信号处理-习题(答案)

第第4页共33页数字信号处理习题解答第二章数据采集技术基础2。1有一个理想采样系统，其采样角频率Ω=6π，采样后经理想s低通滤波器Ha1，H(j)2a 0，y1 2 1y有无失真？为什么？2分析:要想时域采样后能不失真地还原出原信号,则采样角频率Ω必sΩ2Ω≥2Ω。h s h解:Ω=6π，则由香农采样定理，可得s因为x(t）=cos2πt，而频谱中最高角频率1 h1y无失真；1

,所以2,而频谱中最高角频率

y2失真。

h2 2 22.2设模拟信号x(t)=3cos2000πt+5sin6000πt+10cos12000πt,求：该信号的最小采样频率；f=5000Hz，其采样后的输出信号；s分析:利用信号的采样定理及采样公式来求解.错误采样定理fs

不小于其最高频率f的两倍，即mf≥2fs m○，2采样公式x(n)x(t)

tnTs

x(nT)s（）在模拟信号中含有的频率成分是f=1000Hz，f=3000Hz,f=6000Hz1 2 3∴信号的最高频率f=6000Hzmf≥2f，得信号的最小采样频率f=2f=12kHzs m s m(2）由于采样频率f=5kHz,则采样后的输出信号snx(n)x(t)

tnTs

x(nTs

)xfsf 1

3

63cos2

5n5sin

5n10cos

5n 1 2

13cos2 5n5sin2 15n10cos2 15n 1

2

13cos2

5n5sin

5n10cos

5n 1

213cos2

5n5sin

5n 1kHz2kHz即11000f1，5 5000 fs

f 1kHz122000f2，5 5000 fs

f 2kHz2号y(t)tt13cos5sin1 2这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果.第三章傅里叶分析傅里叶变换概述3。1［3.2]分析:求解序列的频谱有两种方法：错误zX(ejX(z)为单位圆上的z变换；错误!直接求序列的傅里叶变换

，即X（ejω)zejX(ej)

n

x(n)ejn解:对序列)先进行z变换，再求频谱，得X(z)ZT[x(n)]ZT[(nm)]zmX(ejX(z)zeje若系统的单位采样响应h(n）=x(n）,则系统的频率响应H(ej)X(ej)ejm1ejmH(ej)exp{j()}故其幅频和相频响应（如)分别幅频响应 H(ej)1相频响应 ()m(()1ω(ω)ω由图可见,该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点.3。2设x（n）的傅里叶变换为X（ejω）,试利用X（ejω)表示下列序列的傅里叶变换:

(n)n)x(1n)（2）

1x(n)2

[x(n)x(n)]121分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解,即x(n)X(ej)，x(n)X(ej)x(mn)eX(ej)（）由于DTFT[x(n)]X(ej)，DTFT[x(n)]X(ej)，则DTFT[x(1n)]ejX(ej)故DTFT[x1

DTFT[x(1n)]ejX(ej)(n)]X(ej)[ejej]2X(ej)cos由于DTFT[x(nX(ej)故DTFT[x2

(n)]

X(ej)X(ej2

Re[X(ej)]3.3的傅里叶变换，不必求出X(ejω)，试完成下列计算：（1）X(ej0)（2））

X(ej)dX(ej)2d分析:利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。序列的傅里叶变换公式为：正变换 X(ej)

n

x(n)ejn

反变换 x(n)

1

X(ej)ejndn

x(n)2

2

X(ej)2d11（）由傅里叶正变换公式可知=，则X(ej0)

n

x(n)ej0n

n

x(n)6(2）由于n=0，故X(ej)

X(ej)ej0dx(n)

224

n0由帕塞瓦定理，得 X(ej)2d

n

x(n)2

28周期序列的离散傅里叶级数（DFS）3。4如图所示，序列x(n）是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。第5页共33页分析:利用DFS~ ~ N1

