策略随机存贮模型

(s,S)策略随机存贮模型在国民经济各个部门和生产过程的各个环节中都有大量的库存现象。在工厂中为了使得生产过程能连续地、均衡地进行下去，并保证按时交货，必须贮备一定数量的原料、辅助材料、燃料、劳动工具等，必须储备一定数量的在制品,半成品，也必须储备一定的成品。商业部门为了保证满足社会需要,也要贮存一定数量的商品。在商店里若存贮商品数量不足就可能发生缺货现象，从而失去销售机会，导致利润减少；如果存贮数量过多,一时售不出去,会造成商品积压,占用流动资金过多而使流动资金周转不开，这样也会给国家造成经济损失。银行里每天随时都可能有人来提取现款。人们来不来提款提多少款,虽有一定规律，但都不是确定的，因此，银行也应保持一定数量的现金。诸如此类还有如水电站雨季到来之前，水库应蓄水多少?等等。当前我国物资管理中存在不少问题，其中最突出的就是库存储备过大,占用资金过多，资金利用和周转率不高，根据发达国家的经验,随着市场竞争的加剧，在原材料、设备和劳动力成本压缩的空间趋于饱和后，对成本的控制将转为物流领域。而在物流领域中,库存管理占有很重要的地位。因此，我们有必要对库存问题进行研究。本论文利用概率论和运筹学知识来研究需求是连续型随机存贮问题，因为随机存贮问题在现实生活中比确定型存贮问题更为普遍。本论文先讨论如何得到这些概率分布的统计方法，再利用所获得的概率分布来讨论随机存贮问题。1数理统计在概率论的许多问题中，概率分布通常总是已知的，或者假设为已知，而一切计算与推理就是在这已知的基础上得出来的。但在实际中，情况往往并非如此。一个随机现象所服从的分布是什么概型可能不知道，或者由于现象的某些事实而知道其概型，但不知其分布函数中所含的参数。如我们考察某工厂生产的电灯泡的质量，在正常生产的情况下,电灯泡的质量是具有统计规律性的，它可以表现为电灯泡的平均寿命是一定的，电灯泡的寿命这个用来检查产品质量的指标，由于生产过程中的种种随机因素的影响，各个电灯泡的寿命是不相同的，由于测定电灯泡是一一进行测试而只能从整批电灯泡中取出一小部分来测试，然后根据所得到的这一部分电灯泡的寿命的数据来推断整批电灯泡的平均寿命。在实际生活中我们经常会遇到如何以试验所得的部分数据来合理地推断整体的分布函数。这正是数理统计学所要研究的内容。而利用样本来对总体的概率分布进行估计，一般要求样本容量比较大，在实际工作中这个要求往往达不到。其实,在处理许多实际问题时总体的分布类型是已知的，即总体的分布函数的数学形式为已知，而未知的仅仅是其中的一个或几个参数。如由中心极限定理可知,正常情况下的学生成绩分布一般是服从正态N(“o2)分布，在这个分布中未知的是^和。这两个参数。因此，要估计N(“o2),只要估计^和。就行了。同样运筹学当中的贮存论的需求函数也是可以利用点参数估计来确定其未知函数，这是因为工作者在积累以往的经验可以容易知道该需求函数服从什么样的分布,而其参数未知，如知道需求函数服从NSq2)，只要估计参数^和。就可以了。2参数的点估计已知总体的分布类型，根据样本资料对总体分布中的未知参数做出估计,就是参数估计。参数估计是数理统计中一个很重要的内容，它包括参数的点估计和区间估计，在这里我们只讨论参数的点估计。假定总体Z的分布函数为F(x；e),其中e为未知参数。怎样利用总体样本(g1R「・Un)来对参数e进行估计呢?我们先来看一个例子。设gsN("1),其中^为未知参数,由辛钦大数定律可知，当n充分大时，样本均值z依概率收敛于队所以可用作为未知参数^的估计。由此可见，所谓参数的点估计，就是先构造一个用来估计未知参数e的统计量g(£1,23n),称g(£1,23n)为e的估计量,然后依样本资料计算出统计量的样本值g(x1,x2，…,xn),以此样本值作为未知参数e的估计值。在参数的点估计中，通常将e的估计量g(Z1R,・3n)记为e(£1R,・3n域e。若总体z的分布函数F(x；ei,e2,…,ei)中含有i个未知参数ei,e2,…,ei,则参数ei,e2,…,ei的点估计问题，就是构造i个统计量分别作为ei,e2,…,ei的估计量。下面我们介绍求估计量的两种常用方法:矩估计法和极大似然估计法。矩估计法：由辛钦大数定律可知若总体Z具有k阶矩mk=E(Zk),则，更一般的也有。这就启发我们想到,在使用样本所提供的信息来对总体Z布函数中未知参数e作估计时，可以先用样本矩作为总体矩的估计,然后再依此确定未知参数的估计。这种估计方法就是矩估计法,所求得参数的估量称为参数的矩估计量。矩估计法的思想实质是采用样本矩代替总体矩的原则,称之替换原则。由于这种方法简单,运算也不复杂，而且具有一定的优良性质。因此在实际问题中得到广泛使用。