]原＝1.1001；[ｘ]补＝1.0111例如：[＋4]原＝0000，0100

；

[＋4]补＝0.000，0100

[－4]原码＝1000，0100；[－4]补＝1111，1100[＋127]原＝0111,1111

；

[＋127]补＝0111,1111

[－127]原码＝1111，1111；[－127]补＝1000，0001由于0的补码表示只有一种，因此1000，0000没有数表示，此数为1000，0001-1=1000，0000，定义1000，0000=[-128]补因此补码的表示范围为[-128~+127]，0有一种表示方法。[ｘ]补＝{ｘ2n＞ｘ≥0

2n+1+ｘ＝2n+1-|ｘ|0≥ｘ≥－2n(mod2n＋1)(2.14)对定点整数，补码表示的定义是

小结：上面的数据四种机器表示法中，移码表示法主要用于表示浮点数的阶码。由于补码表示对加减法运算十分方便，因此目前机器中广泛采用补码表示法。在这类机器中，数用补码表示，补码存储，补码运算。也有些机器数用原码进行存储和传送，运算时改用补码。还有些机器在做加减法时用补码运算，在做乘除法时用原码运算。[例3]以定点整数为例,用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。

[解:]原码、反码、补码表示分别示于下图。与原码、反码不同，在补码表示中“0”只有一种形式，且用补码表示负数时范围可到－2n。（n为有效数值位）

[例4]将十进制真值(－127,－1,0,＋1,＋127)列表表示成二进制数及原码、反码、补码、移码值。[解:]二进制真值ｘ及其诸码值列于下表，其中0在[ｘ]原[ｘ]反中有两种表示。由表中数据可知，补码值与移码值差别仅在于符号位不同。[例5]设机器字长16位,定点表示,尾数15位,数符1位,问：(1)定点原码整数表示时,最大正数是多少?最小负数是多少?(2)定点原码小数表示时,最大正数是多少?最小负数是多少?最小负数值＝－(215－1)10＝(－32767)1001111111111111111111111111111111(2)定点原码小数表示最大正数值＝(1－2－15)10＝(＋0.111...11)2最小负数值＝－(1－2－15)10＝(－0.111..11)215个1[解:](1)定点原码整数表示

最大正数值＝(215－1)10＝(＋32767)10[例6]假设由S,E,M三个域组成的一个32位二进制字所表示的非零规格化浮点数ｘ,真值表示为：ｘ＝(－1)s×(1.M)×2E－128问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？

[解:](1)最大正数ｘ＝[1＋(1－2-23)]×2127(2)最小正数

ｘ＝1.0×2－128(3)最小负数ｘ＝－[1＋(1－2－23)]×2127(4)最大负数ｘ＝－1.0×2－128

011111111111111111111111111111110000000000000000000000000000000011111111111111111111111111111111100000000000000000000000000000002.1.3字符与字符串的表示方法1.字符的表示方法现代计算机不仅处理数值领域的问题，而且处理大量非数值领域的问题。这样一来，必然要引入文字、字母以及某些专用符号，以便表示文字语言、逻辑语言等信息。目前国际上普遍采用的字符系统是七单位的ASCII码(美国国家信息交换标准字符码)，它包括10个十进制数码，26个英文字母和一定数量的专用符号，如$，%，＋，＝等，共128个元素，因此二进制编码需7位，加一位偶校验位，共8位一个字节。ASCII码规定8个二进制位的最高一位为0，余下的7位可以给出128个编码，表示128个不同的字符。其中95个编码，对应着计算机终端能敲入并且可以显示的95个字符,打印机设备也能打印这95个字符，如大小写各26个英文字母，0—9这10个数字符，通用的运算符和标点符号＋，－，*，/，>，＝，<等等。另外的33个字符，其编码值为0—31和127，则不对应任何一个可以显示或打印的实际字符，它们被用作控制码，控制计算机某些外围设备的工作特性和某些计算机软件的运行情况。

2.字符串字符串是指连续的一串字符，通常方式下，它们占用主存中连续的多个字节，每个字节存一个字符。当主存字由2个或4个字节组成时，在同一个主存字中，既可按从低位字节向高位字节的顺序存放字符串的内容，也可按从高位字节向低位字节的次序顺序存放字符串的内容。[例]将字符串：

