弹性力学第四章-本构关系

§4-1物体的弹性性质和广义胡克定律§4-2线弹性材料的本构关系第四章本构关系§4-3各向同性线弹性材料的物理方程一般情况下，物体的应力与应变呈某一函数关系，可表示为：应力与应变张量均为六个独立分量。则§4-1物体的弹性性质·广义Hooke定律一.弹性的概念

如果材料呈单值连续关系（不一定线性），则称为柯西（Cauchy）弹性材料（一般意义上的弹性）。

受材料在单向拉伸试验时弹性阶段的应力与应变呈线性关系（胡克定律）的启发，

线弹性材料在复杂应力状态下其应力张量与应变张量亦呈线性关系。称为广义胡克定律的一般形式

呈线性单值连续关系的材料性质称为线弹性。

在柯西弹性的基础上附加等温绝热的外部环境条件，使有势函数存在，则这种弹性性质又称为超弹性。可以证明线弹性一定是超弹性。二.广义胡克（Hooke）定律即

广义胡克定律的一般形式最广泛地描述了材料的线弹性性质，但未能描述物体外部环境条件和内部物理特征。其中——称为弹性常数，共81个系数，因各六个独立，缩减为36个独立的常数。cmn和cijkl

的下标对应关系：m、n123456ij、kl112233122331如，c22c2222

，c56c2331矩阵表示形式：——分别称为应力和应变列阵——称为弹性矩阵。其元素cmn为36个其中张量表示形式：§4-2线弹性体的本构关系如果材料在变形过程中处于等温绝热过程。根据热力学第一定律和相应数学推导，有势，其势函数U0(ij)为物体单位体积的变形能（应变能）。——Green公式由同理即

弹性矩阵为对称矩阵，共有21个独立的弹性常数对

称广义胡克定律的上述形式表征的是各向异性材料的本构关系。

如果材料具有弹性对称面，则本构关系还可简化，使弹性常数进一步缩减。

弹性体中每一点均有一个对称方向，在这些对称方向上弹性性质相同，即应力应变关系不变。称为弹性对称。弹性对称

弹性对称方向

弹性对称方向

弹性对称面

弹性主轴

弹性主轴一.横观各向异性材料

相应的对称方向和对称面称为弹性对称方向和弹性对称面。垂直于弹性对称面的方向称为弹性主轴。xyz

弹性对称面OP

(x,y,z)P

(x,y,-z)y

设Oxy平面为材料的弹性对称面，z轴为弹性主轴。其中[C]为各向异性的弹性矩阵

现将z轴反向，考察其本构关系xz

仅具有一个弹性对称面的材料称为横观各向异性材料。

体内一点P(x,y,z)的应力和应变为{

}

和{

}。则在新坐标下，由于弹性对称，应力应变关系保持不变但P点坐标和应力应变分量发生变化由坐标变换两坐标系三轴的方向余弦为xyzx100y010x00-1代入上式由比较得例如比较[C]和[C]

中的第一行

横观各向异性材料，其独立的弹性常数为13个；正应变会产生切应力，切应变也会产生正应力

工程上，单斜晶体（如正长石）可简化为横观各向异性弹性体。

横观各向异性材料的广义胡克定律可表示为对

称

将y轴反向，不产生新的结果。

将x轴反向，仿前分析步骤可得二.正交各向异性材料xyzP

(x,y,z)O

设三个弹性对称面分别为Oxy、Oyz和Ozx平面，材料沿x、

y、

z三方向弹性性质各异。

具有三个相互垂直弹性对称面的材料称为正交各向异性材料。综合之，，正交各各向异性性材料的的广义胡克定律律可表示为为对

称正交各向向异性材料，其独立立的弹性常数数为9个；正应变仅仅产生正正应力，，切应变变仅产生生切应力力。煤、木材材、增强强纤维复复合材料料等可简简化为正交各向向异性弹性体。。工程上一一般用三三个弹性性模量（（Ex、Ey、Ez），三个个泊松比比（Poisson）（xy、yz、zx）和三个个切变模模量（Gxy、Gyz、Gzx）表示。。三.横观各向向同性材材料具有各向向同性面面，且各各各向同同性面相相互平行行（或具具有弹性性对称轴轴）的物物体，称称为横观观各向同同性材料料。yzxxyzO设体内每每一点存存在一轴轴（z轴），在在与此轴轴垂直的的平面（（Oxy）内，所所有射线线方向的的弹性性性质均相相同。称该平面面为各向向同性面面。在正交各各向异性性的基础础上，按按相似分分析步骤骤，设xy平面绕z轴旋转任任意角度度，旋转前后后应力应应变关系系不变，，比较其其弹性常常数可得得对

称所以，横横观各向向同性材材料的广广义胡克定律律可表示为为横观各向向同性材料，其独立立的弹性常数数为5个；地层、层层状岩体体、复合合板材等等可简化化为横观各向向同性弹性材料料。工程上一一般用两两个弹性性模量（（Exy、Ez），两个个泊松比比（xy、z）和一个个切变模模量（G）表示。。四.各向同性性材料在横观各各向同性性的基础上上，将z轴反向，，考察其其反向前前后的应应力应变变关系可可得对

称所以，各各向同性性材料的的广义胡克定律律可表示为为各向同同性材材料独独立的的弹性性常数数只有有2个§4-3各向同同性线弹性性材料料的物物理方方程一.广义胡克定定律的基本本形式式对于各向同同性材材料的的广义义胡克克定律律表达达式，，展开开令则其中张量形形式（注：：Lamé原文所所用符号为为和而非G，也不是是泊松松比。。在工工程形形式中中，Lamé常数实际上上被定定义为为切变变模量量G）、G称为拉梅（（Lamé）常数数此即广广义胡胡克定定律的的基本本形式式，该该形式式数学学表述述简练练，便便于理理论推推导应应用，，但力力学意意义不不能一一目了了然，，不便便于工工程运运用。。二.广义胡胡克定定律的的工程程形式式将前六六式反反解，，并令令则此即广广义胡胡克定定律的的工程程形式式，其其中常常数E、G和是广为为熟知知的弹弹性模模量、、切变变模量量和泊泊松比比。仅仅两个个独立立。张量形形式其中由得若用应应变表表示，，反解解或由由基本本形式式代入入即得得或三.体积胡胡克定定律由即描述了了体积积应力力和体体积应应变的的关系系令称为体体积弹弹性模模量故称为体体积胡胡克定定律张量形形式或所以当ij时，因因三式相相加为为恒等等式即六对对量仅仅五个个关系系补充一一个关关系——体积胡胡克定定律故四.广义胡胡克定定律的的偏量量形式式此形式式便于于塑性性分析析五.弹性常常数的的关系系前述广广义胡胡克定定律的的各种种形