材料力学Ⅰ电子教案3

第三章扭转§3-1概述§3-2薄壁圆筒的扭转§3-3传动轴的外力偶矩·扭矩及扭矩图§3-4等直圆杆扭转时的应力·强度条件§3-5等直圆杆扭转时的变形·刚度条件§3-6等直圆杆扭转时的应变能§3-7等直非圆杆自由扭转时的应力和变形*§3-8

开口和闭口薄壁截面杆自由扭转时的应力与变形1§3-1概述变形特点：

Ⅰ.相邻横截面绕杆的轴线相对转动；

Ⅱ.杆表面的纵向线变成螺旋线；

Ⅲ.实际构件在工作时除发生扭转变形外，还伴随有弯曲或拉、压等变形。受力特点：圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的外力偶Me作用下发生扭转。第三章扭转薄壁杆件也可以由其它外力引起扭转。MeMe2圆轴扭转变形第三章扭转3本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。第三章扭转4§3-2薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒——通常指的圆筒当其两端面上作用有外力偶矩时，任一横截面上的内力偶矩——扭矩(torque)第三章扭转mmTMelMemmMedr0Od5薄壁圆筒的扭转第三章扭转6Ⅰ.薄壁圆筒横截面上各点处切应力的变化规律第三章扭转

推论：(1)横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如同刚性平面一样；(2)相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。MeADBCMejg7横截面上的应力：(1)只有与圆周相切的切应力(shearingstress)，且圆周上所有点处的切应力相同；(2)对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布；(3)横截面上无正应力。第三章扭转Memmxr0tdA8Ⅱ.

薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：由根据应力分布可知引进，上式亦可写作，于是有第三章扭转Memmxr0tdA9Ⅲ.剪切胡克定律(Hooke’slawinshear)(1)上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearingstrain)。(2)该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。(3)在认为切应力沿壁厚均匀分布的情况下，切应变也是不沿壁厚变化的，故有，此处r0为薄壁圆筒的平均半径。第三章扭转MeADBCMejgl10薄壁壁圆圆筒筒的的扭扭转转实实验验表表明明：：当当横横截截面面上上切切应应力力t不超超过过材材料料的的剪剪切切比比例例极极限限tp时，，外外力力偶偶矩矩Me(数值值上上等等于于扭扭矩矩T)与相相对对扭扭转转角角j成线线性性正正比比例例关关系系，，从从而而可可知知t与g亦成线性正比比关系：这就是材料的的剪切胡克定律律，式中的比例例系数G称为材料的切变模量(shearmodulus)。钢材的切变模模量的约值为为：G=80GPa第三章扭转转MeADBCMejg11§3-3传动轴的外力力偶矩·扭矩及扭矩图图Ⅰ.传动轴的外力力偶矩当传动轴稳定定转动时，作作用于某一轮轮上的外力偶偶在t秒钟内所作功等等于外力偶之之矩Me乘以轮在t秒钟内的转角角a。第三章扭转转12因此，外力偶偶Me每秒钟所作功功，即该轮所所传递的功率率为因此，在已知知传动轴的转转速n(亦即传动轴上上每个轮的转转速)和主动轮或从从动轮所传递递的功率P之后，即可由由下式计算作作用于每一轮轮上的外力偶偶矩：第三章扭转转13主动轮上的外外力偶其转向向与传动轴的的转动方向相相同，而从动动轮上的外力力偶则转向与与传动轴的转转动方向相反反。第三章扭转转14Ⅱ.扭矩及扭矩图图传动轴横截面面上的扭矩T可利用截面法来计算。第三章扭转转TMeMeTT=MeMeMe1115扭矩的正负可可按右手螺旋旋法则确定：：扭矩矢量离离开截面为正正，指向截面面为负。第三章扭转转T(+)T(-)16例题3-1一传动轴如图图，转速；；主动轮输输入的功率P1=500kW，三个从动轮输输出的功率分分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩矩图。第三章扭转转17解：1.计算作用在各各轮上的外力力偶矩第三章扭转转182.计算各段的扭扭矩BC段内：AD段内：CA段内：(负)第三章扭转转注意这个扭矩矩是假定为负负的193.作扭矩图由扭矩图可见见，传动轴的的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为为9.56kN·m。第三章扭转转20思考：如果将从动轮轮D与C的位置对调，，试作该传动动轴的扭矩图。这样的的布置是否合合理？第三章扭转转21第三章扭转转15.94.786.374.7822§3-4等直圆杆扭转转时的应力·强度条件Ⅰ.横截面上的应应力表面变形情况况推断横截面的变形形情况(问题的几何方方面)横截面上应变变的变化规律律横截面上应力力变化规律应力-应变关系(问题的物理方方面)内力与应力的的关系横截面上应力力的计算公式式(问题的静力学学方面)第三章扭转转231.表面变形情况况：(a)相邻圆周线绕绕杆的轴线相相对转动，但但它们的大小小和形状未变变，小变形情情况下它们的的间距也未变变；(b)纵向线倾斜了了一个角度g。平面假设——等直圆杆受扭扭转时横截面面如同刚性平平面绕杆的轴轴线转动，小小变形情况下下相邻横截面面的间距不变变。推知：杆的横横截面上只有有切应力，且且垂直于半径径。(1)几何方面第三章扭转转242.横截面上一点点处的切应变变随点的位置置的变化规律律：即第三章扭转转bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrrEAO1Ddj

