精选拟水平法讲义

（优选）拟水平法第一页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》2

当用q水平正交表安排试验时，如果存在水平数小于q的因子，可以采用拟水平法进行试验设计，此时的设计不再是正交的。 常用的是在三水平正交表中安排少量二水平因子。在拟水平法中，二水平因子的两个水平参与的次数不等，从而试验缺乏正交性。第二页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》3处理组合号ABC试验结果1‘1234Yij12345678911122222211122233312312312312323131212331223180.587.58979.682.888.278.283.383.4T1T2T3257.0257.0238.3252.0251.7500.5250.6253.6255.5253.9249.9265.6250.0251.9T=757.5S10.1210.21124.825.170.99第三页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》4ST、SB、SC的计算与原来相同，只是SA的计算不同注意这里的S1-SA第四页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》5利用数据结构式得：从而第五页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》6对上述过程进行分析，可以得出如下的结论：

S1应该有两个自由度，现在因子A仅占一个自由度，还剩一个自由度，应该将S1-SA归入误差，相应将自由度也归入fe第六页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》7方差分析表来源平方和自由度均方和F比A10.12110.1228.11B124.82262.41173.36C5.1722.597.19e1.0830.36T141.188F0.95(1,3)=10.1,F0.95(2,3)=9.55可以看出因子A与B是显著的。第七页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》8最佳水平的选取综上，最佳水平组合为A1B3.在水平组合A1B3

下，均值的点估计为：求A1B3.下均值的置信区间。因子C不显著，所以第八页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》9总结

拟水平法用于诸因子的水平数不全相等时拟水平法：在水平数较多的正交表上某列安排水平数较少的因子，在表面上把这个因子想象成与该列水平数相等，而实际上将该列多余的水平用这个因子的某个水平代替，即此水平多重复几次。第九页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》10通过此例我们可看到拟水平法有如下特点：（1）每个水平的试验次数不一样。转化率的试验，A1的试验有3次，而A2的试验有6次。通常把预计比较好的水平试验次数多一些，预计比较差的水平试验次数少一些。（2）自由度小于所在正交表的自由度，因此A占了L9(34)

的第1列，但它的自由度fA=1小于第1列的自由度f1=2.就是说，A虽然占了第1列，但没有占满，没有占满的地方就是试验误差.第十页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》11还需作两点说明：（1）因素A由于和其他因素的水平数不同，用极差R来比较因素的主次是不恰当的。但用方差分析法仍能得到可靠的结果。（2）虽然拟水平法扩大了正交表的使用范围，但值得注意的是，正交表经拟水平改造后不再是一张正交表了，它失去了各因素的各水平之间的均衡搭配的性质，这是和并列法所不同的。第十一页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》12课后作业P178exe4第十二页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》13程序

datach45exe4;

inputBACprop;

cards;111361223213320223222313421221232162131922137;run;proc

glmdata=ch45exe4;

classABC;

modelprop=ABC;

meansABC/t;run;第十三页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》14结果TheGLMProcedureDependentVariable:propSumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>FModel5521.1666667104.233333312.590.0316Error324.83333338.2777778CorrectedTotal8546.0000000R-SquareCoeffVarRootMSEpropMean0.95451810.925742.87711326.33333SourceDFTypeISSMeanSquareFValuePr>FA278.000000039.00000004.710.1187B140.500000040.50000004.890.1139C2402.6666667201.333333324.320.0140第十四页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》15结果tTests(LSD)forpropNOTE:ThistestcontrolstheTypeIcomparisonwiseerrorrate,nottheexperimentwiseerrorrate.Alpha0.05ErrorDegreesofFreedom3ErrorMeanSquare8.277778CriticalValueoft3.18245LeastSignificantDifference7.4761Meanswiththesameletterarenotsignificantlydifferent.tGroupingMeanNAA30.33332AA25.33331AA23.33333第十五页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》16结果

tGroupingMeanNBA29.33331AA24.83362

tGroupingMeanNCA35.66731B23.00032BB20.33333第十六页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》17第十七页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》18第十八页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》19第十九页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》20第二十页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》21§补充

