随机过程-probability随机变量及其分布第六讲

第二章随量及其分布(第六讲§1离散型随量的概率分§2随量的分布函§3连续型随量的概率密退出§4随量的函数的分退出第二章随量及其分§1 §1 例1袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球．3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为， ，，退出取出的3只球中的黑球的个数退出§1 §1 我们记取出的黑球数为X，则X的可能取值为313122222121前一 后一 退第二章随量及其分着变X的一个确定的取值，因此变量X是样本空间S上的函数XXe eS我们定义了 量后，就可以用 量的取情况来刻划随机事件 表示取出2退出表示至少取出2个黑球这一事件退出第二章 量及其分§§1 通常随或希腊

、、等来表例2掷一颗，令X：出现的点数则X就是一个随量它的取值为表示掷出的点数不超过4这一随机事件X退出表示掷出的点数为偶数这一随机退出第二章随量及其分§1 例38:00～9:00在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的则Y就是一个随量它的取值为表示通过的汽车数小于100辆这一随50表示通过的汽车数大50辆但不超100辆这一退出Y的取值是可列无穷个退出§1 第二章随§1 例 观察某电子元件的（单位：小时），Z：该电子元件的则Z就是一个随量．它的取值为所有非负实数Z表示该电子元件的不超过500小时这一随机事件Z表示该电子元件的大于1000小时这一随机事件退出Z的取值是不可列无退出第二章随量及其分§1 例 掷一枚硬§1 X

掷硬币出现;掷硬币出现则X是一个随量退出在同一个样本空间上可以定义不同的 量退出§1 §1 例6掷一枚，在例2中，我们定义了随量Y

出现偶数;出现奇数退出等等退出

Z

点数为6;点数不6.第二 量及其分§2离散型 离散型 量的分布率与性一些常用的离散型 前一 后一 退退出第二章随量及其分退出量一、离散型随量的分布率与性离散型随量的定如果随量X的取值是有限个或可列无穷个，则称X为离散型随量．量第二章随量离散型随量的分布设离散型随量X的所有可能取值x1

x2，

xn，PX

xn

n

2, XPXP，，退出为离散型随量X的分布律退出第二章随量及其分量离散型 量分布律的性质量⑴对任意的自然n，有 ⑵n

退出退出第二章随量及其分量例 将1枚硬币掷3次量X：出现的正面次数与次数之差试求（1）X的分布律(2P0.5X解X的可能取值

-3-1，1，3．并且分布率XX133113318888

13退出8退出第二章随量及其分量例 设随量X的分布律量

1 PX

4

n1，2，

解：由分布率的性质， 1

n

1c c4该级数为等比级数，故有 1 1c4

c 1 所以c

1 退出4退出§2量第二章§2量设车在开往目的地的道需经过四盏信号灯，每盏信号灯以概率p汽车通过.X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的X的分布律.(信号灯的工作是相互独立的P{X=3}=(1-

前一 后一 退第二章随量及其分量3(量解：以p表示每盏信号灯汽车通过的概率，X的分布律为

(1-p)p(1- (1- (1-或写P{Xk(1p)kp，k退出P{X=4}=(1-退出退出第二章随量及其分退出量3(量p1/2代入得XX01234第二章随量及其分量二、一些常用的离散型随量1)Bernoulli分如果随量X的分布律XPXP01p

k

pk(1

p)1k,

则称随量X服从参数为p的Bernoulli分布记作

其中0

p1为参数退出退出第二章随量及其分量Bernoulli分布也称作0-1分布或二点分布Bernoulli分布的概进行一次Bernoulli试验，A是随机事件。设PAp PA1p设X表示这次Bernoulli试验中事件A发生的次数．0X0退出退出

若事件A发生若事件A不发生 X

第二章随量及其分量2）量Cp如果随量X的分布律Cp

k

pnk

k

n则称n记作X

退出其中n为自然0p1为参数退出第二章随量及其分量分布律的量⑴由 以及n为自然数，可Cpn Cpn

pnk

k

⑵Cpnn Cpnn

pnk

p

kn所n退出 退出是分布律

退出第二章随量及其分退出量量显然n=1X~B1，此时，X服从Bernoulli第二章随量及其分量二项分布的概率量进行nBernoulli试验，A是随机事件。设在每次PAp

PA1

pX表示nBernoulli试验中事件A发生的次数 X

Bn，退出退出第二章随量及其分§2量二项分布的分布§2量X~Bnp

1

n1p

q1PXk 由此可知，二项分布先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随k的增大而减少．这个使达到其最大值的k0

称为该二项分布的最能次退出退出第二章 量及其分量

1

n

1p

q1PXk 可以证明如果n1p不是 如果n1p是整数，则

1pn

1退出退出量第二章随量及其分布量Poisson分如果随量X的分布律

k

e

k

其中

0则称随量X服从参数为λ的Poisson分布退出退出第二章随量及其分量分布律的量⑴由 可知对任意的自然数k，ke的展开式

k! k!k0所

k!k0k!