，其中k=0~(N—1）X(k)DFS[x(n)]

n0

x(n)WknN解：已知N=DFS~ 5

5~

j2nkX(k)

xkn6

x(n)e 6n0 n061412ej26

10ej2

8ej2

6ej24k

10ej25k6666对上式依次取k=0~5，计算求得6666~ ~ X(0)X9j3 ~ ~ XX(4)3j

X(2)3j 3~~X(5)9j3 3~~3.5设x(n)n0n4h(n)R

(nn令~ ，~

4，试求~ 与~

的周期卷积。x(n)x((n))6

h(n)h((n))6

x(n)

h(n)分析：可以利用列表法求解，直观方便.由于~ ~

N1~ ~y(nx(n错误(n

x(m)h(nm)m0h(nh(n

值和第一行中与之对应的x(m)值相乘，然后再将所有乘积结果相加,就得到此n的y(n)值解:．第6页共33页．在一个周期（N=6）内的计算卷积值~ ~

N1~ ~y(nx(n错误(n

x(m)h(nm)m0h则x(n)与~(nh

的周期卷积y(n)值=0～）如下表所示：离散傅里叶变换（DFT)36已知（｛（-))，5R))RR（n）和

6 6 3 3 6 55R(n)的略图。7 7分析：此题需注意周期延拓的数值，也就是N的数值。如NNN列按N解：各序列的略图如图所示.第7页共33页3.7试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式：（1）x(n)anRN

(n)（2）x(n)(nn0n N0 0x(n)nRN

(n)x(n)n2RN

(n)分析：利用有限长序列的DFT的定义,即X(k)

Nn0

x(n)WN

0kN1解:（1）因为x(n)anRN

(n),所以N1

N1 j2

1aNX(k)

n0

anWN

n0

ane

N 1

j2N（2)因为x(n)(nn0n N，所以0 0第8页共33页X(k)

Nn0

(nn0

)WknNWknN

nnN0N由x(n)nRN

(n，得

ej2n0kN1X(k)

n0

nWknN．N1N1

WkX(k)NN1

n0

nWk(n1)N则 X(kWk)N

n0

nWN

n0

nWk(n1)N[WkN2kN2kNNN

(Nk(NN(Nk(NN

(NkN]N(N

Nn1

WknNN(NWk1NN所以

1WkNX(k)

N1WkN．x(n)n2RN

(n

X(k)

Nn0

n2WknN根据第（3）小题的结论：若x1则

nRN

(n)第9页共33页与上题同理，得

X(k)N1nW1 Nn0

N1WkNX(kWk)N

n2WNNn0

Nn0

n2WkN

(n1)[WkN2kN2kNN3kNN1

(N1)2Wk(NN(N2)2Wk(NN

(N1)2WkN]N(N

(2nknNN(N2)2N1nWknNn1N(N2)2X1

(k)N(N2) 2N1WkN所以X(k)

N(NN

N

，0kN1Wk)2N3。8试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积.有限长序列左移为正整数）位的循环移位定义为x(n)x((nm)) R (n)m N N且移位时，在主值区间（n=0~N—1）内,当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。解：由循环卷积的定义，可知第10页共33页y(n)x(n错误x(n)[x((n))

错误!x

((n))]R(n)1 2 1

2 6 6[x1

((n))6

错误((n6

]R(n)63x1

((n3))6

R(n)6x331取其主值序列（n=0~5）即可,其结果如图所示。3.9如图所示的5点序列，试画出：）5）（3）x(n)错误!x(n）的点数分别为N和积的长度为长度L必须不小于线性卷积的长度L≥N+M—1否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。解：55+5—1=9第11页共33页错误!的前9就是*L果的L点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列可以是任意整数值、(（）所示。3。10已知两个有限长序列为n0n3x(n)4n60n4y(n)5n6试作图表示（（)以及（）（错误（。分析:直接利用循环卷积公式或图解法求解。解：其结果如图所示.第12页共33页311［3.10]NDFT（。现将它补零扩展成长度为rN点的有限长序列(x(n)，0nN1y(n)NnrN1试求rN)]与分析：DFTrN点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。解：由

