步步高苏教版新高考数学理科一轮复习配套练习61数列的概念与简单表示法(含答案详析)

第六章数列第1讲数列的看法与简单表示法一、填空题1．已知数列，1，3，5，7，，2n－1，，则35是它的第_______项．剖析35＝45＝2×23－1.答案23．已知函数＝n2n≠0，n∈N*)的图象在n－1＋1(n≥2，2yax(ax＝1处的切线斜率为2a∈*)，且当n＝时其图象过点7的值为________．nN1(2,8)，则a剖析由题知y′＝2a，∴＝－＋1(n≥，∈*)，∴－an－＝1，又nnx2an2an12nNan12＝1时其图象过点1×22＝，得1＝，∴n是首项为1(2,8)，∴a8a2{a}223等差数列，an＝2＋2，得a7＝5.答案53．已知数列n满足1＝1，且an＝n(an＋1－an∈*)，则2＝________；an＝{a}a)(nNa________.剖析由an＝n＋1－n，可得an＋1n＋1，n(aa)annanaaa2nn－1n－22则n＝n－1n－2×××××1＝n，∴a2＝，·aaan－1n－2n－3121a＝n.n答案2；n4．数列n的通项n＝2n，则数列{an中的最大值是________．{a}an＋90}剖析由于an＝1，运用基本不等式得，1≤1，由于∈*，不9090290nNn＋nn＋n难发现当n＝9或10时，an＝1最大．19答案119．设函数f(x)3－ax－3x≤7，数列{an满足n＝f(n)，n∈N*，且数列{an5ax6x>7，}a}是递加数列，则实数a的取值范围是________．剖析∵数列{an是递加数列，又n*)，}a＝f(n)(n∈N3－a>0，∴a>1，?2<a<3.f8>f7答案(2,3)．若Sn为数列{a的前n项和，且＝n，则1＝________.6n}Snn＋1a5剖析当n≥2时，an＝n－n－1＝n－n－1，因此1＝×＝SSn＋1nnn＋15630.a5答案307．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对所有的n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是________．剖析an＋1＞n，即＋1)2＋＋＋＞2＋＋，则k＞－＋1)对所有a(nk(n1)2nkn2(2n的n∈N*都成立，而当n＝1时，－(2n＋1)获取最大值－3，因此k＞－3.答案(－3，＋∞)8．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－1(n≥2)，则a16＝________.2an剖析由题可知a2＝－1＝－，3＝－1＝，4＝－1＝1，∴此数列是以1a1a1a2a1a212313为周期的周期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝2.答案

129．已知{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.剖析由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1.∴Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，3n＝1，n＝1时不适合an，∴an＝n≥2.2n3n＝1答案n≥22n10．已知5×5数字方阵aa12a13a14a1511a21a22a23a24a251，j是i的整数倍，a31a32a33a34a35中，aij＝41a42a43a44a45－1，j不是i的整数倍，aaa52a53a54a555154则a3j＋ai4＝________.j＝2i＝2剖析由条件可知a32＝－1，a33＝1，a34＝－1，a35＝－1，a24＝1，a34＝－1，a44＝1，从而原式＝－1.答案－1二、解答题11．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150可否是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．12．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．解(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，∴{Sn－3n}是等比数列，因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①nn－1*，n于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2n23n2＝2－12·－＋a－3，当n≥2时，an＋1≥an?12·3n－2＋a－3≥0?a≥－9.2又a2＝a1＋3>a1.综上，所求的a的取值范围是[－，＋∞．9)13．设数列{bn}满足：b1＝1，bn＋1＝bn2＋bn，2(1)求证：1＝1－1；bb(2)若Tn＝111n,3Tn－log2m－5>0恒1＋1＋2＋1＋＋n＋1，对任意的正整数bbb成立．求m的取值范围．解(1)∵b1＝1，bn＋1＝bn2＋bn＝bn(bn＋1)，2∴对任意的n∈N*，bn>0.∴1＝1＝1－1，即1＝1－1.n＋1nn＋1bnn＋1n＋1bnbn＋1bbbbbn＝1－11－11－111＝2－1＋＋＋＝－.b1b2b2b3bnbn＋1b1bbn＋1n＋1∵bn＋1－bn＝b2n>0，∴bn＋1>bn，∴数列{bn}是单调递加数列．∴数列{Tn关于n递加．∴n≥T1}T.∵b1＝1，∴b2＝b11＋1)＝3∴1＝2－1＝22(b4.Tb23.2∴Tn≥3.∵3Tn－log2m－5>0恒成立．1log2m<－3，∴0<m<8.n＋1an14．已知数列{an}的前n项和Sn＝，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝lnan，可否存在k(k≥2，且k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比数列．若存在，求出所有吻合条件的k值；若不存在，请说明原由．n＋1annan－1nan－1(1)法一当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a解2－2，即n＝－n1anaa*1n(n≥2)．因此n是首项为1＝1的常数数列，因此n＝1，即an＝n(n∈N)．法二同上，得(n－1)an＝nan－1.同理得nan＋1＝(n＋1)an，因此2nan＝n(an－1＋an＋1)，即2an＝an－1＋an＋1，因此{an}成等差数列．又由a1＝1，得a2＝S2－a1，得a2＝2，得an＝1＋(n－1)＝n(n∈N*)．ann法三同上，得＝(n≥2)，因此an＝anan－1an－2a3a21＝nn－1321＝1，·n－1n－2n－3····a····1＝n，当n＝1时aa2a1－－221aaan1n也满足an＝n，因此an＝n(n∈N*)．(2)假设存在k(k≥2，k∈N*)，使得bk，bk＋1，bk＋2成等比