IF└┘A>B└┘THEN└┘READ(C)从高位字节到低位字节依次存在主存中。

[解:]设主存单元长度由4个字节组成。每个字节中存放相应字符的ASCII值，文字表达式中的空格“└┘”在主存中也占一个字节的位置。因而每个字节分别存放十进制的73、70、32、65、62、66、32、84、72、69、78、32、82、69、65、68、40、67、41、32。2.1.4汉字的表示方法为了能直接使用西文标准键盘把汉字输入到计算机，就必须为汉字设计相应的输入编码方法。当前采用的方法主要有以下三类:数字编码常用的是国标区位码，用数字串代表一个汉字输入。区位码是将国家标准局公布的6763个两级汉字分为94个区，每个区分94位，实际上把汉字表示成二维数组，每个汉字在数组中的下标就是区位码。区码和位码各两位十进制数字，因此输入一个汉字需按键四次。数字编码输入的优点是无重码，且输入码与内部编码的转换比较方便，缺点是代码难以记忆。拼音码拼音码是以汉字拼音为基础的输入方法。使用简单方便，但汉字同音字太多，输入重码率很高，同音字选择影响了输入速度字形编码字形编码是用汉字的形状来进行的编码。把汉字的笔划部件用字母或数字进行编码，按笔划的顺序依次输入，就能表示一个汉字。为了加快输入速度,在上述方法基础上，发展了词组输入\联想输入等多种快速输入方法。但是都利用了键盘进行“手动”输入。理想的输入方式是利用语音或图象识别技术“自动”将拼音或文本输入到计算机内，使计算机能认识汉字，听懂汉语，并将其自动转换为机内代码表示。目前这种理想已经成为现实。2.汉字内码汉字内码是用于汉字信息的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。英文字符的机内代码是七位的ASCII码，当用一个字节表示时，最高位为“0”。为了与英文字符能相互区别，汉字机内代码中两个字节的最高位均规定为“1”。注意：有些系统中字节的最高位用于奇偶校验位，这种情况下用三个字节表示汉字内码。注意：汉字的输入编码、汉字内码、字模码是计算机中用于输入、内部处理、输出三种不同用途的编码,不要混为一谈。3.汉字字模码字模码是用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式。根据汉字输出的要求不同，点阵的多少也不同。字模点阵的信息量很大，所占存储空间也很大。因此字模点阵只能用来构成汉字库，而不能用于机内存储。字库中存储了每个汉字的点阵代码。当显示输出或打印输出时才检索字库，输出字模点阵，得到字形。左面的字为16*16点阵，一个字需16*16/8=32字节。图2.1汉字的字模点阵及编码

2.1.5校验码

元件故障\噪声干扰等各种因素常常导致计算机在处理信息过程中出现错误。为了防止错误，可将信号采用专门的逻辑线路进行编码以检测错误，甚至校正错误。通常的方法是在每个字上添加一些校验位，用来确定字中出现错误的位置。最简单且应用广泛的检错码是采用一位校验位的奇校验或偶校验。组成奇偶校验码的基本方法：在n位有效信息位上增加一个二进制校验位，构成一个n+1位奇偶校验码。奇校验：使n+1位的奇偶校验码中1的个数为奇数。偶校验：使n+1位的奇偶校验码中1的个数为偶数。设ｘ＝(ｘ0ｘ1…ｘn－1)是一个n位字，则奇校验位/Ｃ定义为/C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1(2.15)

式中⊕代表按位加，表明只有当ｘ中包含有奇数个1时，才使/C＝1，即C＝0。C＝ｘ0⊕ｘ1⊕…⊕ｘn－1(2.16)

即ｘ中包含偶数个1时，才使C＝0。同理，偶校验位Ｃ定义为例如：x=1010，1010，则奇校验位/c=0，因此c=1得带效验字符为：1010，10101y=1011，1010，则奇校验位/c=1，因此c=0得带效验字符为：1010，10100假设一个字ｘ从部件A传送到部件B。在源点A，校验位C可用上面公式算出来，并合在一起将(ｘ0ｘ1…ｘn－1C)送到B。假设在B点真正接收到的是ｘ＝(ｘ‘0ｘ’1…ｘ‘n－1C

’)，然后计算F＝ｘ'0⊕ｘ'1⊕…⊕ｘ'n－1⊕C‘

若F＝1，意味着收到的信息有错，若F＝0，表明ｘ字传送正确。奇偶校验提供奇数个错误检测，无法检测偶数个错误（2个bit位反转），更无法识别错误信息的位置（反转的bit在哪一位）。[例7]已知下表中左面一栏有5个字节的数据。请分别用奇校验和偶校验进行编码,填在中间一栏和右面一栏。

数据偶校验编码Ｃ奇校验编码Ｃ1010,10100101,01000000,00000111,11111111,111110101010--01010100--0000,0000--0111,1111--1111,1111--1010,1010--0101,0100--0000,0000--0111,1111--1111,1111--01010101012.2定点加法减法运算2.2.1补码的加法2.2.2补码的减法2.2.3溢出概念与检测方法2.2.4基本的二进制加法、减法器2.2.5十进制加法器2.2.1补码加法

负数用补码表示后，可以和正数一样来处理。这样，运算器里只需要一个加法器就可以了,不必为了负数的加法运算，再配一个减法器。补码加法的公式是[ｘ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)(2.17)

现分四种情况来证明。假设采用定点小数表示,因此证明的先决条件是︱ｘ︱﹤1,︱ｙ︱﹤1,︱ｘ＋ｙ︱﹤1。(1)ｘ﹥0,ｙ﹥0,则ｘ＋ｙ﹥0。

相加两数都是正数，故其和也一定是正数。正数的补码和原码是一样的,可得：

[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)