NX(k)DFT[x(n)]N1x(n)ej2nk，0kN1N可得Y(k)DFT[y(n)]

Nn0

n0y(n)WrN

Nn0

nkrNN N1x(n)ejnN n0

X X r

l，l，N1r倍的周期为r，相当于在（）的每两个值之间插入1 数值（不一定为零),而当kr的整数lXk r3.12[习题3.12]频谱分析的模拟信号以8kHz被采样，计算了512第13页共33页第第17页共33页个采样点的DFT，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。分析:利用频域采样间隔F0

和时域采样频率fs

N的关系f=NF。s 0证：由f s，F 0s 0 得fssF 0 0其中Ωs

是以角频率为变量的频谱周期，Ω0

是频谱采样之间的频谱间隔。又fssNF 0 0则F fs0 Nf=8kHz，N=512sF所以8000F所以0512 15.625Hz3。13[习题3.20］设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数2分辨力≤10Hz0。1ms，试确定：所允许处理信号的最高频率；分析：Tff

和频域分辨s s 0力F的关系为T=1/F,采样定理为f≥2f为信号最高频率分量，0 0 0 s h h一个记录中最少的采样总数N满足TN 0T

2ffs hfT F F0 0解：（1）因为T=1/F,而F≤10Hz，所以0 0 01T s0 10即最小记录长度为0.1s。（2f

1 1 10310kHz，而f≥2fs T 0.1所以

1fh2

s hf 5kHzs即允许处理信号的最高频率为5kHz。0(3)NT0

0.1 103

1000T 0.1又因N2所以一个记录中的最少点数为=1=102。快速傅里叶变换（FFT）3.14如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs,每次复加0。5μs512时间,用FFT运算需要多少时间?分析：1直接利用DFT计算:复乘次数为N，复加次数为N；错误利用FFTNlog2 2

N，复加次数为Nlog N;2解：直接计算复乘所需时间T1

5106N2510651221.31072s复 加 所 需 时 间T 0.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816s2所以512用FFT512

TTT1

1.441536s复乘所需时间T1

5106N2N

log2

N5106 log2 2

5120.01152s复加所需时间T2

0.5106Nlog2

N0.5106512log2

5120.002304s所以TTT1 2

0.013824s3。15已知，（N点实序列（DFT值,用一个N点IFFT分析:我们来组成一个新的序列X（k）+jY(k)序列，则有IDFT[X(k)jY(k)]IDFT[X(k)]jIDFT(k)]x(n)jy(n)它的实部即为实序列x(n)，虚部即为实序列y(n)。解：依据题意，可知x(n)X(ky(n)Y(k)取序列Z(k)X(k)jY(k)对作NIFFT可得序列又根据DFTIDFT[X(k)jY(k)]IDFT[X(k)]jIDFT(k)]x(n)jy(n)再根据（)=）+j（，可得x(n)Re[z(n)]y(n)Im[z(n)]［3223-2（DIT）及按频率抽取法FFT（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序分析：错误DIT不同点：DITDIFDIF减法之后,DIT相同点：DIT与DIF的运算量是相同的；错误!DIF法与DIT法的关系：它们的基本蝶形是互为转置的。解：如图所示如图所示［课堂思考题］若x1

(n),x11211

(n)是因果稳定序列，求证：1 X

(ej)

(ej)d

X

j)d}{2

X

(ej)d}22证:y(n)x21

(n)x2

(n)则由时域卷积定理，得

Y(ej)X(ej)X(ej)1 2第18页共33页第第20页共33页即x(n)x1 2

(n)y(n)

1 Y(ej)ejnd 1 X 1

(ej)

(ej)ed2令上式的左右两边n=0，得1

X(ej)X1

(ej)dx2

(n)x2

(n)

n0

nk

x(k)x1

(nk)

n0x(0)x1 2

(0)又傅里叶反变换公式，得x(n) 11 则

X

(ej)ejnd，x2

(n) 1

(ej)ejnd2x(0) 11 1所以1

X

(ej)d，x2

(0) 12

(ej)d21 X

(ej)

