数学必修ⅳ北师大版25平面向量的数量积课件

1平面向量的数量积1平面向量的数量积2三年24考高考指数:★★★★1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题.2三年24考高考指数:★★★★31.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难点；2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.31.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量41.两个向量的夹角(1)夹角的定义

定义范围已知两个_______向量作∠AOB=θ叫作向量的夹角（如图）.向量夹角θ的范围是______________,当θ=__________时，两向量共线；当θ=____时，两向量垂直，记作（规定零向量可与任一向量垂直）.0°或180°90°0°≤θ≤180°非零AOB41.两个向量的夹角定义范围已知两个_____5(2)射影的定义设θ是a与b的夹角，则_________叫作b在a方向上的射影._________叫作a在b方向上的射影.射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当____________时，它是正值;当______________时，它是负值;当________时，它是0.|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<90°90°<θ≤180°θ=90°5(2)射影的定义|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<906【即时应用】(1)思考：在△ABC中，向量与的夹角为∠ABC，是否正确？提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量与的夹角为π-∠ABC.(2)若|a|=5，向量a与b的夹角θ=60°，则向量a在b方向上的射影为______.【解析】a在b方向上的射影为|a|cosθ=5cos60°=答案：6【即时应用】72.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作_______.(2)数量积的几何意义a与b的数量积等于____________________________________的乘积，或____________________________________的乘积.|a||b|cosθa·ba的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθb的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ72.平面向量的数量积|a||b|cosθa·ba的长度|a8【即时应用】(1)已知正三角形ABC的边长为1，则(2)已知|a|=1，|b|=2，a·b=1，则向量a，b的夹角θ=______.【解析】又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案：8【即时应用】93.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.结论几何表示坐标表示模数量积夹角x1x2+y1y2=093.平面向量数量积的性质及其坐标表示结论几何表示坐标表示模10【即时应用】(1)思考：若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角一定为钝角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①|a|+|b|=()②若θ为向量a、b的夹角，则cosθ=()③若a⊥(a+λb),则λ=1()④(a+b)·(4a+b)=18()10【即时应用】11【解析】故①真.②真.③∵a+λb=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，∴λ=1,③真.④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.答案：①真②真③真④真11【解析】124.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b=b·a;(2)数乘结合律：(λa)·b=_________=_________;(3)分配律：a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c124.平面向量数量积的运算律λ(a·b)a·(λb)a·b13【即时应用】(1)思考：(a·b)c与a(b·c)相等吗？提示：不一定相等，∵a·b,b·c均为实数，∴(a·b)c∥c，a(b·c)∥a,所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等.13【即时应用】14(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为__________.【解析】设a,b的夹角为θ，∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0，0°≤θ≤180°，∴cosθ=∴θ=120°.答案：120°

14(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·15平面向量数量积的运算【方法点睛】1.平面向量的数量积问题类型及求法(1)已知向量a、b的模及夹角θ，利用公式a·b=|a||b|cosθ求解；(2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.15平面向量数量积的运算162.利用数量积求解长度问题的方法162.利用数量积求解长度问题的方法17【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足|a|=|b|=1,a·b=则|a+2b|=()(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设则(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a⊥(2a-b),则(a+b)·(a-b)=______.17【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足18【解题指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a+2b)求解；(2)用基向量表示向量(3)借助a·(2a-b)=0求k，进而求(a+b)·(a-b).18【解题指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a19【规范解答】(1)选B.∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12+4×()+4×12=3，∴|a+2b|=(2)由题意画出图形如图所示，取基底结合图形可得答案：19【规范解答】(1)选B.∵|a+2b|2=a2+4a·b20(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，由a⊥(2a-b)得a·(2a-b)=10+(2-k)=0,∴k=12,∴b=(-1,12),∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=(22+12)-［(-1)2+122］=-140.答案：-14020(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k21【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、AC的中点”，又该如何求【解析】∵D、E分别为BC、AC的中点，21【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC22【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.22【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据23【变式备选】在□ABCD中，AC为一条对角线，若则=______.【解析】答案：823【变式备选】在□ABCD中，AC为一条对角线，若24平面向量的垂直问题【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用(1)若a,b为非零向量，则a⊥b⇔a·b=0；若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.24平面向量的垂直问题25【例2】已知若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用列出方程组，求出b.25【例2】已知若△AOB是以26【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则=a-b由题意可知,从而有：26【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则=a27方法二：设向量b=(x,y)，依题意，则(a-b)·(a+b)=0，|a-b|=|a+b|，所以|a|=|b|=1,a·b=0.所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，27方法二：设向量b=(x,y)，依题意，28【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.28【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足29【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足求t的值.29【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－30【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4)，所以故所求的两条对角线的长分别为30【解析】(1)由题设知=(3,5),31(2)由题设知：=(－2,－1)，