D'G'GO2d/2dxgrgr25式中——相对扭转角j沿杆长的变化率，常用j'

来表示，对于给定的横截面为常量。可见，在横截截面的同一半半径r的圆周上各点点处的切应变变gr均相同；gr与r成正比，且发发生在与半径径垂直的平面面内。第三章扭转转bbTTO1O2dj

GG'DD'aadxAEggrr26(2)物理方面由剪切胡克定定律t=Gg知第三章扭转转可见，在横截截面的同一半半径r的圆周上各点点处的切应力力tr均相同，其值值与r成正比，其方方向垂直于半径。27(3)静力学方面其中称为横截面的极惯性矩Ip，它是横截面的几何性质。从而得等直圆圆杆在线弹性性范围内扭转转时，横截面面上任一点处处切应力计算算公式以代入上式得：第三章扭转转28式中Wp称为扭转截面系数数，其单位为m3。横截面周边上上各点处(r=r)的最大切应力力为第三章扭转转29实心圆截面：：圆截面的极惯惯性矩Ip和扭转截面系系数Wp第三章扭转转30思考：对于空心圆截面，,其原因是什么？空心圆截面：：第三章扭转转31以横截截面、、径向向截面面以及及与表表面平平行的的面(切向截截面)从受扭扭的薄薄壁圆圆筒或或等直直圆杆杆内任任一点点处截截取一一微小小的正正六面面体——单元体体。可得：：Ⅱ.单元体体·切应力力互等等定理理由单元元体的的平衡衡条件件∑Fx=0和∑Mz=0知单元元体的的上、、下两两个平平面(即杆的的径向向截面面上)必有大大小相相等、、指向向相反反的一一对力力t'dxdz并组成成其矩矩为(t'dxdz)dy力偶。。第三章章扭扭转由32即单元元体的的两个个相互互垂直直的面面上，，与该该两个个面的的交线线垂直直的切切应力力t和t数值相相等，，且均均指向向(或背离离)该两个个面的的交线线——切应力力互等等定理理。第三章章扭扭转33思考：：对于图图示单单元体体，切切应力力t,t,t,t是否互等？？第三章章扭扭转34现分析析单元体体内垂垂直于于前、、后两两平面面的任任一斜斜截面面ef(如图)上的应应力。。Ⅲ.斜截面面上的的应力力第三章章扭扭转35分离体体上作作用力力的平平衡方方程为为利用t=t'，经整理理得第三章章扭扭转36由此可可知：：(1)单元体体的四四个侧侧面(a=0°和a=90°)上切应应力的的绝对对值最最大；；(2)a=-45°°和a=+45°°截面上切应应力为为零，，而正正应力力的绝绝对值值最大大；，如图所示。第三章章扭扭转37至于上上图所所示单单元体体内不不垂直直于前前、后后两平平面的的任意意斜截截面上上的应应力，，经类类似上上面所所作的的分析析可知知，也也只与与单元元体四四个侧侧面上上的切切应力力相关关。因因此这这种应应力状状态称称为纯剪切切应力力状态态。第三章章扭扭转38低碳钢钢扭转转试验验开始始第三章章扭扭转低碳钢钢扭转转试验验结束束39低碳钢钢扭转转破坏坏断口口第三章章扭扭转40铸铁扭扭转破破坏试试验过过程第三章章扭扭转41铸铁扭扭转破破坏断断口第三章章扭扭转42思考：：低碳钢钢和铸铸铁的的圆截截面试试件其其扭转转破坏坏的断断口分分别如如图a及图b所示，，试问问为什什么它它们的的断口口形式式不同同？第三章章扭扭转43例题3-2实心圆圆截面面轴Ⅰ(图a)和空心心圆截截面轴轴Ⅱ(图b)（））除横截截面不不同外外，其其它均均相同同。试试求两两种圆圆轴在在横截截面上上最大大切应应力相相等的的情况况下，，D2与d1之比以以及两两轴的的重量量比。。第三章章扭扭转44解：第三章章扭扭转由t1,max=t2,max，并将a＝0.8代入得45两轴的的重量量比即即为其其横截截面面面积之之比：：空心圆圆轴的的自重重比实实心圆圆轴轻轻。实实际应应用中中，尚尚需考考虑加加工等等因素素。第三章章扭扭转46Ⅳ.强度条条件此处[t]为材料料的许许用切切应力力。对对于等等直圆圆轴亦亦即铸铁等等脆性性材料料制成成的等等直圆圆杆扭扭转时时虽沿沿斜截截面因因拉伸伸而发发生脆脆性断断裂，，但因因斜截截面上上的拉拉应力力与横横截面面上的的切应应力有有固定定关系系，故故仍可可以切切应力力和许许用切切应力力来表表达强强度条条件。。