第11章 反比例函数-2021年中考数学一轮复习(通用版)

2021年中考数学轮复习(用版第11章

反比例函考点

梳

理考一反例数概、象性1．比函的念一般地，函数y＝

k为数，且k叫反比例函数【点拨】数ykx

或＝都是反比函数；反例函数中自变量的取值范围是x≠0.2．比函的象性(1)反比函数＝

kx

(k常数，且k≠0)的象是．(2)反比函数的图象无限接近，永不与(3)反比函数的图象和性质反比例函数

y＝

kx

相交．k≠0)k符号

k>0

k<0大致图象所在象限

第一、三象限

第二、四象限

121212112121212121212121212在每一象限内随x增大而；在每一象限内的大而；增减性

当xx>0x<时y>；<0<x时，yy

当x>0，<x时yy；x<0<时，y>0>对称性

反比例函数的图象关于直线＝x成对称，关于原点O成

对称【点拨】双曲线不是连续曲线，是两支不同的曲线，所以比较函数值大小时，要注意所判断的是否在同一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是出草图，标上各点，再比较大小．3．定比函的达(1)求反比例函数的表达式可待定系数法．由于反比例函数的表达式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应值即可．(2)求反例函数表达式的一般步骤：①设反比例函数的表达式；①把已知的一组对应值代入函表达式，建立方程；①解方程求得待定系数的值．4．比函的数k的几何义如图，设点(y是比例函数y＝

图象上任一点，过点作的垂线，垂足为A，①的积＝11OA＝xy|＝k|，这就是反比例函数的系数k的何意义．22【点拨】根据比例系数k的何意义，求值，要根据双曲线所在象限正确确定k的号

考二反例数应1．比函与次数综应(1)求函解析式一般先通过一个已知点求出反比例函数解析式，再由反比例函数的解析式求出另一个交点的坐，再将这两点的坐标代入一次函数的解析式中，解方组即．(2)求交坐标将一次函数的解析式与反比例函数的解析式联立成方程组求解即可；对于正比例函数与反比例数，其均关于原点对称，只要知道一个交点的坐标，就可以求出其关于原点对称的另一个交点的坐标．(3)求面①当有一边在坐标轴上时通将坐标轴上的边作为底边再用点的坐标求得底边上的高然利用面积公式求解；①当两边均不在坐标轴上时般采用割补法将其转化为一边在坐标轴上的两个三角形面积的和或差来求解．此外，求面积时要充分利用“数形结合”的思想，即用“坐标”求“线段”，用“线段”求“标”．(4)比较个函数值的大小，求自变量的取值范围2．比函的际用利用反比例函数解决实际问题，首先要建立反比例函数的数学模型，这也是关键一步，一般地建立反比例函数模型有两种思路：题中明确指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下，可利用待定系数法求反比例函数的解析式题目中未指出变量间存在反比例函数关系，在这种情况下可利用基本数量关系求反比例函数的关系式，反比例函数模型建立后，进一步地可利用反比例函数的图像及性质解问题．

a24a24重难

点

讲

解考一正理反例数概，求k值和反例数解式方法指导：因为反比例函数的解析式＝

kx

(k≠0)中有一个待定系数，确定了k的，也就确定了反比例函数的解析式，因而只需给出一组，的值或图象上一点的坐标，代入y例函数的解析式．

kx

k中可求出的，从而确定比另外，反比例函数解析式＝

kx

(k≠0)也以变形为k＝k≠0)，以要求的k值就等于双曲线上任意一点的横坐标与纵坐标之积一理得到反比例函数解析式y上任意一点作x轴、的垂线，所得的矩形面积为k|.