P 是分布律

退出退出

第二章随量及其分量Poisson分布的量Poisson分布是概率论中重要的分布之一自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布．例如，可以证明，总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的．退出退出§2量第二章§2量例12 设随量X服从参数为λ的Poisson分布，PX1解 量X的分布律

由已

退出退出第二章 量及其分

§2量 §2量1! 2!由此得方得

22另一个0不合题意，舍所以

2

24P 4 退出退出第二章随量及其分量若随量X的分布律

k

qk1

k

p

1则称随量X服从参数为p的几何分退出退出第二章随量及其分量⑴由条

p

qk1p条件可k

k

k

qk

综上所述，可退出退出是一分布律

k

qk1

k

第二章随量及其分量在Bernoulli试验中PA

PA

1试验进行到A首次出现为止令：X表示所则X服从参数即

k

qk1

k

退出退出第二章随量及其分量本节小量离散型随量的分布率及其性质两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布；要求：掌握分布率的性质熟练运用两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布这几个分布模型解决实际问题。特别是二项分布。退出退出第二章随量及其分 随量的分布函退出退出 量的分布函 量的分布函一、分布函数的定定义设X是一个随量，x是任意实数函数F(x)P{Xx} X的分布函数对于任意的实数x1x2(x1x2，有

P{x1

x2}

P{X

x2}

P{X

x1 F(x2)F(x1o退出 退出 量的分布函 量的分布函例1 量X的分布律为:求X的分布函数.

- 解：x<-2时{X

x}F(x)X

P{Xx

x}P{}- 1 前一 后一 退 量的分布函 量的分布函当2

x1时,XxX取值X-F(x)X

P{-

x}

P{Xx

2}1XX-13116212当1

X

xX取值X2,F(x)

P{

x}

P{

2或

1}

11 退出退出 量的分布函 量的分布函同理当2

x时F(x)

P{X

x}

P{X

xF

x1 x x- 退出退出 量的分布函第二章随量及其分 量的分布函说明1-012x分布函F(xxxk(k=1,2处有跳跃，其跳跃值为pk=P1-012xXX-13116212退出退出 量的分布函 量的分布函1）性质分别观察离散型、连续型分布函数的图象以看出，分布函F(x)具有以下基本性质：1（1）F(x是一个单调 F(x2)

x1时，Fx1).

退出退出 量的分布函 量的分布函

F(x)

1,且F(

x

F(x)0;F()

x

F(

（3）F(

0)

F(

即F(x)11-0123x退出退出第二章 §4连续型 量的概率密均匀分正态分布与标准正态分前一 后一 退§4连续型§4连续型 量的概率密一、连续型随量的概念与性1)定义如果对于随量X的分布函数F(x)，存在非负函f(x)x，有xF(x)

f(t)dt,则称X为连续型随量，其中函数f(x)称X的概率密度函数,简称概率密度退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质 f(x)

f(前两个条件是概率密的充分必要条0 0

f(

0 P{x10

x2}

F(x2)

F(x1f

f(

(

x20

前一 后一 退§4连续型§4连续型 量的概率密F(x)xf(t)dt,4F(x)xf(t)dt,F(x)

f(即fx)

x0

F(

x)

F(x)

P{x

x

x)x0 若不计高阶无穷小P{x

x

x}

f(x)x.退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密注意变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不我们不能认

PX连续型 量的一个重要特点X是连续型随

a退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密说明⑴由上述性质可知，对于连续型随量，我我们所关心的是它在某一区间上取值的若已知连

，X在任闭区间，或半开半PXGfPXGfG退出§4连续型§4连续型 量的概率密设X是连续型随量，其密度函数fx

2x2

0x 其它求：⑴常数 ⑵P解⑴由密度函数的性fxdx退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密1

fxdx

202

2x

c2x

2x322 2283所以，

cPPXGfG2 3 228⑵ 81

xdx12

4x2 32x8

2x3 退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密二、一些常用的连续型随若随量X的密度函数

axf

b

其它 退出X~U[a退出§4连续型§4连续型 量的概率密密度函数的验设X

对任意的⑵

b

bbxdxa1

fxdx

fb1 badx1由此可知

fx

b

ax

确是密度函数退出 其它退出§4连续型§4连续型 量的概率密均匀分布的概率背如果 量X服从区，上的均匀分布，则随变间的长度成正比，而X这时，可以认为 X

l}

f(c

dxb

bXb X前一 后一 退§4连续型§4连续型 量的概率密均匀分布的分布函

x

x

FbFxb

ax b 退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密如果某乘客到达此站7:00到7:30之间的均匀随量．试求该乘客候车时间不超过5分解设该乘客于7时X分到达此站其密度函数为

fx

0

其它退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密5（续令：B={候车时间不超过5分钟 PBP10

dx10

退出退出第二章随量及其分设试求方程

§§4连续型 量的概率密 4x2有实根的概率解随

x

2)fy

4

1

y 其它退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密6（续设：A

4Y PAPPY 3fy1fy11y其它 4退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密如果随量X的密度函数fx

