江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精高一（下）期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必然自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应地域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题:本大题共14小题，每题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应地址上．1．cos75°＝．2．sin14°cos16°＋cos14°sin16°．＝3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P(1，－2），则sin2α＝．4．在△ABC中，若AC＝错误!，∠A＝45°,∠C＝75°，则BC＝．5．在△ABC中,若sinA︰sinB︰sinC＝3︰2︰4，则cosC＝．6．设等差数列{an｝的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝．aa1a3a3＋a5a5a7＝．7．若等比数列｛n}满足＋＝5，＝20，则＋8．若关于x的不等式ax2＋x＋b＞0的解集是（－1，2）,则a＋b＝．学必求其心得，业必贵于专精9．若关于x的不等式1＋错误!≤0的解集是［－2，1)，则k＝10．若数列{an｝满足a11＝错误!,错误!－错误!＝5(n∈N*)，则a1＝11．已知正数a，b满足错误!＋错误!＝2，则a＋b的最小值是

．．．12．以下四个数中，正数的个数是．①错误!－错误!，a＞b＞0，m＞0;②(n＋3＋错误!)－（错误!＋错误!),n∈N*;③2(a2＋b2)－（a＋b)2,a,b∈R；④错误!－2，x∈R.13．在斜三角形ABC中，角ABC所对的边分别为abc＋错误!tanCtanB＝1,则错误!＝．14．若数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a1＋2a2＋3a3＋＋nan＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定地域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f（x)＝x2－(t＋1)x＋t（t，x∈R）．（1)当t＝3时，求不等式f（x)＞0的解集；(2)已知f(x)≥0对一的确数x成立,求t的值．16．(本题满分14分)设函数f（x）＝2cos2x＋2错误!sinxcosx(x∈R)．(1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在0＜x≤错误!的条件下，求f(x）的取值范围．学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精17．(本题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C的对边，且cos（B－C）－2sinBsinC＝－错误!。(1）求角A的大小；(2）当a＝5，b＝4时，求△ABC的面积．18．（本题满分16分)已知｛an}是等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，a3＋a4＝12．1)求a1＋a2＋a3＋a4＋a5；2）设bn＝10－an，数列｛bn}的前n项和为Sn，若b1≠b2，则n为何值时,Sn最大？Sn最大值是多少？学必求其心得，业必贵于专精19．（本题满分16分）如图,扇形AOB是某个旅游景点的平面表示图,圆心角AOB的大小等于错误!，半径OA＝200m,点M在半径OA上，点N在AB弧上，且MN∥OB，求观光道路OM与MN长度之和的最大值．AMNOB20．（本题满分16分）设正项数列｛an}满足：a1＝错误!，an＋1＝错误!，n∈N*。5－1(1）证明：若an＜2,则an＋1＞错误!;（2)回答以下问题并说明原由：可否存在正整数N，当n≥N时｜an－错误!|＋｜an＋1－错误!｜＜0.001恒成立？学必求其心得，业必贵于专精( )145701错误!2错误!3错误!4错误!5错误!6127808119310211错误!32错误!)12213314(n12n2690151t3,f(x)0x24x30,(x1x30,.......3fx(∞130∞.........62)fx)≥0xt1)24t≤0................10t1)2≤0t1

.............1416(1)fx)2sin(2x错误!1

................6π

fx............8学必求其心得，业必贵于专精(2)0＜x≤错误!时，错误!＜2x＋错误!≤错误!,。。.。.。。.。。.。..。.。。.。..。。分函数y＝sinx在区间［错误!，错误!]是增函数，在区间［错误!,错误!]是增函数,f(x)的值域是［2sin错误!＋1，2sin错误!＋1］，即[2，3］．。。。..。.。..。。。。.。.。......14分17．(1）由cos(B－C)－2sinBsinC＝－错误!得cos（B＋C）＝－错误!,..。.。。。.。.....。。.。..。...4分∴cosA＝－错误!，∵0＜A＜π,∴A＝错误!;...。。.。.。.。。..。。。。.。。。.。7分π（2）由c2＋42－2×c×4cos3＝52及c＞0得c＝2＋错误!，..。。。.。.。。..。。。。.。..。...11分ABC的面积S△ABC＝错误!×4×（2＋错误!）×sin错误!＝2错误!＋39．..。..。..。.....。.....。..。.14分18．(1）设｛an｝的公差为d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴(a1＋d)2＝a1（a1＋4d），∴d＝0,或d＝a1，.。。。。...。...。..。.。。..。..4分当d＝0时，∵a3＋a4＝12,∴a1＝a3＝6，

230，

∴a1

＋

a2

＋

a3

＋

a4＋a5＝..。。..。.。.。。。。..。.。.。..。6分学必求其心得，业必贵于专精当d≠0时，∵a3＋a4＝12，∴a1＝1，d＝2，。.。.。。。。。。。。..。.。。。..。.。.8分∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25；（2)∵b1≠b2，bn＝10－an，∴a1≠a2，∴d≠0,bn＝10－an＝10－(2n－1）＝11－2n，.。.。。。。..。..。。.。。..。.。。。12分当n≤5时，bn＞0，当n≥6时，bn＜0，当n＝5时，Sn最大，Sn最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25．..。。..。..。.。。。。。。。...。。。16分19．连ON，设∠MON＝θ，0＜θ＜错误!,在△MON中，ON＝200,OMN∠＝错误!，错误!＝错误!＝错误!，。..。。。.。.。。.。。。。..。....。4分∴MN＝错误!sinθ,OM＝错误!sin(错误!－θ),。.。。.。。....。。。。。....。..。8分MN＋OM＝错误!［sinθ＋sin(错误!－θ）]＝错误!θ错误!θ错误!θ错误!sin（错误!＋(sin＋cos－sin）＝θ），。。。.。..。。...。.。。...。.。。。13分0＜θ＜错误!，∴错误!＜错误!＋θ＜错误!，∴当θ＝错误!时，sin(错误!＋θ）最大，学必求其心得，业必贵于专精MN＋OM最大，最大值是错误!错误!m．。。。..。..。。。。..。。.。。。..。。16分20．（1)若0＜an＜错误!，则0＜1＋an＜1＋错误!,则an＋1＝错误!＞错误!＝错误!;

.。。...。.。。.。。.。....。。..。4

分（2）仿(1）可得，若

an＞错误!,则

an＋1＜错误!,

则n≥2时|

....。。。。.。..。.。。。。。。....6分an－错误!｜＋｜an＋1－错误!|＝｜an＋1－an｜＝｜错误!－错误!｜＝错误!,∵an＞0,∴an＋1＝错误!＜1（n∈N*),n≥2时，an＝错误!＞错误!,又a1＝错误!，n≥2时，（1＋an)(1＋an－1)＝（1＋错误!)（1＋an－1）＝2＋an1≥错误!，。.。。.。。。。.。。.。。....8分∴|an＋1－an｜＝错误!≤错误!｜an－an－1｜≤（错误!）2｜an－1－an－2|≤≤（错误!)n－1｜a2－a1｜＝错误!×(