矩估计法的基本思想如下：设总体gsF(xi；ei,e2,…,ei),其中ei,e2,…,ei为i个未知参数。假设总体z的k阶矩E(£k)(iWkWi)存在，则E(zk)=mk(ei,e2,…,ei)一般依赖于参数ei,e2,・・・,ei,这时我们就可以取样本的k阶矩作为总体k阶矩mk(ei,e2,-,ei)的估计量,即令：也就是得到含i个未知参数ei,e2,…,ei的i个方程式。解这个联立方程组就可以得到ei,e2,・・・,ei的一组解：这组解即为ei,e2,…,ei的矩阵估计量。极大似然估计法：极大似然估计法是建立在极大似然原理上的一种统计方法。由于极大似然法在理论上具有很多优良性质，因此是参数点估计中最重要的方法之一。极大似然原理的直观想法之一是:设一个随机试验有苦干个可能结果,若在一次试验中某结果出现了，则一般认为试验条件对A出现最有利,即认为A出现的概率最大。按此想法两者利用总体£的分布函数及样本提供的信息找出总体未知参数的估计量。我们给出极大似然估计法的概念如下：设总体£的密度函数为f(x；ei,e2,…,ei),其中ei,e2,…,ei为未知参数,(£i,£2,・・・,£n)为取自£的样本,则样本的密度函数为(i)当(xi,x2，…,xn)确定后，式(i)中变化的量是(ei,e2,…,ei),因此我们可简记L(ei,e2,…,ei)。设总体£的密度函数为L(ei,e2,-,ei),并称之为ei,e2,・・・,ei的似然函数(它与样本的密度函数形式上一样,只是变量理解上有所差别)。在ei,e2,-,ei的取值范围内若能确定出ei,e2,…,ei的估计值ei(x1,x2，…,xn),e2(x1,x2，…,xn"・,ei(x1,x2，…,xn)使得下式成立：则估计量ei(x1,x2，…,xn),e2(x1,x2，…,xn"・,ei(x1,x2，…,xn)所对应的估计量e1(E1R,・3n),e2(g侦2,・・Un"・・ei(g侦2,・・<n)分别称为e1,e2,…,ei的极大似然估计量。在似然函数中若将(x1,x2，…,xn)替换为G侦2,・・<n),则由上式求出的结果直接为e1,e2,…,ei的极大似然估计量。我们知道，。由于inx是x的单调上升函数，因而inL与L有相同的极大值点,ej(j=1,2,・・・,i)为极大似然估计量的必要条件为：即方程组(2)的唯一解。e1(g侦2广&泪2(£侦2广&),・的优侦2,・・孙)就是e1,e2,…,ei的极大似然方程组。若总体g是离散随机变量,分布列为P(g=xi)=p(x；e1,e2,…,ei)(i=1,2,・・・,i),则似然函数为：。由似然方程组⑵同样可解得e1,e2,・・・,ei的极大似然估计量。可见，极大似然估计法本质上就是根据使样本观察值出现的可能性达到最大这一原则来选取参数e1,e2,・・・,ei的估计量e1,e2,…,ei的。其理论依据就是极大似然原理:“概率最大的事件可能出现。”在我们懂得利用参数点估计法来确定需求函数，当然也有其它的方法如参数的区间估计等，我们就可以来认真讨论存贮论中需求为随机连续型的问题。3存贮论一些基本概念3.1需求存贮物的需求就是它的输出。输出可以是间断的，也可以是均匀连续的，如图(1)图(a)和图(b)分别表示t时间内的输出量皆为s-w,但两者的输出方式不同。图(a)表示输出是间断的，图(b)表示输出是连续的。有的需求是确定性的，如工厂每月向国家提出的计划用煤吨数、原材料吨数;有的需求是随机性的，如每天顾客到商店购买洗衣粉的袋数,也许前天是20袋,昨天是35袋，而今天是30袋等;如果我们掌握了大量统计数据,那么就可以找到满足顾客需求量的一定的统计规律，称为有一定的随机分布的需求。3.2补充(订货或生产)存贮物由于外界的需求而不断地减少，必须及时补充,否则就要空乏，补充相当于存贮物的输入，它可以通过向其它单位订货或自己生产来实现。存贮物的补充亦称为存量管制，它是物料管理的中心,其基本要求是以最少的存贮物为提供最经济、最有效的服务。在确定存贮物的补充量时,应着重研究两个问题，何时补充与补充多少。决定多少时间补充一次以及每次补充数量的策略称为存贮策略。一般地说，存贮量因需而减少，因补充而增加。3.3费用存贮策略的优劣如何衡量呢？最直接的衡量标准是计算该策略所耗用的平均费用多少，为此有必要对费用进行详细的分析。3.3.1存贮费:包括货物占用资金应付的利息以及使用仓库、保管货物、货物损坏变质等支出的费用。3.3.2订货费:包括两项费用，一项是订购费用（固定费用）如手续费、电信往来、派人员外出采购等费用。订购费与订货次数有关而与订货数量无关。