机器人动力学课件

3.1引言3.2牛顿—欧拉方程法3.3拉格朗日方程法习题3.1引言动力学研究的问题：机器人各个关节的运动与关节需要的驱动力（矩）之间的关系。正问题：已知关节运动，求关节驱动力（矩）。逆问题：已知关节驱动力（矩），求关节运动。动力学研究的问题：数学模型：关节运动→位移、速度、加速度变化→关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τi动力学方程：

，i=1，…，n正问题：已知

，求τi。逆问题：已知τi，求。数学模型：3.1引言3.1.1静力学分析3.1.2动力学分析3.1引言3.1.1静力学分析l2l13.1.1静力学分析机器人各个关节处于静止状态。当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mg3.1引言l2l13.1.1静力学分析机器人各个关节处于静止状态。m机器人各个关节处于静止状态。考虑杆件自重时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mgm3gm2gm1g3.1引言3.1.1静力学分析机器人各个关节处于静止状态。mgf3=mgf2=mgf1=m机器人各个关节处于运动状态。当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：3.1引言3.1.2动力学分析f3f2f1m2l2l1m1τ1τ2τ3m3机器人各个关节处于运动状态。3.1引言3.1.2牛顿—欧拉方程法原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则可先由机器人机座开始向手部杆件正向递推出每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度，再用牛顿——欧拉方程得到机器人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关节开始向第一个关节反向递推出机器人每个关节上承受的力和力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样就确定了机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度和加速度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。3.2牛顿—欧拉方程法牛顿—欧拉方程法原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个牛顿—欧拉方程法递推过程：正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度→

从1～n递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度→

机器人每个杆件质心上的速度和加速度→

再用牛顿——欧拉方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。反向递推：根据正向递推的结果→

从n～1递推出机器人每个关节上承受的力和力矩→

得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩）。3.2牛顿—欧拉方程法牛顿—欧拉方程法递推过程：3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程3.2.2递推计算公式3.2.3递推算法应用3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程1、牛顿方程→惯性力①矢量。②质心上的线加速度。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程1、牛顿方程→惯性力3.2牛顿2、欧拉方程→惯性力矩①矢量。②质心上的惯性张量矩阵。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程2、欧拉方程→惯性力矩3.2牛顿—欧拉方程法3.2.12、欧拉方程→惯性力矩惯性张量矩阵简介：a.坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。b.元素名称：Icxx，Icyy，Iczz——惯量矩；Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz——惯量积。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程2、欧拉方程→惯性力矩3.2牛顿—欧拉方程法3.2.12、欧拉方程→惯性力矩惯性张量矩阵计算：理论计算方法：实验测试法：

惯量摆仪器。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程2、欧拉方程→惯性力矩3.2牛顿—欧拉方程法3.2.11、正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度：

①从1～n递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度；②机器人每个杆件质心上的速度和加速度；③机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。3.2.2递推计算公式3.2牛顿—欧拉方程法1、正向递推：3.2.2递推计算公式3.2牛顿—欧拉方1、正向递推：（第一种杆件坐标系）①杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：{i-1}、{i}Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式已知：i-1杆件速度和加速度i关节速度和加速度计算：i杆件速度和加速度ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式分析：I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、关节速度和加速度的矢量化：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式3.2牛顿—欧拉方程法关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2.2递推计算公式1、正向递推：3.2牛顿—欧拉方程法关节iOiii-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：②杆件质心上的速度和加速度iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.21、正向递推：③杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力：惯性力矩：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.21、正向递推：（第二种杆件坐标系）①杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：{i-1}、{i}ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式已知：i-1杆件速度和加速度i关节速度和加速度计算：i杆件速度和加速度ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式分析：I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、关节速度和加速度的矢量化：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：②杆件质心上的速度和加速度iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.21、正向递推：③杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力：惯性力矩：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.22、反向递推：已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩：①从n～1递推出机器人每个关节承受的力和力矩；②机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算2、反向递推：（第二种杆件坐标系）①关节承受的力和力矩递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：{i-1}、{i}ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式已知：i-1杆件的惯性力和惯性力矩i关节承受的力和力矩计算：i-1关节承受的力和力矩ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式分析：I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、i-1杆件受力分析：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式以i-1杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式以i-1杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2、反向递推：②关节驱动力（矩）平移关节：回转关节：则关节驱动力（矩）为：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-13.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-13.23.2.3递推算法应用1、递推初始条件①正向递推机座0的速度和加速度：*考虑杆件自重或手部负载为重物时：为描述在机座坐标系{0}中的标准重力加速度。gx0z0o03.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用1、递推初始条件gx0z0o03.21、递推初始条件②反向递推机器人手部负载：3.2牛顿—欧拉方程法l1l3l23.2.3递推算法应用1、递推初始条件3.2牛顿—欧拉方程法l1l3l23.22、递推应用条件①已知机器人的关节变量及其速度和加速度；②已知任一杆件i相对于与自身坐标系{i}方向相同的坐标系{Ci}所描述的惯性张量及其质心在自身坐标系{i}中的位置矢量（可用实验等方法确定）；③已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用2、递推应用条件3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算2、递推应用条件第二种坐标系下递推算法——正向递推:3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用2、递推应用条件3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算2、递推应用条件第二种坐标系下递推算法反向递推:3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用2、递推应用条件3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算例：已知二自由度机器人如图所示，机器人两个杆件的长度分别为和，且其质量和都集中在杆件的端头。若用第二种方法建立机器人的坐标系，当机器人各个关节的位移、速度和加速度已知时，试用牛顿——欧拉递推算法计算各关节的驱动力矩。θ1θ2m1m2xy关节1关节23.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用例：已知二自由度机器人如图所示，机器人两个杆件的长度分别为解：建立坐标系如图所示。相邻杆件的位姿矩阵为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y23.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：建立坐标系如图所示。相邻杆件的位姿矩阵为：θ1θ2m1m解：