组合法

在试验工作中，力求通过尽可能少的试验次数并获得得与其相当的效果。在用正交试验设计安排试验时，减少试验次数的有效方法就是把两个或两个以上的因素组合起来当作一因素看待。组合成的这个因素叫组合因素，采用组合因素法时，安排试验和试验结果分析的方法和一般正交试验相同。第二十一页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》22

如果在一个试验中采用q水平正交表安排试验，而考察的因子除有q水平的因子外，还有水平数小于q的两个因子，且这两个因子间无交互作用，它们的自由度之和又恰好是q-1，那么可以采用组合法来安排试验。第二十二页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》23例

考察四个因子，其中A、B为二水平因子，C、D为三水平因子，各因子间无交互作用。一、试验设计1、选正交表 由于有三水平因子又有二水平因子，因此考虑用三水平正交表来安排试验。

fA+fB+fC+fD=1+1+2+2=6

故选n=9的正交表。第二十三页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》242、用将两个二水平因子“组合”成一个三水平因子 两个二水平因子的自由度之和有四对，从中选择三对，把这三对看成为一个组合因子的三个水平。在本例中，令第一列的1、2、3分别对应组合因子AB的如下三个水平：

1A1B12A1B23A2B1

经过这样的改造，试验不在具有正交性，因为而水平因子的两个水平参与的试验次数不等。第二十四页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》253、表头设计 把组合因子置于一列，两个三水平因子各置一列。在本例中采用如下的表头设计：表头设计ABCD列号1234第二十五页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》26三、方差分析yijkl

=+ai+bj+ck

+dl+

ijkli,j=1,2;k,l=1,2,3约束条件：

2a1+a2=0,2b1+b2=0,c1+c2+c3=0,d1+d2+d3=0ijkl独立同分布(i.i.d.),服从N(0,2)第二十六页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》27平方和的计算1、按L9(34)计算各列的平方和，对三水平因子而言SC

=S2SD=S4;2、二水平因子A与B的平方和按L9(34)第一列的水平号把数据分为三组，分别对应水平组合A1B1、A1B2

、A2B1一二水平组合因子A均取一水平，它们的差异除了误差外反映了因子B的两个水平对指标的影响；一三水平组合因子B均取一水平，它们的差异除了误差外反映了因子A的两个水平对指标的影响第二十七页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》28二水平因子平方和及自由度的计算：其中但是第二十八页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》29利用数据结构式得：从而第二十九页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》303、误差平方和

用空白列的平方和表示误差平方和，即Se=S3,fe=2第三十页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》31处理组合号ABCD试验结果1‘1”1234Yij1234567891111112221112221111112223331231231231232313121233122315815107178514T1T2T328282823272627343420323327463030T=89S0.1769.56134.894.228.22第三十一页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》32程序

datach45example;

inputABCDprop;

cards;1111511228113315221310222172232172112821235213114;Run;proc

glm

data=ch45example;classABCD;modelprop=ABCD;lsmeansABCD/t;run;第三十二页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》33SourceDFTypeIIISSMeanSquareFValuePr>FA10.16666670.16666670.080.8051B18.16666678.16666673.870.1881C2134.88888967.444444431.950.0304D28.22222224.11111111.950.3393第三十三页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》34

检验利用的是所谓第三类平方和（TypeIIISS），又叫偏平方和，它代表在只缺少了本变量的模型中加入本变量导致的模型平方和的增加量。比如，HEIGHT的第三类平方和即现在的模型平方和减去删除变量HEIGHT的模型的模型平方和得到的差。第三类平方和与模型中自变量的次序无关，一般也不构成模型平方和的平方和分解。

第三十四页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》35方差分析表来源平方和自由度均方和F比A0.1710.17B8.1718.17C184.89267.45D8.2224.11e4.2222.11T156.898MSA<MSe，故因子A不显著。第三十五页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》36