第三章章扭扭转47例题3-4图示阶阶梯状状圆轴轴，AB段直径径d1=120mm，BC段直径径d2=100mm。扭转力力偶矩矩MA=22kN·m，MB=36kN··m，MC=14kN··m，材料的的许用用切应应力[t]=80MPa。试校核核该轴轴的强强度。。第三章章扭扭转48BC段内AB段内解：1.绘扭矩矩图2.求每段段轴的的横截截面上上的最最大切切应力力第三章章扭扭转493.校核强强度需要指指出的的是，，阶梯梯状圆圆轴在在两段段的连连接处处仍有有应力力集中中现象象，在在以上上计算算中对对此并并未考考核。。t2,max>t1,max，但有t2,max<[t]=80MPa，故该轴轴满足足强度度条件件。第三章章扭扭转50§3-5等直圆圆杆扭扭转时时的变变形·刚度条条件Ⅰ.扭转时时的变变形等直圆圆杆的的扭转转变形形可用用两个个横截截面的的相对扭扭转角角(相对角角位移移)j来度量量。第三章章扭扭转MeADBCMejg51当等直直圆杆杆相距距l的两横横截面面之间间，扭扭矩T及材料料的切切变模模量G为常量量时有有由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为可知，杆的相距l的两横截面之间的相对扭转角j为第三章章扭扭转52解：1.各段轴轴的横横截面面上的的扭矩矩：例题3-5图示钢钢制实实心圆圆截面面轴，，已知知：M1=1592N·m，M2=955N·m，M3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，钢的切切变模模量G=80GPa。试求横横截面面C相对于于B的扭转转角jCB(这里相相对扭扭转角角的下下角标标的注注法与与书上上不同同，以以下亦亦如此此)。第三章扭扭转533.横截面C相对于B的扭转角：：2.各段轴的两两个端面间间的相对扭扭转角：第三章扭扭转54Ⅱ.刚度条件式中的许可可单位长度度扭转角[j']的常用单位位是(°)/m。此时，等直直圆杆在扭扭转时的刚刚度条件表表示为：对于精密机机器的轴[j']≈0.15~0.30(°)/m；对于一般般的传动动轴[j']≈2(°)/m。第三章扭扭转55解:1.按强度条条件求所所需外直直径D例题3-6由45号钢制成的的某空心心圆截面面轴，内内、外直直径之比比a=0.5。已知材料料的许用用切应力力[t]=40MPa，切变模量量G=80GPa。轴的横截截面上扭扭矩的最最大者为为Tmax=9.56kN·m，轴的许可可单位长长度扭转转角[j']=0.3(°)/m。试选择轴轴的直径径。第三章扭扭转562.按刚度条条件求所所需外直直径D3.空心圆截截面轴所所需外直直径为D≥125.5mm(由刚度条条件控制制)，内直径径则根据据a=d/D=0.5知第三章扭扭转57思考：从图a所示受扭扭圆杆中中取出的的分离体体如图b所示。根根据横截截面上切切应力沿沿直径CD的分布规规律，由由切应力力互等定定理可知知径向截截面ABCD上沿圆轴轴的半径径方向亦亦有如图图所示分分布的切切应力。。试问此此径向截截面上切切应力所所构成的的合力偶偶矩是与与什么力力偶矩平平衡的？？第三章扭扭转58§3-6等直圆杆杆扭转时时的应变变能纯剪切应力力状态下下的应变变能密度度第三章扭扭转对处于纯纯剪切应应力状态态的单元元体(图a)，为计算其其上的外外力所作作功dW可使左侧侧面不动动，此时时的切应应力t仅发生在在竖直平平面内而而只有右右侧面上上的外力力tdydz在相应的的位移gdx上作功。。59于是，当当材料在在线弹性性范围内内工作时时(t≤tp，见图b)，有第三章扭扭转60单元体内内蓄积的的应变能能dVε数值上等等于单元元体上外外力所作作功dW，即dVε=dW。