(1)正向递推已知关节速度和加速度分别为，由于考虑杆件的重量，所以机座的运动参数（初始条件）设为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推由于机器人手部无负载，所以初始条件为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节2受的力：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节2受的力矩：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节2的驱动力矩：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节1受的力：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推整理可得关节1受的力：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节1受的力矩：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节1的驱动力矩：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节1和2的驱动力矩为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x将得到的关节驱动所需力矩简写为如下形式：当机器人有n个关节时，上式可推广为普遍形式：

3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用将得到的关节驱动所需力矩简写为如下形式：3.2牛顿—欧拉将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：

上式也称为机器人的动力学模型。式中：是机器人动力学模型中的惯性力项；表示机器人操作机的质量矩阵，它是n×n阶的对称矩阵；是n×1阶矩阵，表示机器人动力学模型中非线性的耦合力项，包括离心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）；也是n×1阶矩阵，表示机器人动力学模型中的重力项。

3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用将上式进一步简化为如下所示的矩阵形式：3.2牛顿—欧拉方拉格朗日方程的一般形式为：

式中，——广义力，它可以是力，也可以是力矩；

——系统选定的广义坐标；

——广义坐标对时间的一阶导数，即速度；

——拉格朗日函数，又称为拉格朗日算子，它被定义为系统的动能与势能之差L=T-U。3.3拉格朗日方程法拉格朗日方程的一般形式为：3.3拉格朗日方程法

对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉格朗日动力学方程：（1）选取完全并独立的广义坐标：（2）选定广义力：（3）求出系统的动能T和势能U，并用其构造拉格朗日函数L=T-U；（4）将以上结果代入拉格朗日方程式中，即可求得机器人的动力学方程。3.3拉格朗日方程法对给定的机器人，可以按以下几个步骤建立拉3.例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个连杆长度分别为l1和l2，质量分别为m1和m2，且集中在各连杆的端部。若将机器人直接悬挂在加速度为g的重力场中，试用拉格朗日方程建立该机器人的动力学方程。解：①选取连杆绕关节的转角为变量θ1和θ2

，则系统的广义坐标就可以选为，即②转动关节对应的是力矩，所以广义力就选为，即。θ1θ2m1m2xy关节1关节23.3拉格朗日方程法例：已知二关节机器人如图所示，机器人的两个θ1θ2m1m2x求出各连杆的动能和势能：连杆l1的动能为：连杆l1的势能为：对连杆l2求动能和势能时，要先写出其质心在直角坐标系中的位置表达式：然后求微分，则其速度就为：由此可得连杆的速度平方值为：3.3拉格朗日方程法求出各连杆的动能和势能：3.3拉格朗日方程法求出各连杆的动能和势能：从而连杆l2的动能为：势能为：则可构造出拉格朗日函数为：

