教学设计完整版：等差数列的前n项和

等差数列的前n项和等差数列的前n项和(一)导入新课教师出示投影胶片1：印度泰姬陵(TajMahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)生只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.师对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.教师出示投影胶片2：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050.”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5050.师这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？生高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5050.师对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了.高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.师问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？生这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.师对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.推进新课［合作探究］师我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?生这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.师高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?生有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是.师妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：1+2+3+…+21，21+20+19+…+1，对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.现在我将求和问题一般化：(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn?生1对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+…+a2+a1，再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，所以.(Ⅰ)生2对于问题(2)，我是这样来求的：因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,即Sn=na1+d.(Ⅱ)［教师精讲］两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.［方法引导］师如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.引导学生总结：这些公式中出现了几个量？生每个公式中都是5个量.师如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?生已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).师当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.［知识应用］(直接代公式)计算：(1)1+2+3+…+n；(2)1+3+5+…+(2n-1)；(3)2+4+6+…+2n；(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.生(1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)==n2；(3)2+4+6+…+2n==n(n+1).师第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)生(4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式=[1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.生上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.师很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.课堂练习等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？(学生板演)解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn,则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,由公式可得-10n+×4=54.解之,得n1=9,n2=-3(舍去).所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.(教师对学生的解答给出评价)课堂小结师同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?生①等差数列的前n项和公式1：,②等差数列的前n项和公式2：.师通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?生①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.师本节课我们通过探究还得到了等差数列的性