数学建模基本要素

第一讲:数学建模基本要素---水鹏朗雷达信号处理国防科技重点实验室数学建模基础第1页，共38页。第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模第2页，共38页。玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为一定目的，对客观事物进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物,而不是原型本身.模型集中反映了原型中需要的那一部分特征.1.1

从现实对象到数学模型什么是模型?第3页，共38页。1.1

从现实对象到数学模型从实物到模型交通部门：网状图模型行政部门：Cartoon模型航空部门：赋值图(Graph)模型第4页，共38页。1.1

从现实对象到数学模型雷达探测：飞机被看做有多个具有一定空间分布的散射点构成---散射点模型---雷达成像红外探测：飞机具有不同温度分布的几何对象---温度场(辐射场)模型---红外成像不是对象在变，是我们的手段和需求在变！第5页，共38页。你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解第6页，共38页。航行问题建立数学模型的基本步骤:

简化假设（船速、水速为常数）；

符号表示（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,

y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。解剖“麻雀”

第7页，共38页。数学模型---MathematicalModel数学建模---MathematicalModeling一个现实对象，一个特定目的，据其内在规律，作出必要假设，适当的数学工具，得到的数学结构和描述。数学模型第8页，共38页。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）3W规则数学建模What实际问题的数学描述How数学问题如何求解Why解释与检验搞楚是什么探讨如何做多问为什么第9页，共38页。1.2

数学建模的意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

工程技术领域,数学建模无处不在；

高新技术领域,数学建模必不可少；

数学是一种通用语言,跨越语种沟通障碍.第10页，共38页。数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼数学建模不是万能的，但对于从事理工科研究的人，不会数学建模是“万万不能的”！第11页，共38页。1.3

数学建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放平稳吗?问题分析模型假设通常-三只脚着地放稳-四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。第12页，共38页。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和f()B,D两脚与地面距离之和g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第13页，共38页。用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：

f(),g()是连续函数

;

对任意，f()•g()=0;

且

g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地第14页，共38页。模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),

则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0

,使h(0)=0,

即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,

所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键:假设条件的本质与非本质

考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定第15页，共38页。解决问题的另一个数学模型基本假定:

1.地面描述为连续曲面;

2.椅子围绕坐标原点水平旋转;

3.转角规定为椅子对角连线与X轴的夹角,记为;

4.椅子四个脚在x-y平面上的坐标分别为xBADCOD´C´B´A´第16页，共38页。问题分析:椅子四脚着地等价于四个脚都落在曲面上,并且四个落点共面数学模型:设是一个连续曲面,则存在角度使得曲面上的四个点共面.第17页，共38页。模型求解:

基本定理:空间中四点共面

行列式

引进函数第18页，共38页。

是的连续函数

第19页，共38页。如果

,

表明

如果

,

由介值定理,存在

使得因此,总是存在一个旋转角度,使得椅子的四脚水平落在曲面上(即放平稳)第20页，共38页。1.3.2

商人们安全过河问题?问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)第21页，共38页。模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题第22页，共38页。模型求解

穷举法

~编程上机

图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个

点允许决策

~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广xy3322110s1sn+1d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}第23页，共38页。

数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4

数学建模的方法和步骤第24页，共38页。

数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’第25页，共38页。模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤第26页，共38页。模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用

数学建模的一般步骤第27页，共38页。数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践第28页，共38页。归纳和演绎---在数学建模中的作用归纳就是从现象发现事物本质运行规律的过程观察到的现象:

数据记录常识与结论

…….演绎就是从已知和证实的运行规律,通过合理的分析和推导得出新的结论和规律.

数学上的定理和推论都是从基本公理通过演绎得到的重要结论工学中,同样从电子线路的基本原理(定律)可以演绎出许多重要结论.归纳和演绎能力在科学发现中缺一不可.第29页，共38页。从第谷到万有引力定律第谷(1546-1601),丹麦天文学家。自幼过继给伯父约尔根·布拉赫为子，受到良好的教育，曾先后在哥本哈根大学、莱比锡大学、罗斯托克大学、巴塞尔大学等多所大学求学。第谷对天文学的重大贡献在于他通过长期观测积累的有关行星运行的大量数据资料，成为那个时代罕见的天文观测家，获得“星学之王”的美称。

数据积累大量现象记录---科学发现的基础第30页，共38页。从第谷到万有引力定律(续)开普勒(1571-1630),

德国天文学家,第谷的学生。从现象发现规律第一定律(椭圆定律):每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中.第二定律(面积定律):在相等时间内，太阳和运动中行星的连线所扫过的面积都是相等的.

第三定律(调和定律):各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道半长轴的立方成正比.

第31页，共38页。从第谷到万有引力定律(续)牛顿爵士是历史上曾出现过的最伟大、最有影响的科学家，同时也是物理学家、数学家和哲学家，晚年醉心于炼金术与神学。他在1687年发表的不朽著作《自然哲学的数学原理》里用数学方法证明了宇宙中最基本的法则-万有引力定律和三大运动定律。这四条定律构成了一个统一的体系，被认为是“人类智慧史上最伟大的成就”，由此奠定了之后三个世纪中物理世界的科学观点，并成为现代工程学的基础.万有引力定律自然界总是以最简单、最美的方式运行IfIcanseeabitfartherthansomeothers,itisbecauseIamstandingontheshouldersofgiants.---Newton如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在了巨人的肩上.

第32页，共38页。自然界与数学的简约第33页，共38页。1.5

数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的稳健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点第34页，共38页。数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态…

…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计…

…表现特性描述、优化、预报、决策…

…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第35页，共38页。1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像