另一项是货物的成本费用，它与订货数量有关（可变费用），如货物本身的价格，运费等。如货物单价为K元,订购费用为C3元，订货数量为Q,则订货费用为:C3+KQ。3.3.3生产费:补充存贮时，如果不需向外厂订货,由本厂自行生产，这是仍需要支出支出两项费用。一项是装配费用（或称准备、结束费用,是固定费用），如更换模、夹具需要工时，或添置某些专用设备等属于这项费用。另一项是与生产产品的数量有关的费用如材料费、加工费等（可变费用）。3.3.4缺货费:当存贮供不应求时所引起的损失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失、以及不能履行合同而缴纳罚款等。4随机性存贮问题随机性存贮模型的主要特点是需求为随机的，其概率或分布假设为已知的。4.1问题的提出：设货物单位成本为K,单位存贮费为C1,单位缺货费为C2,每次订购费为C3,需求r且连续的随机变量，密度函数为侦r）,其分布函数为，期初存贮为I,定货量为Q,此时期存贮达到S=I+Q,问如何定Q的值，使赢利的期望值最大？4.2问题的分析：费用期望值=费用其相应的概率，构造出总费用的期望值函数:总费用期望值=存储费用期望值+缺货费用期望值+订货费x1+成本费x1,并利用数学分析知识求出S和S。4.3问题的求解：期初存储为I,在本阶段中为常量，订货量为Q,则期初存储达到S=I+Q。本阶段需订货费C3+KQ。本阶段需付存储费用的期望值（为了计算方便，这里假设需求量集中在阶段初进行的，以后我们将考虑修改它）即需付缺货费用的期望值为本阶段所需订货费成本费及存贮费、缺货费期望值之和：Q可以连续取值,C(S)是S的连续函数。为了求得赢利的期望值最大，对C(S)进行求导，有：令，有：推出:。右式各个参数为已知，但严格小于1,即也严格小于1,称为临界值以N表示:，由求出S的值，此时订货量Q=S-I。现求解小s:原理:本模型中有订购费C3,如果本阶段不订货可以节省订购费用C3,因此我们设想是否存在一个数值s(sWS)，使下面不等式:当s=S时，不等式显然成立；当s<s时,不等式右端存贮费用期望值大于左端存贮费用期望值,右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值;一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的,如有不只一个s的值使不等式成立,则选其中最小者作为本模型(s,s)存储策略的小s,即有:<p></s时,不等式右端存贮费用期望值大于左端存贮费用期望值,右端缺货费用期望值小于左端缺货费用期望值;一增一减后仍然使不等式成立的可能性是存在的,如有不只一个s的值使不等式成立,则选其中最小者作为本模型(s,s)>(*)我们只取等号求得之小s,(sWS)。相应的存储策略是:每阶段初期检查存储，当库存I<s时，需订货的数量为q,q=s-i,当库存iNs时本阶段不订货,这种存储策略是:定期订货但订货量不确定。订货数量的多少视期末库存i来决定订货量q,q=s-i。对于不易清点数量的存储，人们常把存储分为两堆存放,一堆为s,其余的另放一堆，平时从另放的一堆中取用，当动用了数量为s的一堆时，期末即订货。如果未动用s的一堆时,期末即可不订货,俗称两堆法。></s时，需订货的数量为q,q=s-i,当库存iNs时本阶段不订货，这种存储策略是:定期订货但订货量不确定。订货数量的多少视期末库存i来决定订货量q,q=s-i。对于不易清点数量的存储，人们常把存储分为两堆存放,一堆为s,其余的另放一堆，平时从另放的一堆中取用，当动用了数量为s的一堆时，期末即订货。如果未动用s的一堆时，期末即可不订货，俗称两堆法。>4.4模型应用：某商店经销一种电子商品,为了减少与该产品有关的存储费用,商店请了一位运筹学工作者来咨询。这位工作者到商店后，收集了前几个月中销售的数据，经整理分析后,他认为这种电子产品的销售量服从在区间［75,100］内的均匀分布，即其他产品是外地生产的,通过铁路运来，每运一批的费用（运费、手续费、差旅费）为5000元。进货价格为4000元。存储一台电子产品的费用，主要是因资金冻结在产品上而失去的利息。如果商店把一台电子产品的钱以12%的年利投资出去,每年收进利息是0.12x4000=480元,即每月40元。此外还要支付仓库工人工资、费等20元。于是单位存储费60元。如果商店无这种电子产品卖给顾客，那么商店为了信誉就立即以较贵的价格向本市的其他商店进货，这时的进货价格为4300元。进入被研究的这具月和存货I为零台。这位运筹学工作者应提出怎样的咨询意见？解:经分析：订货费C3=5000元，货物单位成本为K=4000元