(k≠0)中例数k的几何意义是过双曲线经例＝OAM()

kx

x＞ABOCA4C6D8设(babOAM(

1122

b)y＝

kx

(x0)111Mka﹒ab16

【答案】考二一函与比函的合方法指导：这类问题常有以下四种主要题型：(1)利用值图象的位置关系，综确定系数符号或图象位置．解题策略：分>0和k<0两情况考虑．(2)已知线与双曲线的表达式求交点坐标．解题策略：联立直线与双曲线方程组成方程组求解．(3)用待系数法确定直线与双曲线的表达式．解题策略：待定系数法．(4)应用函数图象的性质比较次函数值与反比例函数值的大小．解题策略：看图象，以两个图象的交点为界，图象在上方的函数值比图象在下方的要大．经例2y＝－＋＝)(1)B(2)AOB

kx

(k≠0)Ay＝－x＋E(05)S＝－AOBOBE(1)ny＝－＋n－5＝4(1＝

kx

＝＝

4x

(2)

4，

4y

1)＝＋y(05)S＝S＝eq\o\ac(△,S)OBE

1××－××＝2考三反例数应方法指导：利用反比例函数解决实际问题，我们应抽象概括出反比例函数关系，建立反比例函数模型．根已知条件写出反比例函数的解析式，并能把实际问题反映在函数的图象上，结合图象和性质解决实际问．因此，利用反比例函数解决实际问题的关键是建立反比例函数模型，即求出反比例函数解析式．一般，建立反比例函数模型有以下两种常用方法：(1)待定数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反例函数解析式为y＝

kx

(k，然后求出的即可．(2)列方法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，常是列出关于函(y和自变量(x的程，进而解出函数，得到函数解析式．经例3江西模)小明家饮水机中原有的温度为℃，通电开机后，饮水机自动开始加[此过程中水温y(与机时间x(分满一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降此程中水温℃与机时间分成反比例关系]，当水温降至℃，水机又自动开始加热…，重复上述程序如图所)，根据图中提供的信息，解下列问题：(1)当0≤≤时，求水温y℃)与开机时间分的数关系式；(2)求图的值；(3)若小在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步57分回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

，解当0≤10时设水温℃与开机时间x)的函数关系为＝＋，依据题意，10＋，解得

8，故此函数解析式为＝x＋.，(2)在水下降过程中设温℃与开机时间)的函数关系式为y＝

依题意得＝即m10＝，＝

10001000，当y20，＝，得t＝.xt(3)∵50＝7＜10，∴当＝时y＝×＋＝.答：小明散步57分回到家时，饮水机内的温度约为76℃.过关

演

练1．河一已点(2，)，(－，都双曲线＝－上则)A．＜＜＜0bC．＜＜0D．＜＜2．山德州中)函数＝

kx

和＝kx＋k≠0)在一平面直角坐标系中的大图象可能()ABCD3．贵黔西南州中如图，在菱形中，AB＝，①A＝，形的一个顶点C在比例函数ky(k的象上，则反例函数的解析式()x

A．＝

3B＝－x

C＝

．＝

x4．湖长沙模拟若(3，是反比例函数＝

kx

图象上一点，则下列说法正确的()A．象別位于二、四象限C(2，6)函数图象上

B当＜时，y随的大而减小D．当y≤4时，≥35．安合肥模拟在一坐标系中，函数y＝

kx

和＝＋的大致图可能是)ACk16．(2020·安徽合肥一如图，若反比例函数y＝(＜0)图象经过点－，，A为象上任意一点，x2点B在x轴半轴上，连，AB，OA时①AOB的积()A．B．．D．无法确定7.(2020湖北孝感中)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位A)与阻R(单位：是比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式()

1212AI

2436BI＝CIDIRR8.(2020湖长沙中2019年10月长晚报外发布长沙高铁西站设计方案该案“三湘四水，杜娟花开”为设计理念，塑造出“杜娟花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土方．某运输公司承担了运送总量为1063

土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v单m3天与完成运送任务所需时间(单位：之间的函数关系式是)A＝

t

B＝

t．v＝

110

t2

D

t29．河一模已反比例函数＝

x

与一次函数y＝＋的象交于点(4，1)，a2)点，一次函数的图象与轴交于点C点D在轴上，其坐标为，，①的面积()A．B．．D．110．广东广州一如图所示，已知(，B(3y)为反比例函数y＝3

1x

图象上的两点，动点(，0)在轴正半轴上运动，当线段AP与段之达到最大时，点的坐标是)

A．，．

210，C．，．3

，．北十堰一已反比例函数＝的取值范围是．

2x

(k是常数，且k－的图象有一支在第二象限，则k12．江无锡模如反比例函数＝

ax

(a是常数)的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是．13(2020山东滨州中)若正比例函数＝x的象与某反比例函数的象有一个交点的纵坐标是，则该反比例函数的解析式为．14(2020四川甘孜州中如图，在平面直角坐标系xOy中一次函数＝＋的图象与反比例函数＝