e00

xx其中0为常数，则称随服从参数的指数分布退出退出§4连续型§4连续型量的概率密指数分布的分布函若Fx

e

xx前一 后一 退§4连续型§4连续型 量的概率密如果连续型1

x

密度函数fx

2

x则称正态分布．记

其中ff 0x退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密标准正态分若

1，我x标准正态分布的密度数为xxe2 1 xe2

x 退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密密度函数的验设X

2

x是其密度函数，则fx

x1 2 1

x

xfxdx

dx 退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密密度函数的验综上所述fx

x 2

x满足密度函数的两项基本条件，因此是一个密度函数．

fx退出退出§4连续型§4连续型量的概率密正态分布密度函数的对于正态分布的密度fx

x 2

x由高等数学中的知识我们有：

f⑴曲线关于直线x

对称，这表明：对于h0，有PhXP

h0

前一 后一 退§3连续型§3连续型 量的概率密正态分布密度函数的图形性质（续当⑵xfx到最大值f 越远xf的值就越小．这表明，对于同样长度的区间，当越远时，随变量

落在该区间中的概率就越小．ff0x退出§4连续型 量的§4连续型 量的概率密确定．f0 x退出正态分布密度函数的图形性质（续⑶曲线yfxx处有拐点曲线yfx以Ox轴为渐近线图形沿x轴平行yfx图形的位置完§4连续型§4连续型 量的概率密正态分布密度函数的图形性质（续若f2可知，当越小时，fyx附近的概率越大；反越大时，形越平坦，这X的取值越分散．f

前一 后一 退§4连续型§4连续型 量的概率密正态分布的重要正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：⑴正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之⑵正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许⑶正态分布可以作为许多分布的近退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密-分布如果连续型fx

xr1e

x

0

r 0为参数

x则称随量

服从

的

分布记作：

X~

r，退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密Γ函数的定义

r

xr1ex0

2如果n为自然数，退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密说明

e

xr1，则11

fx

x这正是参的指数分

n，由

n

n

fx

n

x

x我们称此分布Erlang分布，它是排队论中退出重要的分布之一．退出§4连续型§4连续型 量的概率密说明如果r

n，2

1，其中n为自然数，则有2

n e

xfx

2

n 2

x我们称此分布它是数理统计学中重退出退出§4连续型§4连续型 量的概率密小结连续型 量的密度函数的定义和性质特别

GG

f前一 后一 退第二章随量及其分布(第九讲 随量的函数的分离散型连续型定理及其应用退出退出随第二章随量及其分随随量的函设X

Y

gX,则也是一个随量当

取值x

取值y

本节的任务就是已知随量X的分布，并且已知

要求

的分布．退出退出 一、离散型 量的函 PXxn

n

2, XPXP ，，是X，则YY量，它y1，y2，

yn，

gxn

退出退出随第二章随量及其分随如果y1

y2，

yn两两不相同，则

yn

xn

可知

yn

n

12,,YPYPy2，，yn退出退出随第二章随量及其分随如果y1

y2，

yn，

有相同的则把这些相同的项合并（看作是一项）的概率相加，即可 量 Y分布退出退出随第二章随量及其分随例1XX-03P161312 解 3,1,2.这些取值两两互不相同由此得随量的分布律为 - -

X 退出退出随第二章 量及其分随例2设随量X具有以下的分布律，试Y=(X-X-X-012解 Y的所有可能取值

且Y=0对应于(X-1)2=0，解得X=1， P{Y=0}=P{X=1}=0.1,退出退出第二章随量及其分XX012同理P{Y=4}=P{X=-1}=0.2,

随所以，Y=(X-1)2的分布律为Y0Y014退出随第二章随量及其分随3YgX

XP1XP12n若X为奇1 若X为偶数1试求随Y的分布解退出退出随第二章随量及其分随3（续

n为奇数

k

k

22k

n

n为偶数

kk

1 133 1 133退出所以， Y的分布律第二章 量及其分二、连续型 量函数的分

设X是一连续型 量其密度函数为X再设 是xg连续函， X)是连续 量我们要求的YgX的密度函数fYy⑴先求YFYy

y

f

(g(x)⑵利用YgX的分布函数与密之间的关系求YgX的密度函数

fYy

y.前一 后一 退随第二章 量及其分随例4设随量X具有概率密度 (X)

2x,

0

Y=X-4的概率密度解：(1)Y=X-4的分布函

P{YP{

4

y}

P{X

y退出退出随第二章随量及其分随4（续FY(y)

y4

fX(x)dx.

利用y)

fY(

fY(y)

fX(

4)(

y

y

(X)Xx退出退出随第二章随量及其分随4（续整理Y=X-4的概率密度为 (y)

2

4

y

其它本例用到变限的定积分的求导公如如果则()[(xF(), )]退出退出随第二章 量及其分随例5设随量X具有概率密度Y=|X|的概率密度.

fX(

x解：(1)Y|X|的分布函

y0时

(y)

P{Y

y}20 y0时FY(y)P{Y

y}

P{

y}P{yXyy

fX(退出退出 5（续yFY(y)y

fX((2)利用y)

fY(y)及变限定积分求导公fY(y)

(

fX

yy退出退出第二章 量及其分例如,设X~N(0,1),其概率密度为(x)

x

xY|X|的概率密度为