正交试验结果的统计分析方法

第二章

正交试验结果的统计分析方法第1页，共66页。§2－1试验数据构造模型一、单因素试验方差分析的数学模型（一）数学模型试验误差对每一次试验来说式一个不确定的量（数学上称为随机变量）。但在多次试验中它式有一定规律的。第2页，共66页。第3页，共66页。第4页，共66页。第5页，共66页。（二）参数估计第6页，共66页。第7页，共66页。例2－1考察温度对一化工产品的得率的影响，选了五种不同的温度，同一温度做了三次试验，结果如下：AA1A2A3A4A5温度(℃)6065707580得率(%)平均得率979684849396838688929388829094958584表2－1测定结果第8页，共66页。第9页，共66页。

对其它数据也进行类似分解，通过对数据的分解，可以看到分组因素（温度）影响的大小和试验误差的大小。第10页，共66页。第11页，共66页。（三）统计检验第12页，共66页。第13页，共66页。第14页，共66页。第15页，共66页。二、正交试验方差分析的数学模型(一)数学模型根据一般线性模型的假定,若9次试验结果(如例111中的转化率)以x1、x2,…,x９表示,我们首先假定:(1)三个因素间没有交互作用。(2)为9个数据可分解为:x1=μ+a1+b1+c1+ε1x2=μ+a1+b2+c2+ε2x3=μ+a1+b3+c3+ε3x4=μ+a2+b1+c2+ε4x5=μ+a2+b２+c3+ε5第16页，共66页。x6=μ+a2+b3+c1+ε6x7=μ+a3+b1+c3+ε7x8=μ+a3+b2+c1+ε8x9=μ+a３+b３+c２+ε9其中:μ——一般平均;估计=∑xi=x1+x2+……+x9叫全部数据的总体平均值。a1、a2、a3表示A在不同水平时的效应。b1、b2、b3表示B在不同水平时的效应。c1、c2、c3表示C在不同水平时的效应。(3)各因素的效应为零,或者,各因素的效应的加和为零∑ai=0∑bi=0∑ci=0第17页，共66页。

(4){εi}是试验误差,它们相互独立,且遵从标准正态分布N(0,1),所以多个试验误差的平均值近似等于零。(二)参数估计有了数学模型,还应通过子样的实测值,对以上的各个参数作出估计。由数理统计知识E（）＝μE（）——表示的数学期望。即，是μ的一个无偏估计量。可表示为：

第18页，共66页。§2－2正交试验的方差分析法一、方差分析的必要性

极差分析不能估计试验中以及试验结果测定中必然存在的误差大小。为了弥补这个缺点，可采用方差分析的方法。 方差分析法是将因素水平（或交互作用）的变化所引起的试验结果间的差异与误差波动所引起的试验结果间的差异区分开来的一种数学方法 所谓方差分析，就是给出离散度的各种因素将总变差平方和进行分解，而你还进行统计检验的一直数学方法。第19页，共66页。二、单因素方差分析法（以例2－1为例）方差分析法的基本思路：（1）由数据中的总变差平方和中分出组内变差平方和、组间变差平方和，并赋予它们的数量表示；（2）用组间变差平方和与组内变差平方和在一定意义下进行比较，如两者相差不大，说明因素水平的变化对指标影响不大；如两者相差较大，组间变差平方和比组内变差平方和大得多，说明因素水平的变化影响很大，不可忽视；（3）选择较好的工艺条件或进一步的试验方向。第20页，共66页。第21页，共66页。第22页，共66页。第23页，共66页。第24页，共66页。第25页，共66页。第26页，共66页。第27页，共66页。方差来源变差平方和自由度平方差平方和F临FA显著性ASA=303.6475.93.515.18**eSe=50.0105.06.0总和第28页，共66页。第29页，共66页。三、正交试验的方差分析（一）无交互作用情况（以例1－1为例）

A温度（℃）1

B时间（Min）

2

C用碱量（x%）3

4转化率（x%）1 1(80℃)1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃)2(120Min) 2(6%)25431(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃) 2(120Min)3(7%) 14962(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 25783(90℃)2(120Min) 1(5%) 36293(90℃)3(150Min) 2(6%) 164列号试验号第30页，共66页。第31页，共66页。

A温度（℃）1

B时间（Min）

2

C用碱量（x%）3

4转化率（x%）1 1(80℃) 1(90Min)1(5%) 1312 1(80℃) 2(120Min) 2(6%)2543 1(80℃) 3(150Min) 3(7%) 3384 2(85℃) 1(90Min) 2(6%) 3535 2(85℃)2(120Min)3(7%) 1496 2(85℃)3(150Min) 1(5%) 2427 3(90℃)1(90Min) 3(7%) 2578 3(90℃)2(120Min) 1(5%) 3629 3(90℃)3(150Min) 2(6%) 164K1123141135144K2144165171153K3183144144153Qi23118226142273422518Si61811423418列号试验号1.总平方和等于各列的平方和第32页，共66页。方差来源变差平方和自由度平方差平方和F临FA显著性ASA=618230934.3319*eSe=18294总和9848BSB=1142576.3399△CSC=234211713.009⊙方差分析表4列平方和刚好等于总平方和：S总=SA+SB+SC+Se第33页，共66页。第34页，共66页。（二）有交互作用的正交试验的方差分析 当任意两因素之间(如A与B）存在交互作用而且显著时，则不论因素A、B本身的影响是否显著，A和B的最佳因素都应从A与B的搭配中去选择 例2－2某分析试验，起测定值受A、B、C三种因素的影响，每因素去两个水平，由于因素间存在交互作用，在设计试验方案时，可选用L8(27)表，试验安排结果如表（试验指标要求越小越好）第35页，共66页。因素试验号12345678K1K2QiSiA1B1A×B3C4B×C6误差7试验指标（经简化后）A×C511112222-506.253.12511221122+10-1581.2578.125112222110-56.253.12512121212-4035706.25703.1252121212120-25256.25253.1512211221-506.253.125122121125-1031.2528.12505-100-520-1510正交试验结果计算表第36页，共66页。第37页，共66页。方差来源平方和自由度均方F