2x的图象交于，两，若点是一象限内反比例函数图象上一点，①的积是①的积的2倍，则点的横坐标为．15．(2020·安阜阳模拟如，菱形ABCD的点A，的坐标分别为，，①轴双曲线＝＞经过，两，则菱形ABCD的面积为．

5x

(x

12312231123122312216．山青岛如所示，点A是比例函数y＝x＜的图象上一点，过点A作AB⊥轴点，点P在x轴，若△的面积是，＝．17．(2020浙台州中考小同学训练某种运技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次，完成一次训练所需要的时间单位：与练次数单：次之满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次练所需时间为秒(1)求y与x间的函数关系式；(2)当x的为6时应函数值分别为y较y－)(y的小－－3．

y18．山济宁中在①中BC边长为，边的为，①ABC的积为．(1)y关的数关系式是，的值范围是；

(2)在平直角坐标系中画出该函数图象；(3)将直＝－＋向平移a＞个位长度后与上述数图象有且只有一个交点出此时a的值．19．(2020·安合肥三模如，一次函数y＝－＋的图象与反比函数＝m)，轴于点(－，．(1)求一函数和反比例函数的表达式；(2)若直＝直线交点，双曲线交于点D求长；

kx

(＜的图象交于点A－，(3)根据象，直接写出不等式x＋＜

kx

＜的集．

20．(2020·浙金华模拟如，一次函数y＝－x＋的象与反比例函数y＝12

(k为数，且k的象交于A(1，)，两点，与和轴别交于C，两点AM①轴①轴垂足分为，两，且AM与交点.(1)求反例函数的表达式及点B的标；(2)直接出反比例函数图象位于第一象限且＜时变量的取值范；12(3)求OAB与①ABE的面积的比．21．四成都中在面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝

x

(x的图象经过点A，，过点A的线y＝＋与x轴y轴分别交于B，两．(1)求反例函数的表达式；(2)若AOB的积为BOC的积的2倍，求此直线的函数表达式

k22．山聊城中如，已知反比例函数＝的图象与直线＝＋相于点A(－，，，xm)．(1)求出线＝＋的表达式；(2)在x轴有一点P使得①面积为18，求出点的坐标．

23．江西南昌模制作某种金属工具要进行材料煅烧锻造两个工序，即需要将材料烧到800①，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时材料温度降为600煅烧时温度y①)与间x成一次函数系；锻造时，温度y①)与时间x成反比例函数关系如)已知该材料初始温度是①.(1)分别出材料煅烧和锻造时y与的数关系式，并且写出自变量x的取值范围；(2)根据艺要求，当材料温度低于400①，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？参考

答

案考梳

考一

1.

kx

2.双线(2)标轴坐轴减小增中过演1.【解析①曲线y

6x

，＝6＜，①曲线在第二、四象限①2，－＜，①(2，)第四象限，点－3，b在二象限，①＜＜.2.【析】在函数y＝

k和y＝－＋k≠0)中当k＞时，函＝的图象在第一、三象限，函数y＝－＋的象第一、二、四象限，故选A、错，项D正；当k＜0，函数＝

的图象在第二、四象限，函数y＝－＋图象在第一、二、三象限，故选项C错．3.【析①菱形ABOC中①A＝，形长为①＝①＝①点C的标为1，3)，①顶点C在比例函数y═

k3的图象上，①，＝－，＝－．x14.【析①点A是比例函数＝

kx

图象上一点①＝＝4＝，①此反比例函数的解析为y＝

12x

.①＝＞，①此函数的图象位于一、三象，故选项A错①＝＞，在每一象限内随x增大而减小，故选项B正确①2－＝－①点26)不在此函数的图象上，故选项C错；12当y≤4时即＝，解得x＜，故选项D错误．xk5.【析】由反比例函数图象得函数＝(为数，≠0)中k＞，根据一次函数图象可得－＞，xk＜，选项A错误；由反比例函数图象得函数＝