3.3拉格朗日方程法求出各连杆的动能和势能：3.3拉格朗日方程法求出机器人动力学方程：先将拉格朗日函数对和进行微分，即：3.3拉格朗日方程法求出机器人动力学方程：3.3拉格朗日方程法求出机器人动力学方程：再将拉格朗日函数对和进行微分，即：3.3拉格朗日方程法求出机器人动力学方程：3.3拉格朗日方程法求出机器人动力学方程：将以上结果代入方程即可得关节上的力矩分别为：

3.3拉格朗日方程法求出机器人动力学方程：3.3拉格朗日方程法将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：当机器人有n个关节时，上式可推广为普遍形式：

3.3拉格朗日方程法将得到的机器人动力学方程简写为如下形式：3.3拉格朗日方将其简化也可得到机器人的动力学模型：

该模型反映了机器人关节驱动力（矩）与各个关节的位移、速度和加速度之间的关系，这是一个变系数、多变量、强耦合的非线性系统。3.3拉格朗日方程法将其简化也可得到机器人的动力学模型：3.3拉格朗日方程法400400m思考题400400m思考题结束！结束！3.1引言3.2牛顿—欧拉方程法3.3拉格朗日方程法习题3.1引言动力学研究的问题：机器人各个关节的运动与关节需要的驱动力（矩）之间的关系。正问题：已知关节运动，求关节驱动力（矩）。逆问题：已知关节驱动力（矩），求关节运动。动力学研究的问题：数学模型：关节运动→位移、速度、加速度变化→关节驱动力（矩）→驱动力或驱动力矩→τi动力学方程：

，i=1，…，n正问题：已知

，求τi。逆问题：已知τi，求。数学模型：3.1引言3.1.1静力学分析3.1.2动力学分析3.1引言3.1.1静力学分析l2l13.1.1静力学分析机器人各个关节处于静止状态。当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mg3.1引言l2l13.1.1静力学分析机器人各个关节处于静止状态。m机器人各个关节处于静止状态。考虑杆件自重时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mgm3gm2gm1g3.1引言3.1.1静力学分析机器人各个关节处于静止状态。mgf3=mgf2=mgf1=m机器人各个关节处于运动状态。当负载为一重物时：关节承受的力和力矩：关节需要的驱动力（矩）：3.1引言3.1.2动力学分析f3f2f1m2l2l1m1τ1τ2τ3m3机器人各个关节处于运动状态。3.1引言3.1.2牛顿—欧拉方程法原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个杆件质心的位置和表征其质量分布的惯性张量矩阵。当确定机器人坐标系后，根据机器人关节速度和加速度，则可先由机器人机座开始向手部杆件正向递推出每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度，再用牛顿——欧拉方程得到机器人每个杆件上的惯性力和惯性力矩，然后再由机器人末端关节开始向第一个关节反向递推出机器人每个关节上承受的力和力矩，最终得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩），这样就确定了机器人关节的驱动力（矩）与关节位移、速度和加速度之间的函数关系，即建立了机器人的动力学方程。3.2牛顿—欧拉方程法牛顿—欧拉方程法原理：将机器人的每个杆件看成刚体，并确定每个牛顿—欧拉方程法递推过程：正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度→

从1～n递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度→

机器人每个杆件质心上的速度和加速度→

再用牛顿——欧拉方程得到机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。反向递推：根据正向递推的结果→

从n～1递推出机器人每个关节上承受的力和力矩→

得到机器人每个关节所需要的驱动力（矩）。3.2牛顿—欧拉方程法牛顿—欧拉方程法递推过程：3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程3.2.2递推计算公式3.2.3递推算法应用3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程1、牛顿方程→惯性力①矢量。②质心上的线加速度。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程1、牛顿方程→惯性力3.2牛顿2、欧拉方程→惯性力矩①矢量。②质心上的惯性张量矩阵。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程2、欧拉方程→惯性力矩3.2牛顿—欧拉方程法3.2.12、欧拉方程→惯性力矩惯性张量矩阵简介：a.坐标系：与杆件坐标系同向，位于杆件质心上。b.元素名称：Icxx，Icyy，Iczz——惯量矩；Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz——惯量积。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程2、欧拉方程→惯性力矩3.2牛顿—欧拉方程法3.2.12、欧拉方程→惯性力矩惯性张量矩阵计算：理论计算方法：实验测试法：

惯量摆仪器。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.1牛顿—欧拉方程2、欧拉方程→惯性力矩3.2牛顿—欧拉方程法3.2.11、正向递推：已知机器人各个关节的速度和加速度：