单元体单单位体积积内的应应变能，，亦即纯纯剪切应应力状态态下的应应变能密密度为由剪切胡克克定律t=Gg，该应变变能密度度的表达达式可写写为第三章扭扭转61在扭矩T为常量时时，长度度为l的等直圆圆杆所蓄蓄积的应应变能为为等直圆杆杆在扭转转时积蓄蓄的应变变能由可知，亦有第三章扭扭转62当等直圆圆杆各段段横截面面上的扭扭矩不同同时，整整个杆内内蓄积的的应变能能为在线弹性性范围内内工作的的等直圆圆杆在扭扭矩T为常量，，其长度度为l范围内的的应变能能亦可如如下求得得：第三章扭扭转63例题3-7图示AB、CD为等直圆圆杆，其其扭转刚刚度均为为GIp，BC为刚性块块，D截面处作作用有外外力偶矩矩Me。试求：（1）杆系内内的应变变能；（（2）利用外外力偶矩矩所作功功在数值值上等于于杆系内内的应变变能求D截面的扭扭转角jD。第三章扭扭转ABCDMel/2l64T2=MeDMeT1=-MeBCDMe解:1.静力平衡衡求扭矩矩2.杆系应变变能其转向与与Me相同。ABCDMe3.求D截面的扭扭转角jD65例题3-8试推导密密圈圆柱柱螺旋弹弹簧(螺旋线升升角a<5°)受轴向压压力(拉力)F作用时，，簧杆横横截面上上应力和和弹簧缩缩短(伸长)变形的近近似计算算公式。。已知：：簧圈平平均半径径R，簧杆直径径d，弹簧的有有效圈数数n，簧杆材料料的切变变模量G。第三章扭扭转66解：1.求簧杆横横截面上上的内力力对于密圈圈螺旋弹弹簧，可可认为簧簧杆的横横截面就就在包含含外力F作用的弹弹簧轴线线所在纵纵向平面面内(如图)，于是有：：剪力FS=F扭矩T=FR第三章扭扭转672.求簧杆横横截面上上的应力力簧杆横截截面上与与剪力FS相应的切切应力通通常远小小于与扭扭矩T=FR相应的切切应力，，故在求求近似解解时将前前者略去去。又，，在通常常情况下下，簧圈圈直径D=2R与簧杆直直径d的比值D/d较大，故故在求簧簧杆横截截面上扭扭转切应应力时，，略去簧簧圈的曲曲率影响响。于是是有第三章扭扭转683.求弹簧的的缩短(伸长)变形当弹簧所所受外力力F不超过一一定限度度而簧杆杆横截面面上的最最大切应应力tmax不超过簧簧杆材料料的剪切切比例极极限tp时，变形形Δ与外力F成线性关关系(如图)。于是有外外力所作作功：第三章扭扭转69至于簧杆杆内的应应变能Vε，如近似认认为簧杆杆长度l=2pRn，且簧杆横横截面上上只有扭扭矩T=FR，则根据能量量守恒原原理W=Vε，即得密圈圈圆柱螺螺旋弹簧簧的缩短短(伸长)变形近似似计算公公式：如令，则有，式中k为弹簧的刚度系数(N/m)。第三章扭扭转70§3-7等直非圆圆杆自由由扭转时时的应力力和变形形Ⅰ.等直非圆圆形截面面杆扭转转时的变变形特点点横截面不不再保持持为平面面而发生生翘曲。。平面假假设不再再成立。。自由扭转转(纯扭转)——等直杆，，两端受受外力偶偶作用，，端面可可自由翘翘曲。由由于各横横截面的的翘曲程程度完全全相同，，横截面面上只有有切应力力而无正正应力。。第三章扭扭转71约束扭转转——非等直杆杆，或非非两端受受外力偶偶作用，，或端面面不能自自由翘曲曲。由于于各横截截面的翘翘曲程度度不同，，横截面面上除切切应力外外还有附附加的正正应力。。第三章扭扭转72Ⅱ.矩形截面面杆自由由扭转时时的弹性性力学解解一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆第三章扭扭转73(1)一般矩形形截面等等直杆横截面上的最大切应力在长边中点处：Wt——扭转截面系数，Wt=bb3，b为与m=h/b相关的因数(表3-1)。横截面上上短边中中点处的的切应力力：t=ntmaxn为与m=h/b相关的因因数(表3-1)。第三章扭扭转单位长度扭转角：It——相当极惯性矩，,a为与m=h/b相关的因数(表3-1)。74表3-1矩形截面杆在在自由扭转时时的因数a，b和n第三章扭转转m=h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0a

