参数估计与假设检验练习题精

第5章参数估计与假设检验练习题1、设随机变量X的数学期望为从，方差为E,（X1,X2,•••,Xn）为X的一个样本，试比较e（1£（x-R）2）与e（1£（x—X）2）的大小。TOC\o"1-5"\h\zni ni=1 i=1（前者大于后者）2、设随机变量X与Y相互独立，已知EX=3,EY=4,DX=DY=o2，试问：k取何值时，Z=k（X2-Y2）+Y2是02的无偏估计。\o"CurrentDocument"(16/7 )3、设正态总体X〜N（从,o2），参数从，o2均未知，（X1，X2，…，Xn）（n>2）为简单随机样本，试确定C，使得心2=C£（X-X）2为02的无偏估计。i+1ii=112(n-1)4、假设总体4、假设总体X的数学期望为日，方差为o2，（xjx2，...,XJ为来自总体X的一个样本，X、S2分别为样本均值和样本方差，试确定常数C，使得X2-CS2为日2的无偏估计量.（1/n）TOC\o"1-5"\h\z5、设X1，X2是取自总体N（从，02）（从未知）的一个样本，试说明下列三个统计量1 3 1 1 1 1。=X+3X，!!=X+X，。=X+X中哪个最有效。14142 22122 33122（3 ）2

,Xn）为该6、设某总体X的密度函数为：于（x,0）=［而0<x>0,（X1,,Xn）为该0其它 12总体的样本，Y=max（X1,X,,…，X），试比较未知参数0的估计量4又与也士1丫哪n 12n 3 3nn个更有效?（n>1时，3n里Y更有效）3nn，宴x2=2720。求总体期望与i=，宴x2=2720。求总体期望与i=1i

i=1方差的矩估计@和cr2。TOC\o"1-5"\h\z（15；47 ）8、设总体X具有密度f（x;S）=fs©xYrx>C，其中参数0<S<1，C为已知常数，^ 0x<C且C>0，从中抽得一样本X1，X2，…，Xn，求参数S的矩估计量。（1—C/X，其中又=1£x ）nii=19、设总体X服从（0，S）上的均匀分布，其中S>0是未知参数，（X1，X2，八 八Xn）为简单随机样本，求出S的矩估计量s，并判断s是否为S的无偏估计量。（2X，其中X=1£x；是）nii=110、设（X10、设（X1，X2，，Xn）为总体X的一组样本，总体X密度函数为:1 2=^f（X;S）=L_1xg0<x<1,其中S>1且未知。试求该总体未知参数S的极大似然估计量。0其它(S=1_1£lnX)MLEn ii=1八、0（1_X）。-1,XG（0,1）11、设总体X的概率密度为f（X；0）=L' =二，其中0>0是未知参数，[0, X任（0,1）MLE£ln(1_X)i—i=1 £ln(1-X)-nMLE£ln(1_X)i—i=1 £ln(1-X)-nii=1£ln1(_x)

i(S= i=1MLE'V'£ln1(_x)_nii=112、设样本X1，X2，…，Xn为取自分布密度为f（x）的总体，其中f（x）=产X0T'-S-:0（r已知），S>0，求参数S的极大似然估计。(S(S=-，其中X=1£xMLEx nii=1S=-，其中X=1£x

mleX nii=113、已知某地区各月因交通事故死亡的人数为3,4,3,0，2,5,1，0，7,2,0，3。若死亡人数X服从参数为入的Poisson分布，求：（1）入的极大似然估计值；（2）利用（1）的结果求P（X>2）。人( (1)XMLE=2.5； (2)0.4562)14、设(X1，X2X）为总体X的一组样本，总体X密度函数为：f（X;。）=—e14、设(X1，X2（参数。未知，且。>0）,（1）试求未知参数。的极大似然估计量；（2）检验其无偏性。（ （1）?一牛」；（2）无偏估计量）MLEn ii=1X—"x2" 八15、设总体X密度函数为：f（x⑼=|五e谓x>0，（参数s>0且未知），取样本

、0其它，其中x=1E

ni=1X.，其中x=1E

ni=1X.)=—EX2mle22ni

■i=1量。16、设总体X具有密度函数f（X;S）量。16、设总体X具有密度函数f（X;S）=卜sx"I0取自总体X的一组样本（X1，x2八sME其中x=1Ex.

