平面向量的物理背景及其含义课件

平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含1定义：

一般地，实数λ与向量a

的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个2运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数3已知两个非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=4我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生5已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。已知两个非零向量a与b，它们的定规定:零向量6向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜

90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什7重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地8解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos129a·b的几何意义：OABθ|b|cosθabB1等于的长度与的乘积。a·b的几何意义：OABθ|b|cosθabB1等于的长10练习：1．若a=0，则对任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．211二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三12

则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)则ONMa+bbac13例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（214例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（215例4、的夹角为解:例4、的夹角为解:16平面向量的物理背景及其含义课件17作业：作业：183、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°3、用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示19平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含20定义：

一般地，实数λ与向量a

的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa

的方向与a方向相同；当λ<0时,λa

的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个21运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数22已知两个非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=23我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生24已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

a·b=|a||b|cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的数量积是一个数量。已知两个非零向量a与b，它们的定规定:零向量25向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜

90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什26重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地27解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos1228a·b的几何意义：OABθ|b|cosθabB1等于的长度与的乘积。a·b的几何意义：OABθ|b|cosθabB1等于的长29练习：1．若a=0，则对任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．230二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三31

则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)则ONMa+bbac32例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求