bn0.1400.2081.0000.1990.263__0.2940.3460.8580.4570.4930.7960.6220.645__0.7900.8010.7531.1231.1500.7451.7891.7890.7432.4562.4560.7433.1233.1230.74375(2)狭长矩形截面面等直杆第三章扭转转76思考：如图中所示，，矩形截面杆杆在扭转时其其横截面上边边缘处的切应应力总是与周周边相切，而而横截面顶点点处的切应力力总是等于零零。为什么？？第三章扭转转一般矩形截面等直杆狭长矩形截面等直杆77*§3-8开口和闭口薄薄壁截面杆自自由扭转时的的应力和变形形Ⅰ.开口薄壁截面面杆(例如角钢、工工字钢和槽钢钢)第三章扭转转782.不考虑横截面面相邻组成部部分(矩形)在连接处的复复杂应力变化化情况，认为为横截面每一一矩形部分的的切应力分布布仍与狭长矩矩形截面等直直杆横截面上上相同，即第三章扭转转近似假设：

1.认为横截面由若干矩形组成，杆的各组成部分的单位长度扭转角相同，且就是杆的单位长度扭转角j'，即79(1)应力及变形的的计算公式由假设(1)有将上式中的前前n项的分子分母母各自相加后后有式中，T为杆的整个横横截面上的扭扭矩，It为整个横截面面的相当极惯惯性矩。第三章扭转转80根据假设2并注意到可知杆的每一组成部分横截面上位于长边中点处的最大切应力为(2)各组成部分横横截面上的最最大切应力tmax而整个杆的横横截面上的最最大切应力tmax在厚度最大(dmax)的那个矩形的的长边中点处处：第三章扭转转81(3)杆的单位长度度扭转角根据实验结果果有：角钢截面h=1.00,槽钢截面h=1.12,T形钢截面h=1.15，工字钢截面h=1.20。式中，。对于型钢，由于其横截面的翼缘部分是变厚度的，且横截面边缘处以及内部连接处有圆角，增加了杆的刚度，故在计算扭转角时应采用乘以修正因数h后的相当极惯性矩It：第三章扭转转82例题3-9钢制有纵向切切缝的开口环环形薄壁截面面杆，如图所所示。已知：：作用于杆两两端的扭转力力偶矩为Me=30N·m，平均直径d0=40mm，壁厚d=2mm；钢的切变模量量G=80GPa。试计算：(1)该开口环形截截面杆横截面面上的最大切切应力和杆的的单位长度扭扭转角；(2)若该杆无纵向向切缝，求横横截面上的最最大切应力和和杆的单位长长度扭转角。。第三章扭转转83解：1.有纵向切缝的的杆(开口薄壁截面面杆)计算中可将开开口环形薄壁壁截面展开为为狭长矩形截截面来处理。。第三章扭转转84横截面上切应力力沿厚度的变变化规律及指指向如图。第三章扭转