高数-微分方程暑假重修

5--1、可分离变量的微分方一阶常微分方程为

F(

y,y)其拟线性形式

y

f(x,y)若y

f(

y或

(x)dx

gy)dy可分离变的微分方设函数g(y)f(x)是连续的g(y)dyf(

分离变量设Gy)和Fx)分别为gy和fx的原函数GyFxC为微分方程的解例求解微分方

(x

2)y

x2y例

y

e2xy例求微分方

y2)dx

x(1

y

0的解2、齐次方定dy

f(x

)的微分方程称为齐次方程y解

作变量代u

,y

u

代入原

uxdu可分离可分离变量的方

f即du

f(u)uxdu

f(u)u f(uu

时,得

f(u)

lnC1x即x

Ce(u),（(u)

yf(u)yu

y代入x

x

x当u0

f(u0)

u

代回原方程

得齐次方程的

yu0x.例求解微分方 xydyy2dx(xy)2ex的通解求解微分方(x

y

dxx

x

ydy

x x

y

x的解问题

y(1)3、线性方一阶线性微分方程的标准形式dy

P(x)

Q(x)

当Qx)

0,()称为一阶齐次线性微分方程当Qx)

()称为一阶非齐次线性微分方程dy

yx2

dx

xsin

t2

线性的yy

2xy

y

y

非线性的一阶线性微分方程的解线性齐次方(使用分离变量法

dy

P(x)

dyy

P(x)dx,

dyy

P(x)dx,lnyP(x)dxlnC1,齐次方程的通解为

(C

C1

dy

P(x)

Q(x).把齐次通解中的常数变易为待定函数的方法实质:未知函数的变量代换.(

CeP(x)dx新未知函

u(x)

原未知函

y(x),作变

yu(x)e

P(x一阶线性非齐次微分方程的通解为yeP(x

[Q(x)eP(

CCeP(x)dxeP(x)dxQ(x)eP(x例求解微分方程

xyy

x2例

yx

ysinx

的通解

(x2

(2

dx

1的特解若方程

dx

P(y)

y).则其通解为xeP(y)dy[

eP(y

CCeP(y

eP(y

y)eP(y例y2dx

(y2

2xy

0的通解一、y(n)=f(x)型特点右端仅含自x.解法yfx)

yf(x)dxy(f(x)dx)dx

该法也适用于更高

y(n)

f(x)y

((

f(x)dx)dx)dx

(n

xn1例cn1x例解方

x

二、yf(xy特点右端不出y.解法

dyp

y原方程变

p

f(x,

为一阶微分方例例

y

x的解yfyy特点yfyy解法

y

dp

dpdy

pdP方程变

pdpd

f(y,p)这是关于y,p的一阶微分方程例

0的通解5、全微分方程及其求定义:du(

P(

Q(

全微分方P

或恰当方例如

u(

y)

1(x22

y2du(

y)

xdx

所以是全微分方程若为全微分方程,则其解

y)全微分方

Q解法P(

全微分方应用曲线积分与路径无关

通解

u(

y)

xP(

y)dx

yQ(x00

yQ(x,y)dy xP(x,

)dx,

u(x,00y 00用直接凑全微分的方法例求解下列微分方例(x3

3xy2

(

3x2

dy(3x2e

3y2

(x3e

6

6、线性微分方程的解的结二阶线性微分方程的一般形式yP(x)yQ(x)yf(x)若

(x)

0,

齐次线性微分方程若

(x)

0,称为非齐次线性微分方程二阶齐次线性方程解的结构yP(x)y定理定理定理yP(x)y二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方y

P(x)y

Q(x)y

f(x)

定理

设y1和y2均为方程(2)的解则y1y2为对应的方程(1)的解即两个二阶非齐次线性方程的解的yP(x)y定理y1为非齐次方程(2)的解,y定理

y1+y2为非即一个二阶非齐次线性方程的解y

P(x)y

Q(x)y

y

P(x)y

Q(x)y

f(x)

定理

设y是二阶非齐次线性y

P(x)y

Q(x)y

f(x)

的一个特解,Y是与(2)对应的齐(1)的通解,那么y=Y+y线性微分方程(2)的通解yP(x)yy

P(x)y

Q(x)y

f(x)

定理 设非齐次方程(2)的右端f(x)是几函数之和y

P(x)y

Q(x)y

f1(x)

f2(x)12yy分别是方12yy

P(x)yP(x)y

Q(x)yQ(x)y

f1(x)f2(x)解的叠加原的特解,y1与y2就是原方解的叠加原例设二阶线性非齐次方程的三x,

ex

,1

xex

求其通解7、二阶常系数齐次线性微分方定二阶常系数线性微分方程的标ypyfx

y

pyqy称为二阶常系数齐次线性微fx

ypy称为二阶常系数非齐次线性 特征方程特征方二阶常 特征方程特征方ypyqyr2prq有两个不相等的实根r1,通解为y1e1xC2er2x有两个相等的实r1=r2=通解

y

C2x)erx;有一对共轭复根

r2

通解

yex(C1

sinx).例

4y4

解特征

r2

40解得

2故所求通解

y

C2x)e2x例求方

2y5

解特征方程

r2

50

12i故所求通解为

ex(C1cos2

sin2x).例y5y6

0

y(0)y(04的特解例例

4

8、二阶常系数非齐次线性方

ypyypy

通解结

yY

yy

xkexQm

(x)

（1）f(x（1）f(xexPm(x)1

是单根求方

3y2y

xe2

的通解求方

2y

ye

3x

1的通解xex[Px)cosxPx)sinxlny

xkex

Qmeixmmxkex