(ej)d

X

j)d}{2

X

(ej)d}212[课堂思考题-2FFT入序列)采用倒位序，输出序列入序列的排列顺序，并简述理由。122FFTx0(8(4(12（10（14(、自然顺自然顺序二倒位序二进倒位序顺序n进制数制数序^(、（、（13（3（1自然顺自然顺序二倒位序二进倒位序顺序n进制数制数序^0000000000100011000820010010043001111001240100001025010110101060110011067011111101481000000119100110019101010010151110111101131211000011313110110111114111001117151111111115第五章时域分析5。1随机相位正弦波

x(t)xsin(t)0式中,xφ0~2π0作图。分析：利用自相关函数的定义求解，即R )lim1xx TT

Tx(t)x(t)dt0解:由自相关函数的定义式，得R)lim1Txt)xt)dtxx TT 0lim

1T/

x2))TT T/2 0令t1则dt1

d，且T2x2 故R)lim 0 sin2cossincossindxx T0x2cos20有关,而．余弦函数.其自相关函数图形如图所示。0x2/20

Rxx(τ)τ5。2两个随机相位正弦波x(t)A0y(t)B0

sin(t)sin(t)式中，A,Bφ0～2π内的取值概率相同，0 0第21页共33页即满足

)1，0试求其互相关函数并作图.分析：

， 其它利用互相关函数的定义求解,即R )limxy TT

Tx(t)y(t)dt0解：由互相关函数的定义式,得R )limxy TT

Txt)yt)dt0 12ABsint)sint)0 0 01AB2 0 0

cos()值出现在处。其互相关函数图形如图所示.Rxy(τ)/ω τ第六章数字滤波器设计第22页共33页第第33页共33页6。1已知模拟滤波器的模方函数H(j)2求模拟滤波器的传递函数。

20(42)2(92)(162)Ω｜2与其传递函数(间的关系式求解，即H(j)2

H(s)

s

H(s)H(s)

sj解：将sΩ，即2= s2代入（Ω）｜，得H(s)

H(s)H(s)

20(4s2)2 2 52(2 52(sj2)2(sj2)2

9)(s216) (s3)(s3)(s4)(s4)可见，系统有四个极点s

=±3，s1，2

3,

=±4和两对零点z

=±j2。1,22 5(sj2)(s2 5(sj2)(sj2)H(s)

(s3)(s4)6。2试设计一个巴特沃思(BW）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度105rad/s3dB4×105rad/s35。分析：按照§6.2中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现.1先确定滤波器的阶数N由于[公式1] (p

)10 p c

2N令

N10lg1c

(s

)10 s c

2N令

N10lg1c 则滤波器的阶数［公式2]Ng/［：N为正整数］lg p s且截止频率[公式3] 1/Nc p

或 1/Nc s错误!求解位于左半

S平面上的极点［公式4］sk c

j2kN1e2Ne

，k,2N错误!确定

N5]cH(s) N c

N c Nk

ssk

ss1

ss2

ssN解：错误!先确定滤波器的阶数N由题意可知，Ω=105rad/sα=3dBp pΩ4×105rad/sα=35dBs s则代入［公式1]，求得参数γ和λ p(p)10l1310lg2 13535s

(s

)10lg1

10lg1

56.2将参数γ、λ、Ωp

和Ω，则滤波器的阶数slg/Nlgp

2.9取N3s将参数、γ和Ω代入［公式，可得截止频率p 1/Nc p

105rad/sp错误!求解位于左半S平面上的极点将参数Ω和N代入［公式，得极点cs k c

j2kN1e2Neej(k/3，k3c即s c

ej2/3(1j 3) /2cs c

ejcs c

ej4/3(1j 3) /2c错误确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数将参数Ω和sc k

函数（式中Ω=105rad/s）cN 3 3H(s)

c c cNss

ss ss s

s3

s222s3kk1

1 2

c c c6。3试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc

=3rad/s。分析：本题利用模方函数求出其左半S平面极点,而求得系统函数。N阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为H(j)2在上式中代入jΩ=s,可得