-t=(3+2t,5+t).由(-t)⊥得(-t)·=0，即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以31(2)由题设知：=(－2,－1)，32利用数量积解决夹角问题【方法点睛】利用数量积求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系.(2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则32利用数量积解决夹角问题33【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°<θ≤180°)，即a·b>0(<0)是θ为锐角(钝角)的必要而不充分条件.33【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()(2)(2011·浙江高考)若平面向量满足||=1,||≤1，且以向量为邻边的平行四边形的面积为则与的夹角θ的取值范围是______.34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2)35【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角.(2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹角θ的范围.35【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角36【规范解答】(1)选C.∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，∴(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,|2a+b|=|a-b|=3,设夹角为θ,(2)由S=||·||sinθ=||sinθ=可得，答案：36【规范解答】(1)选C.∵2a+b=2(1,2)+(1,37【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k≠-1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)，∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角，∴(2a+b)·(a-b)>0，即(2k-1)(k+1)>0,∴k<-1或当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)×0=0,∴k=-1,又k≠-1,∴2a+b与a-b不共线，故k的取值范围为：k<-1或37【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k38【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ，要注意θ∈［0,π］.38【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，39【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点，(1)求sin2θ的值.(2)若且θ∈(-π,0),求与的夹角.39【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ40【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)=(cosθ-2,sinθ),=(cosθ，sinθ)-(0，2)=(cosθ，sinθ-2)，

·=cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=40【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)41(2)∵=(2,0),=(cosθ,sinθ)，∴+=(2+cosθ,sinθ)，∴|+|=即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7,∴4cosθ=2即∵-π<θ<0,又设α为与的夹角，41(2)∵=(2,0),=(cosθ,sin42【满分指导】平面向量主观题的规范解答【典例】(12分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理.【解题指南】利用向量数量积证明，由把展开利用代入，即可证明.42【满分指导】平面向量主观题的规范解答43【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.……………4分证明：如图，43【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边44

……………8分=b2-2bccosA+c2，即a2=b2+c2-2bccosA，………10分同理可证b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.……………12分4445【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)余弦定理用文字语言叙述不完整、不规范，用符号语言表述时三个只写一个.(2)用证明时计算失误.

45【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得46备考建议解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注：(1)公式记错;(2)对向量的夹角理解错误;(3)混淆向量平行与垂直的充要条件.另外熟练掌握数量积问题的常见求法，才能快速正确解决平面向量的数量积问题.46备解决平面向量数量积问题时，还有以下几点容易造成失分,在471.(2011·重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线，那么a·b的值为()(A)1

(B)2

(C)3

(D)4【解析】选D.a+b=(3,2+k),因为a+b与a共线，所以2+k-3k=0,解得k=1,所以a·b=1×2+1×2=4.471.(2011·重庆高考)已知向量a=(1,k),b=(482.(2011·辽宁高考)若a,b,c均为单位向量，且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为()482.(2011·辽宁高考)若a,b,c均为单位向量，且a49【解析】选B.由(a-c)·(b-c)≤0,得a·b-a·c-b·c+c2≤0,又a·b=0且a,b,c均为单位向量，得-a·c-b·c≤-1,|a+b-c|2=(a+b-c)2=a2+b2+c2+2(a·b-a·c-b·c)=3+2(-a·c-b·c)≤3-2=1,故|a+b-c|的最大值为1.49【解析】选B.由(a-c)·(b-c)≤0,503.(2011·安徽高考)已知向量a、b满足(a+2b)·(a-b)=-6，且|a|=1，|b|=2，则a与b的夹角为______.【解析】设a与b的夹角为θ,(a+2b)·(a-b)＝-6，即12+a·b-2×22=-6，则a·b=1，所以所以θ=60°.答案：60°503.(2011·安徽高考)已知向量a、b满足(a+2b)514.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB=3,BD=1，则【解析】514.(2011·上海高考)在正三角形ABC中，D是BC上52答案：52答案：535.(2012·杭州模拟)已知向量|a|=3,b=(1,2)且a⊥b，则a的坐标是______.535.(2012·杭州模拟)已知向量|a|=3,b=(1,54【解析】设向量a=(x,y)，∴a的坐标是或答案：或54【解析】设向量a=(x,y)，5555565657平面向量的数量积1平面向量的数量积58三年24考高考指数:★★★★1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量方法解决简单的平面几何问题.2三年24考高考指数:★★★★591.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量积求平面向量的夹角、模及判断向量的垂直,是重点也是难点；2.题型以选择题和填空题为主，与三角函数、解析几何等知识点交汇则以解答题为主.31.平面向量数量积的运算是高考考查的重点，主要考查应用数量601.两个向量的夹角(1)夹角的定义