ni=10<X<1其它Xn），人sMLE（其中s为未知参数，且求S的矩估计量和极大似然估计EInXii=1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"17、设随机变量X〜f（x）=fxe1xx>0（未知参数>>0），且EX=h。取样本（X，0x<0 1X2，…，Xn），求总体期望h的矩估计量和极大似然估计量，并检验其无偏性。(、=X，其中X=1eX，无偏；父 =2X2，其中X=1Ex，ME ni MLE nii=1 i=14一一6EX =2EX2=—hwH，有偏)\o"CurrentDocument"mle nX18、作n次独立重复试验，观察到事件A发生了m次，试证明P（A）=p的矩估计和极大似然估计均为m/n。19、方差o2已知，置信度为1—a，为使正态总体均值从的置信区间长度不大于L,样本容量至少为多少？（不小于QU2 的最小正整数）La/220、设总体X〜N（从,102）（从未知），若要使从的置信度为0.95的双侧置信区间的长度为4,求样本容量n最小应为多少？（97 ）21、由总体X〜N（H,o2）（o2未知）取得一个样本X1，X2，…，X9，计算出x=10，1寸（X—10）2=2，试求H的双侧置信区间（a=0.05）。i=1（（8.847,11.153））22、从一批钉子中随机抽取16枚，测得平均长度为2.125cm，样本标准差为0.01713cm，假设钉子的长度X服从方差为0.012的正态分布，求总体X的均值从的置信度为90%的置信区间（计算结果保留小数点后三位有效数字）。（（2.121,2.129））23、从一大批电子元件中随机抽取100只，测得元件的平均寿命为1000小时，如果电子元件的寿命服从正态分布，且均方差o=40小时，求a=0.05时，电子元件平均寿命的置信区间。((992.16,1007.84))24、设总体X容量为4的样本为0.5,1.25,0.8,2.0,已知Y=lnX服从正态分布N(从,1),(1)求总体X的数学期望；(2)求r的置信度为95%的置信区间。TOC\o"1-5"\h\z( (1)e"2； (2)(-0.98,0.98) )25、假设钢珠的直径服从正态分布，现从钢珠的生产线中抽取容量为9的样本(单位：mm)，测的直径的平均值x=31.05,s2=0.252，试求：总体e和02的双侧置信区间(a=0.05；t(8)=2.306,On(9)=1.8333，%2(9)=3.325,%2(9)=16.919,x2(8)=17.535,0-025 0.05 0.95 0.05 0,025%2(8)=2.18)。0.975( (30,858,31.242) ； (0.0285,0.2294) )26、设总体X〜N(h,02)，参数h,02均未知，(X1,X2,・・・，Xn)为简单随机样本，1X=—Nx,W2=2L(X-X)2，若假设H0：h=0,H1：hw0。试写出假设检验时使用的统ni i 0 1i=1 i=1计量的表达式。(T= X—，其中X=1EX,W2=E(X-X)2 )W/”(n-1) ni ii=1 i=127、设某批产品的某项质量指标服从正态分布，并且方差根为150,从该批产品中抽取容量为25的一组样本，并测得该项指标的平均值为1645(单位)，问是否可以认为这批产品得该项指标值为1600(单位)？(a=0.05；ta/2(24)=2.064,中0(1.96)=0.975,ta(25)=1.708)(U-检验法，双侧，接受H0,可以)28、某灯泡厂所生产的灯泡的使用寿命匕〜N(h,02)，如果生产正常时，h=2000(小时)，现在抽检25个灯泡后，得x=1832,s=498,试问生产是否正常(a=0.05)?（t-检验法，双侧，接受H0,正常）29、某食品厂用自动装罐机装罐头食品，规定当标准重量为250克，标准差不超过3克时，机器工作正常。每天定时检查机器情况。现抽取16罐，测的平均重量为252克，样本标准差为4克，假定罐头重量服从正态分布，试问该机工作是否正常（a=0.05）？（不正常）30、设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取25位考生的成绩，算得平均成绩为81.5分，标准差为15分。试问：在显著水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为85分？并写出检验过程。（t-检验法，双侧，接受H0，可以）31、设某校高中二年级的数学考试成绩服从正态分布，第一学期全年级数学考试平均分为80分，第二学期进行了教改，随机抽取25名学生的数学成绩，算得平均分为85分，标准差为10分。问：教改是否有效果（a=0.05）？（t-检验法，右侧，否定H0，接受耳，有效果）32、某工厂生产一种金属线，抗拉强度的测量值X〜N（从,E），且知从=105.6kg/mm2，现经过改进生产了一批新的金属线，从中随机地取10根作实验，测出抗拉强度值，并计算得均值 x=106.3kg/mm2，标准差s=0.8kg/mm2，问这批新线的抗拉强度是否比原来金属线的抗拉强度高（a=0.05）？（t-检验法，右侧，否定H0，接受耳，是）33、某工厂采用一种新的方法处理废水。对处理后的水测量所含某种有毒物质的浓度X（〜N （N,J）），测量10个水样，得到以下数据：x=17.10，s2=2.902。而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19。问新方法是否比老方法好（a=0.05，计算结果保留小数点后一位有效数字即可）？(t-检验法，左侧，否定H0,接受H1,是)34、某厂生产的电子元件寿命服从方差为o02=10000(小时2)的正态分布。现采用一种能提高元件效率的新工艺进行生产，并从生产线随机抽取26只元件测出其寿命的样本方差为s2=12000(小时2)，试根据显著性水平a=0.05，作如下显著性检验H0：©=%2，H "2 HZ2。(附：为2(25)=40.646―2(26) =41.