(2)ｘ﹥0,ｙ﹤0,则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。

相加的两数一个为正，一个为负，因此相加结果有正、负两种可能。根据补码定义，

∵[ｘ]补＝[ｘ]原,[ｙ]补＝2＋ｙ

∴[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋ｘ＋ｙ当ｘ＋ｙ>0时,2＋(ｘ＋ｙ)>2，进位2必丢失,又因(ｘ＋ｙ)>0，故[ｘ]补＋[ｙ]补＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)当ｘ＋ｙ<0时,2＋(ｘ＋ｙ)<2，又因(ｘ＋ｙ)<0，故[ｘ]补＋[ｙ]补＝2+ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)(3)ｘ<0，ｙ>0，则ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。这种情况和第2种情况一样，把ｘ和ｙ的位置对调即得证。(4)ｘ<0，ｙ<0，则ｘ＋ｙ<0。相加两数都是负数,则其和也一定是负数。∵[ｘ]补＝2＋ｘ,[ｙ]补＝2＋ｙ∴[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)上式右边分为‘2’和(2＋ｘ＋ｙ)两部分。既然(ｘ＋ｙ)是负数，而其绝对值又小于1，那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的数，进位”2”必丢失。又因(ｘ＋ｙ)<0,所以[ｘ]补＋[ｙ]补＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]补(mod2)至此我们证明了，在模2意义下，任意两数的补码之和等于该两数之和的补码。这是补码加法的理论基础，其结论也适用于定点整数.[例8]ｘ＝0.1001,ｙ＝0.0101,求ｘ＋ｙ。[解:][ｘ]补＝0.1001,[ｙ]补＝0.0101[ｘ]补0.1001＋[ｙ]补0.0101[ｘ＋ｙ]补0.1110所以ｘ＋ｙ＝＋0.1110

[例9]ｘ＝＋0.1011,ｙ＝－0.0101,求ｘ＋ｙ。[ｘ]补＝0.1011,[ｙ]补＝1.1011

[ｘ]补0.1011＋[ｙ]补1.1011[ｘ＋ｙ]补

10.0110所以x＋ｙ＝0.0110

[解:]由以上两例看到，补码加法的特点：一、符号位要作为数的一部分一起参加运算。二、要在模2的意义下相加，即超过2的进位要丢掉。负数的减法运算也要设法化为加法来做,其所以使用这种方法而不使用直接减法,是因为它可以和常规的加法运算使用同一加法器电路,从而简化了计算机的设计。[ｘ－ｙ]补＝[ｘ]补－[ｙ]补＝[ｘ]补＋[－ｙ]补(2.18)

只要证明[－ｙ]补＝－[ｙ]补，上式即得证。现证明如下：∵[ｘ＋ｙ]补＝[ｘ]补＋[ｙ]补(mod2)∴[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补－[ｘ]补(2.19a)∵[ｘ－ｙ]补＝[ｘ＋(－ｙ)]补＝[ｘ]补＋[－ｙ]补∴[－ｙ]补＝[ｘ－ｙ]补－[ｘ]补(2.19b)将式(2.19a)与(2.19b)相加,得[－ｙ]补＋[ｙ]补＝[ｘ＋ｙ]补＋[ｘ－ｙ]补－[ｘ]补－[ｘ]补＝[ｘ＋ｙ＋ｘ－ｙ]补－[ｘ]补－[ｘ]补＝[ｘ＋ｘ]补－[ｘ]补－[ｘ]补＝0故[－ｙ]补＝－[ｙ]补(mod2)(2.20)

数用补码表示时，减法运算的公式为从[ｙ]补求[－ｙ]补的法则是：对[ｙ]补包括符号位“求反且最末位加1”,即可得到[－ｙ]补。写成运算表达式，则为[－ｙ]补＝﹁[ｙ]补＋2－n(2.21)

其中符号﹁表示对[ｙ]补作包括符号位在内的求反操作,2－n表示最末位的1[例10]已知ｘ1＝－0.1110,ｘ2＝＋0.1101,求：[ｘ1]补，[－ｘ1]补，[ｘ2]补，[－ｘ2]补。[解:]

[x1]原码＝1.1110，[ｘ1]补＝1.0010

[-x1]原码＝0.1110，[－ｘ1]补＝0.1110

[x2]原码＝0.1101，[ｘ2]补＝0.1101

[-x2]原码＝1.1101，[－ｘ2]补＝1.0011[例11]ｘ＝＋0.1101,ｙ＝＋0.0110,求ｘ－ｙ。[解:]

[ｘ]补＝0.1101[ｙ]补＝0.0110,[－ｙ]补＝1.1010[ｘ]补0.1101

＋[－ｙ]补1.1010[ｘ－ｙ]补

10.0111所以

ｘ－ｙ＝＋0.0111[例12]ｘ＝＋4,ｙ＝＋100=64h,求ｘ－ｙ，x+y。[解:]

[ｘ]原=0000,0100B;

[ｘ]补=

0000,0100B

[y]原=0110,010