因子A不显著，第一列可以认为是用拟水平法仅安置了B，用拟水平法重新计算因子B的平方和，这时第三十六页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》37程序

datach45example;

inputABCDprop;

cards;1111511228113315221310222172232172112821235213114;Run;proc

glm

data=ch45example;

classBCD;

modelprop=BCD;lsmeansBCD/t;run;第三十七页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》38SourceDFTypeIIISSMeanSquareFValuePr>FB19.38888899.38888896.420.0852C2134.88888967.444444446.100.0056D28.22222224.11111112.810.2053第三十八页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》39方差分析表来源平方和自由度均方和F比B9.3919.396.43C134.89267.4546.2D8.2224.112.89E’4.3931.46T156.898F0.95(1,3)=10.1,F0.95(2,3)=9.55，F0.90(2,3)=5.54在a=0.05时因子C是显著的，在a=0.10时因子B是显著的。第三十九页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》40程序

datach45example;

inputABCDprop;cards;1111511228113315221310222172232172112821235213114;Run;proc

glm

data=ch45example;

classBC;

modelprop=BC;lsmeansBC/t;run;第四十页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》41R-SquareCoeffVarRootMSEpropMean0.91961816.059951.5881519.888889第四十一页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》42最佳水平的选取综上，最佳水平组合为B2C3.在水平组合B2C3

下，均值的点估计为：求B2C3下均值的置信区间。因子D不显著，所以第四十二页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》43关于组合因子表头设计这两个因子间无交互作用，它们的自由度之和又恰好是q-1，那么可以采用组合法来安排试验。组合的方式可以有多种。例4.5.5设因子A为三水平因子，因子B为二水平因子，若这两个因子没有交互作用，那么因为可以将它们组合成一个四水平因子。1A1B12A1B23A2B24A3B1第四十三页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》441A1B12A1B23A2B14A3B1一二水平组合因子A均取一水平，它们的差异除了误差外反映了因子B的两个水平对指标的影响；一三四水平组合因子B均取一水平，它们的差异除了误差外反映了因子A的三个水平对指标的影响也可以换成另一种组合方法：1A1B12A1B23A2B24A3B2一二水平组合因子A均取一水平，它们的差异除了误差外反映了因子B的两个水平对指标的影响；二三四水平组合因子B均取二水平，它们的差异除了误差外反映了因子A的三个水平对指标的影响第四十四页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》45课后作业P178exe6第四十五页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》46第四十六页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》47程序

datach45exe6;

inputABCDprop;

cards;111116012121521321145.5222115923111521121383312134.53121143.13211152;Run;proc

glm

data=ch45exe6;

classABCD;modelprop=ABCD;lsmeansABCD/t;run;第四十七页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》48结果TheGLMProcedureDependentVariable:propSumofSourceDFSquaresMeanSquareFValuePr>FModel6568.140000094.69000003.410.2439Error255.502222227.7511111CorrectedTotal8623.6422222R-SquareCoeffVarRootMSEpropMean0.9110033.5484915.267932148.4556SourceDFTypeISSMeanSquareFValuePr>FA2136.335555668.16777782.460.2893B2169.268888984.63444443.050.2469C12.49388892.49388890.090.7926D1260.0416667260.04166679.370.0922第四十八页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》49结果SourceDFTypeIIISSMeanSquareFValuePr>FA2136.335555668.16777782.460.2893B2169.268888984.63444443.050.2469C144.826666744.82666671.620.3316D1260.0416667260.04166679.370.0922SourceDFTypeISSMeanSquareFValuePr>FA2136.335555668.16777782.460.2893B2169.268888984.63444443.050.2469C12.49388892.49388890.090.7926D1260.0416667260.04166679.370.0922第四十九页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》50结果

LSMEANBpropLSMEANNumber1143.92777812151.22777823140.8944443TheGLMProcedureLeastSquaresMeansLSMEANApropLSMEANNumber1149.39444412146.56111123140.0944443第五十页，共五十五页。2014/09《统计试验设计》51结果

H0:LSMean1=LSMean2CpropLSMEANtValuePr>|t|1148.0833331.270.33162142.616667