①从1～n递推出机器人每个杆件在自身坐标系中的速度和加速度；②机器人每个杆件质心上的速度和加速度；③机器人每个杆件质心上的惯性力和惯性力矩。3.2.2递推计算公式3.2牛顿—欧拉方程法1、正向递推：3.2.2递推计算公式3.2牛顿—欧拉方1、正向递推：（第一种杆件坐标系）①杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：{i-1}、{i}Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式已知：i-1杆件速度和加速度i关节速度和加速度计算：i杆件速度和加速度ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式分析：I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、关节速度和加速度的矢量化：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：Oiii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式3.2牛顿—欧拉方程法关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2.2递推计算公式1、正向递推：3.2牛顿—欧拉方程法关节iOiii-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：关节iOiii-1Xi-1Zi-1Oi-1X1、正向递推：②杆件质心上的速度和加速度iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.21、正向递推：③杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力：惯性力矩：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.21、正向递推：（第二种杆件坐标系）①杆件速度和加速度递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：{i-1}、{i}ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式已知：i-1杆件速度和加速度i关节速度和加速度计算：i杆件速度和加速度ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式分析：I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、关节速度和加速度的矢量化：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：①杆件速度和加速度递推计算公式ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ1、正向递推：②杆件质心上的速度和加速度iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.21、正向递推：③杆件质心上的惯性力和惯性力矩惯性力：惯性力矩：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式1、正向递推：iXiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.22、反向递推：已知机器人各个杆件的惯性力和惯性力矩：①从n～1递推出机器人每个关节承受的力和力矩；②机器人每个关节的驱动力或驱动力矩。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算2、反向递推：（第二种杆件坐标系）①关节承受的力和力矩递推计算公式建立相邻两个杆件的坐标系：{i-1}、{i}ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式已知：i-1杆件的惯性力和惯性力矩i关节承受的力和力矩计算：i-1关节承受的力和力矩ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式分析：I、坐标系:相邻杆件位姿矩阵II、i-1杆件受力分析：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：ii-1关节iXi-1Zi-1Oi-1XiZ2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式以i-1杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2、反向递推：①关节承受的力和力矩递推计算公式以i-1杆件为研究对象，由达朗贝尔原理可得：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-1Oi3.2、反向递推：②关节驱动力（矩）平移关节：回转关节：则关节驱动力（矩）为：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-13.2牛顿—欧拉方程法3.2.2递推计算公式2、反向递推：i-1关节iXi-1Zi-1Oi-13.23.2.3递推算法应用1、递推初始条件①正向递推机座0的速度和加速度：*考虑杆件自重或手部负载为重物时：为描述在机座坐标系{0}中的标准重力加速度。gx0z0o03.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用1、递推初始条件gx0z0o03.21、递推初始条件②反向递推机器人手部负载：3.2牛顿—欧拉方程法l1l3l23.2.3递推算法应用1、递推初始条件3.2牛顿—欧拉方程法l1l3l23.22、递推应用条件①已知机器人的关节变量及其速度和加速度；②已知任一杆件i相对于与自身坐标系{i}方向相同的坐标系{Ci}所描述的惯性张量及其质心在自身坐标系{i}中的位置矢量（可用实验等方法确定）；③已知相邻杆件的位姿矩阵及必要的初始数据。3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用2、递推应用条件3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算2、递推应用条件第二种坐标系下递推算法——正向递推:3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用2、递推应用条件3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算2、递推应用条件第二种坐标系下递推算法反向递推:3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用2、递推应用条件3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算例：已知二自由度机器人如图所示，机器人两个杆件的长度分别为和，且其质量和都集中在杆件的端头。若用第二种方法建立机器人的坐标系，当机器人各个关节的位移、速度和加速度已知时，试用牛顿——欧拉递推算法计算各关节的驱动力矩。θ1θ2m1m2xy关节1关节23.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用例：已知二自由度机器人如图所示，机器人两个杆件的长度分别为解：建立坐标系如图所示。相邻杆件的位姿矩阵为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y23.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：建立坐标系如图所示。相邻杆件的位姿矩阵为：θ1θ2m1m解：

(1)正向递推已知关节速度和加速度分别为，由于考虑杆件的重量，所以机座的运动参数（初始条件）设为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(1)正向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推由于机器人手部无负载，所以初始条件为：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节2受的力：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节2受的力矩：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节2的驱动力矩：θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x2y1y2g3.2牛顿—欧拉方程法3.2.3递推算法应用解：(2)反向递推θ1θ2m1m2x0y0关节1关节2x1x解：(2)反向递推关节1受的力：θ1θ2m1m2x0y0关节1关