kx

(k为常数k≠0)中＞，据一次函数图象可得kk＞，＜，故选项B错误；由反比例函数图象得函数y常数k≠0)中＜，根据一次函数图象x可得－＜，＞，选项C错；由反比例函数图象得函数＝函数图象可得－＜，k＞，选项正确．

kx

(为数，中＞，据一次6.【析①反比例函数＝

1(x0)的象经过(－，，＝×＝－，过A点作AC①OB

①AOB①AOC梯形①①1212解得①AOB①AOC梯形①①1212解得于点C①①的积为

12

×＝，①＝，①OCBC，①S＝S＝487.【析】设＝，(86)代得＝×＝，故这个反比例函数的解析式为＝．R8.【析送土石方总量＝平均运送土石方的速度×成运送任务所需间6

＝＝

t

．9.【析①(4，在比例函数＝

4上，①＝＝×＝，＝.Ba，代y＝得xx＝，＝，B(22)．把(4，，，2)代＝＋.①

＋，解得＋b，

1，2①一次函数的，解析式为y＝

1x＋，点C在直线yx3上①＝时＝，C，．过A作①轴于点2E.①＝－－S＝①ACDAEOC

(11－××－××＝211110.D【解析】把(，)，(3，代反比例函数＝得y＝，y＝，①(，，(3，．连3接AB，①ABP中，由三角的三边关系定理得－＜①长AB交x轴于P，P在P点时，－＝，此时线段AP与段之达到最大，设直线AB解析式是＝＋(≠0)把点，的坐标代入得0)．

＋，，1010①线AB的析式是y－＋＝时(，1＝，3＋311.k＜－【析】①比例函数＝

2x

的图象有一支在第二象限①2＋＜，得＜－12.a＞【析】∵反比例函y

ax

(常数的图象在第一、三象，－＞，∴＞．13.y＝

2x

【解析】当y＝时，即＝x＝，得＝，该点的坐标(1，，将，2)入反比例函k2数表达式＝，得k＝，该反比例函数的解析式为＝．x14.2或

【解析①当点在AB下时作AB的行线l，使到线和直线l的离相等则的积是①AOB的积的倍直AB与交点的坐标(10)则线l与交点

1223122312231223的坐标C，，直线的表达式为＝＋，将点的标代入上式并解得：＝－，故直线的达式为＝－①，而反比例函数的表达式为＝

2x

①，联①①解得x2或－舍去①点在上时，同理可得，直线l函数表达式为y＋3，联立①①并解得x＝

(去负值)15.

452

【解析】连接AC，与BD交点M，菱形对角线①①①，①点A横坐标分别为1和，曲线y＝

(x＞经过，两，①＝－＝，＝4－＝，①AC＝，BD＝，442145①菱形的积ACBD.216.－【解析】设反比例函的解析式为y＝

．∵△的积eq\o\ac(△,＝)的面积，△AOB的面积＝

11k|，k|＝，k＝±；反例函数的图象的一支位于第二象限，k＜．＝－．2217.解设与x之的函数关系式为y

kk，(，400)代＝得＝，得k①与xxx间的函数关系式为y＝

1200x

；(2)＞提示：把＝，，分代入＝

1200得，1＝＝，2＝＝，3＝120，x6①－＝－＝，－＝15012030，①50，①－＞－．18.解y＝

4x

x＞提示①①中边长为xBC边的高为①ABC的面积为①

12xy＝，xy＝，①关函数关系式是＝

4x

，的值范围为x＞(2)在平直角坐标系中画出该函数图象如图所示；

22D3四ONEM①22D3四ONEM①①边形①OAB①，(3)将直＝－＋上平移aa＞0)个位长度后解析式为＝－＋＋解4整得，x－＋)＋＝①移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点①①＝＋)－＝0，解得a＝a＝－7(合题意舍)，故此时a的为1．19.解(1)由点B(－，在次函数＝－＋上得＝2，①一次函数的表达式为＝－－；点A(－，)在＝－2上得m＝①(－，，A－，1)代数y＝

kx

x＜得k－，反例函数的表达式为y＝－

3x

.(2)y＝，即＝＝，＝，－－＝，得x＝－，当＝时＝－CDCCD①＝－＝1－－＝DC

D

，解得＝－，(3)不等＋b＜

＜