定义范围已知两个_______向量作∠AOB=θ叫作向量的夹角（如图）.向量夹角θ的范围是______________,当θ=__________时，两向量共线；当θ=____时，两向量垂直，记作（规定零向量可与任一向量垂直）.0°或180°90°0°≤θ≤180°非零AOB41.两个向量的夹角定义范围已知两个_____61(2)射影的定义设θ是a与b的夹角，则_________叫作b在a方向上的射影._________叫作a在b方向上的射影.射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量.当____________时，它是正值;当______________时，它是负值;当________时，它是0.|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<90°90°<θ≤180°θ=90°5(2)射影的定义|b|cosθ|a|cosθ0°≤θ<9062【即时应用】(1)思考：在△ABC中，向量与的夹角为∠ABC，是否正确？提示：不正确.求两向量的夹角时，两向量起点应相同.向量与的夹角为π-∠ABC.(2)若|a|=5，向量a与b的夹角θ=60°，则向量a在b方向上的射影为______.【解析】a在b方向上的射影为|a|cosθ=5cos60°=答案：6【即时应用】632.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把____________叫作a与b的数量积(或内积)，记作_______.(2)数量积的几何意义a与b的数量积等于____________________________________的乘积，或____________________________________的乘积.|a||b|cosθa·ba的长度|a|与b在a方向上射影|b|cosθb的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ72.平面向量的数量积|a||b|cosθa·ba的长度|a64【即时应用】(1)已知正三角形ABC的边长为1，则(2)已知|a|=1，|b|=2，a·b=1，则向量a，b的夹角θ=______.【解析】又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.答案：8【即时应用】653.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，θ为向量a,b的夹角.结论几何表示坐标表示模数量积夹角x1x2+y1y2=093.平面向量数量积的性质及其坐标表示结论几何表示坐标表示模66【即时应用】(1)思考：若a·b<0，是否说明向量a和b的夹角一定为钝角？提示：不一定，也可能是平角.(2)已知a=(1，-1)，b=(2,4),判断下列命题的真假.(请在括号内填“真”或“假”)①|a|+|b|=()②若θ为向量a、b的夹角，则cosθ=()③若a⊥(a+λb),则λ=1()④(a+b)·(4a+b)=18()10【即时应用】67【解析】故①真.②真.③∵a+λb=(1,-1)+λ(2,4)=(2λ+1,4λ-1)，∴a·(a+λb)=(2λ+1)-(4λ-1)=-2λ+2=0，∴λ=1,③真.④a+b=(3,3),4a+b=4(1,-1)+(2,4)=(6,0)，∴(a+b)·(4a+b)=3×6+3×0=18,④真.答案：①真②真③真④真11【解析】684.平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b=b·a;(2)数乘结合律：(λa)·b=_________=_________;(3)分配律：a·(b+c)=__________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c124.平面向量数量积的运算律λ(a·b)a·(λb)a·b69【即时应用】(1)思考：(a·b)c与a(b·c)相等吗？提示：不一定相等，∵a·b,b·c均为实数，∴(a·b)c∥c，a(b·c)∥a,所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等.13【即时应用】70(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为__________.【解析】设a,b的夹角为θ，∵(2a+b)·b=0，∴2a·b+b2=0，∴2|a||b|cosθ+|b|2=0,又∵|a|=|b|≠0，0°≤θ≤180°，∴cosθ=∴θ=120°.答案：120°