FA显著性方差分析表BCA×CAA×BB×C误差总和78.125703.125253.1253.1253.1253.12528.1251071.8751111111778.125703.125253.1258.37525F0.05(1,4)=7.1

F0.01(1,4)=21.2*****第38页，共66页。

结果表明B、C、A×C对试验结果影响最大，B可取B2，而A和C见存在显著的交互作用，可通过二元表和二元图来确定其最优水平ACA1A2C1 -10 -20C2 5 30由图可知，A2C1最好,故最佳试验条件为A2B2C1，这正好是第7号试验。事实上，从试验结果看，它的效果也最好。20100-10-20-30-40A1 A2指标AC1C2第39页，共66页。说明：对二水平因素，平方和的计算有一个简单的公式设计算方法对任何二水平的因素都是适用的，设共做了n次试验，某一列是二水平，相应的K值是K1和K2则该列的平方和S为:

第40页，共66页。例2－3某一种抗菌素的发酵培养基由黄豆饼粉、蛋白胨、葡萄糖、碳源1号、、无机盐1号等组成。现打算对其中五个成分的最适配比，以及最适装量，按三种水平进行试验，并将其两个成分（黄豆饼与蛋白胨）合并为一个因素，这样构成一个五因素三水平试验。需考虑的交互作用有A×B、A×C、A×E。因素—水平表如表2－9所示。因素水平黄豆粉＋蛋白胨葡萄糖KH2PO4碳源1号装量E(ml/250ml三角瓶)A（％）B（％）B(%)D10.5+0.54.500.53021＋16.50.011.56031.5+1.58.50.032.590第41页，共66页。列号12345678910111213表头设计ABA×BCA×CEA×ED试验方案及结果分析见表2－10第42页，共66页。§2－3有重复试验的方差分析

正交试验中有重复试验的方差分析同单因素有重复试验的方差分析方法基本相同。在无重复的试验中，我们把空列的平方和作为误差的平方和，其中既包括有试验误差，也包含有模型误差。称为第一类误差平方和，记为Se1，在重复试验中，还有第二类误差平方和，记为Se2，定义如下：第43页，共66页。第44页，共66页。例2－4某厂进行硅橡胶工艺参数试验，指标为老化前的抗拉强度，因素水平如表2－12所示。因素

水平A第一阶段硫化温度B第一阶段硫化时间C硫化压力D第二阶段保温温度1130℃20（分）按压强计算表压150℃保温1小时生至250℃保温4小时2143℃15（分）以模具闭合为准150℃保温1小时升至250℃保温6小时第45页，共66页。表头设计(因素)ABA×BCA×DD列号1234567需考虑的交互作用有A×B，A×D，每次试验重复四次，表头设计如下：第46页，共66页。表2－14方差分析表第47页，共66页。

结论：方差分析的结果表明，C、D对指标影响不显著，且C不涉及交互作用，依节方便的原则取C1.而A、B、D的最优水平，通过作二元表及二元图选出。二元表及二元图如下:ABA1A2B1-33.613.9B216.89.05ADA1A2D1-20.3543.5D23.55-20.1第48页，共66页。从二元表及二元图知，对A×B，好的搭配为A2B2对A×D，好的搭配为A2D1综合考虑A、B、D三因素应取水平搭配为A2D1B1C1.故，选出的最优条件为A2D1B1C1第49页，共66页。

因为重复试验能大大提高试验的精度，所以在条件许可时，应尽可能安排重复试验。例2－5研究某三因素二水平体系，其取值如表2－15所示。试安排试验并从试验结果分析因素A、B、C及其交互作用对试验指标的影响。若有重复试验时，其结果又如何呢？选取L8(27)表安排试验，试验方案及结果计算如表2－16所示。因素水平ABC11.5Ⅰ型2.521.0Ⅱ型2.0第50页，共66页。因素(列号）实验号A1B2A×B3C4A×C5B×C67实验指标12345678-0.500-0.501.00.50K1K2RS-1.00.5000.5-1.00.51.500.50.501.502.50.50.50.50.52.50.50.78120.03120.03120.03120.03120.78120.0312

表2-16实验方案及结果计算表第51页，共66页。所以，整个试验的最佳水平组合为A2B1C1二元表及二元图如下0.500.250-0.25B1B2BC2C1指标第52页，共66页。表2－17方差分析表第53页，共66页。

如果对同一号的试验均重复一次或几次，显然可以提高试验的精确度。本例对所作的8次试验各重复一次，其试验