1

1j c

2N1H(s)H(s)1j1c

2N而S的极点,因此H(s) k0Nk

ssk其中sk

ej2kNc

，k,N，k0

由H(s)

s0

1来确定。2k20 c解：对于二阶（N=2)巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为H(j)2令s，则有

1

1j c

2

1

1j j4c各极点满足

H(s)H(s)1j14c14s k c

j2kN1e2Ne

ej2k14c4

，k4则2sk

位于左半S平面，即为H(s）的极点s c

33 23 2ej4 j3 23 2ej2 2s c

je4e

j3 23 22 23 23 2由以上两个极点构成的系统函数为H(s)

ss 0s2s23 2s9kk代入条件H(s)

s0

1,可得k0

=9［注：k0

=Ω2],故二阶巴特沃斯低通c滤波器的系统函数s23 2ss23 2s96.4试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc

=2rad/s.分析:6.3S得系统函数。解：对于三阶（N=3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为1jj2c11jj2c1j j6c令s，则有各极点满足

H(s)H(s)1j16c16s k c

j2kN1e2Ne

2ej

，k,63不难得知，当k=1,2，3时，相应的极点s3k

均位于左半S平面。则滤波器的系统函数H（s）的极点3s2ej23313

1js 2ej23233s 2ej433

1j因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为3 8H(s)

c ss1

ss2

ss3

s34s2

8s86。5设模拟滤波器的系统函数为H(s)

sa(sa)2b2试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。IIR给定 取拉氏示 指标 确定AF的反变换传函H(s)

求解AF的单位采样 获得DF的单位冲Z变换获得DF冲激响应h(t) 令t=nT 激响应序列h(n) 传函H(z)解：将展开成部分分式，得H(s)

sa 1/2 1/2(sa)2b2 sajb sajb对取拉氏反变换，得1 1h(t)

e(ajb

e(ajb)t2 2对作周期为T的等间隔采样，得1 h(n)h(t)

t

e(ajb)nT2

e(ajb)nT对)取ZIIRH(z)n0

h(n)zn

1 1 2e(ajb)Tz

1 1e(ajb)Tz 1(eaTcosbT)z6。6设有一模拟滤波器

1(2eaTcosbT)ze2aTz2 H(s)1 s2s 采样周期，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数SZs解：将

21z1T1z则数字系统函数

sH(z)H(s)s

1z11zz1z111z2 1z 11z 1z1z123zfs

=1。2kHz，截止频率fc

=400Hz。分析：按照§6.3中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现。○，1利用关系式ω=TΩ将给定的模拟域频率指标转化为数字域频率指标错误!利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补．．模拟域频率指标 2tan T 23模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器（)［参见例6。2.4］错误利用双线性变换公式,将模拟滤波器器，即H(z)H(s)

2zsTz

（）解：此数字滤波器的截止频率 T1400 1 c c cfs

1200 3由预畸变补偿，得相应的模拟滤波器的截止频率32tanc2f tan2 f3c T 2 s 3 s由习题6。4可知，三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数H(s)ss1

3sscs2

ss3其中，滤波器的系统函数H（s)的极点j2

j4se1 c

3，s2

ej，sc 3

e3c故有H(s)

3cs32s222s3cc c c将双线性变换公式和c

2 3fs

代入，可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数H(z)H(s)

2zsTz

H(s)

s2

z1sz1

3(1z1)3cscscscscs3z)3z)32 z)2z)zz)23z)3

)3(1z1)32(2f

)2z)2z)22(2f

)2zz)23z)3c请选择合适的窗函数及窗宽N来设计一个线性相位低通滤波器ej，0cH (ej)cd ，

0c要求其阻带最小衰减为45dB，过渡带宽为8π/51,试求出h（n）（设截止频率ω=0.5π）.c的选择（当然用凯塞窗则可改变来满足阻带衰减的要求)，而窗宽N的选择则影响过渡带宽。