14(2)若非零向量a，b满足|a|=|b|，(2a+b)·71平面向量数量积的运算【方法点睛】1.平面向量的数量积问题类型及求法(1)已知向量a、b的模及夹角θ，利用公式a·b=|a||b|cosθ求解；(2)已知向量a、b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.15平面向量数量积的运算722.利用数量积求解长度问题的方法162.利用数量积求解长度问题的方法73【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足|a|=|b|=1,a·b=则|a+2b|=()(2)(2011·湖南高考)在边长为1的正三角形ABC中，设则(3)(2011·辽宁高考改编)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a⊥(2a-b),则(a+b)·(a-b)=______.17【例1】(1)(2011·大纲版全国卷)设向量a，b满足74【解题指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a+2b)求解；(2)用基向量表示向量(3)借助a·(2a-b)=0求k，进而求(a+b)·(a-b).18【解题指南】(1)借助|a+2b|2=(a+2b)·(a75【规范解答】(1)选B.∵|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=12+4×()+4×12=3，∴|a+2b|=(2)由题意画出图形如图所示，取基底结合图形可得答案：19【规范解答】(1)选B.∵|a+2b|2=a2+4a·b76(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k)，由a⊥(2a-b)得a·(2a-b)=10+(2-k)=0,∴k=12,∴b=(-1,12),∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=(22+12)-［(-1)2+122］=-140.答案：-14020(3)2a-b=2(2,1)-(-1,k)=(5,2-k77【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC、AC的中点”，又该如何求【解析】∵D、E分别为BC、AC的中点，21【互动探究】若本例(2)题条件改为“若D、E分别为边BC78【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角；二是利用坐标来计算.对于第一种形式，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化.22【反思·感悟】平面向量的数量积的运算有两种形式：一是依据79【变式备选】在□ABCD中，AC为一条对角线，若则=______.【解析】答案：823【变式备选】在□ABCD中，AC为一条对角线，若80平面向量的垂直问题【方法点睛】两向量垂直的判断方法及应用(1)若a,b为非零向量，则a⊥b⇔a·b=0；若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径.【提醒】向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用来解决几何中的线线垂直问题.24平面向量的垂直问题81【例2】已知若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.【解题指南】设出向量b=(x,y)，利用列出方程组，求出b.25【例2】已知若△AOB是以82【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则=a-b由题意可知,从而有：26【规范解答】方法一：设向量b=(x,y),则=a83方法二：设向量b=(x,y)，依题意，则(a-b)·(a+b)=0，|a-b|=|a+b|，所以|a|=|b|=1,a·b=0.所以向量b是与向量a相互垂直的单位向量，27方法二：设向量b=(x,y)，依题意，84【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题.化形为数，从而使向量问题数字化.28【反思·感悟】坐标表示下的平行和垂直都可以转化为坐标满足85【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1).(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足求t的值.29【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1,－86【解析】(1)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4)，所以故所求的两条对角线的长分别为30【解析】(1)由题设知=(3,5),87(2)由题设知：=(－2,－1)，

-t=(3+2t,5+t).由(-t)⊥得(-t)·=0，即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以31(2)由题设知：=(－2,－1)，88利用数量积解决夹角问题【方法点睛】利用数量积求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系.(2)利用坐标公式，若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则32利用数量积解决夹角问题89【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°<θ≤180°)，即a·b>0(<0)是θ为锐角(钝角)的必要而不充分条件.33【提醒】a·b>0⇔0°≤θ<90°(a·b<0⇔90°90【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()(2)(2011·浙江高考)若平面向量满足||=1,||≤1，且以向量为邻边的平行四边形的面积为则与的夹角θ的取值范围是______.34【例3】(1)(2011·湖北高考)若向量a=(1,2)91【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角的坐标公式求夹角.(2)利用平行四边形的面积可得出sinθ的范围，进而求出夹角θ的范围.35【解题指南】(1)先求出2a+b、a-b的坐标，再用夹角92【规范解答】(1)选C.∵2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3)，a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3)，∴(2a+b)·(a-b)=3×0+3×3=9,|2a+b|=|a-b|=3,设夹角为θ,(2)由S=||·||sinθ=||sinθ=可得，答案：36【规范解答】(1)选C.∵2a+b=2(1,2)+(1,93【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k≠-1，且2a+b与a-b的夹角为锐角，则如何求实数k的取值范围？【解析】2a+b=(3,2k-1),a-b=(0,k+1)，∵k≠-1,∴2a+b、a-b均不是零向量，且夹角为锐角，∴(2a+b)·(a-b)>0，即(2k-1)(k+1)>0,∴k<-1或当2a+b与a-b共线时，3(k+1)-(2k-1)×0=0,∴k=-1,又k≠-1,∴2a+b与a-b不共线，故k的取值范围为：k<-1或37【互动探究】若将本例(1)题干中向量a改为(1，k)，k94【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，两向量的模之积或者它们之间的倍数关系，再求cosθ,进而求θ，要注意θ∈［0,π］.38【反思·感悟】求两个向量的夹角时，需求出两向量的数量积，95【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ，sinθ)，O为坐标原点，(1)求sin2θ的值.(2)若且θ∈(-π,0),求与的夹角.39【变式备选】已知A(2，0)，B(0，2)，C(cosθ96【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)=(cosθ-2,sinθ),=(cosθ，sinθ)-(0，2)=(cosθ，sinθ-2)，

·=cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)=cos2θ-2cosθ+sin2θ-2sinθ=1-2(sinθ+cosθ)=40【解析】(1)=(cosθ,sinθ)-(2，0)97(2)∵=(2,0),=(cosθ,sinθ)，∴+=(2+cosθ,sinθ)，∴|+|=即4+4cosθ+cos2θ+sin2θ=7,∴4cosθ=2即∵-π<θ<0,又设α为与的夹角，41(2)∵=(2,0),=(cosθ,sin98【满分指导】平面向量主观题的规范解答【典例】(12分)(2011·陕西高考)叙述并证明余弦定理.【解题指南】利用向量数量积证明，由把展开利用代入，即可证明.42【满分指导】平面向量主观题的规范解答99【规范解答】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两