新高考数学专题42 圆锥曲线中的向量问题（教师版）

专题42圆锥曲线中的向量问题一、题型选讲题型一、有向量关系求圆锥曲线的离心率例1、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且，则椭圆离心率的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意可设，，线段中点为，且，可得为的重心，设，，由重心坐标公式可得，，，即有的中点，可得，，由题意可得点在椭圆内，可得，由，可得，即有.故答案为：.例2、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为______.【答案】【解析】因为直线过点，且斜率为所以直线的方程为：与双曲线联立消去，得设所以因为，可得代入上式得消去并化简整理得：将代入化简得：解之得因此，该双曲线的离心率故答案为：例3、（2019届全国100所名校最新高考模拟示范卷）椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为Fc,0，直线x−22y=0与【答案】3【解析】设A22y0,y0，∵AF⋅BF=0，即AF由①②得8c4−18a2c2+9a故答案为：32题型二、求向量数量积的范围例4、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．（1）求的周长；（2）在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求的最小值；（3）设点M在椭圆E上，记与的面积分别为S1，S2，若，求点M的坐标．【解析】（1）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则.所以的周长为.（2）椭圆的右准线为.设，则，在时取等号.所以的最小值为.（3）因为椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，则.所以直线设，因为，所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.由此得，则或.由得，此方程无解；由得，所以或.代入直线，对应分别得或.因此点的坐标为或.例5、(2018苏州暑假测试）如图，已知椭圆O：eq\f(x2,4)＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.(1)当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；(2)①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②求eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范围．【解析】(1)由题意B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(eq\r(3)，0)，当直线PM过椭圆的右焦点F时，则直线PM的方程为eq\f(x,\r(3))＋eq\f(y,－1)＝1，即y＝eq\f(\r(3),3)x－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8\r(3),7)，,y＝\f(1,7)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1))(舍)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),7)，\f(1,7))).(2分)连结BF，则直线BF：eq\f(x,\r(3))＋eq\f(y,1)＝1，即x＋eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，而BF＝a＝2，点M到直线BF的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),7)＋\r(3)×\f(1,7)－\r(3))),\r(12＋（\r(3)）2))＝eq\f(\f(2\r(3),7),2)＝eq\f(\r(3),7).故S△MBF＝eq\f(1,2)·BF·d＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),7)＝eq\f(\r(3),7).(4分)(2)解法1(点P为主动点)①设P(m，－2)，且m≠0，则直线PM的斜率为k＝eq\f(－1－（－2）,0－m)＝－eq\f(1,m)，则直线PM的方程为y＝－eq\f(1,m)x－1，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,m)x－1，,\f(x2,4)＋y2＝1))化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,m2)))x2＋eq\f(8,m)x＝0，解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8m,m2＋4)，\f(4－m2,m2＋4)))，(6分)所以k1＝eq\f(\f(4－m2,m2＋4)－1,－\f(8m,m2＋4))＝eq\f(－2m2,－8m)＝eq\f(1,4)m，k2＝eq\f(1－（－2）,0－m)＝－eq\f(3,m)，(8分)所以k1·k2＝－eq\f(3,m)·eq\f(1,4)m＝－eq\f(3,4)为定值．(10分)②由①知，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－m，3)，eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－eq\f(8m,m2＋4)－m，eq\f(4－m2,m2＋4)＋2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－m3－12m,m2＋4)，\f(m2＋12,m2＋4)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝(－m，3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－m3－12m,m2＋4)，\f(m2＋12,m2＋4)))＝eq\f(m4＋15m2＋36,m2＋4)，(12分)令m2＋4＝t>4，故eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(（t－4）2＋15（t－4）＋36,t)＝eq\f(t2＋7t－8,t)＝t－eq\f(8,t)＋7，(14分)因为y＝t－eq\f(8,t)＋7在t∈(4，＋∞)上单调递增，所以eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝t－eq\f(8,t)＋7>4－eq\f(8,4)＋7＝9，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范围为(9，＋∞)．(16分)解法2(点M为主动点)①设点M(x0，y0)(x0≠0)，则直线PM的方程为y＝eq\f(y0＋1,x0)x－1，令y＝－2，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x0,y0＋1)，－2)).(6分)所以k1＝eq\f(y0－1,x0)，k2＝eq\f(－2－1,－\f(x0,y0＋1))＝eq\f(3（y0＋1）,x0)，(8分)所以k1·k2＝eq\f(y0－1,x0)·eq\f(3（y0＋1）,x0)＝eq\f(3（yeq\o\al(2,0)－1）,xeq\o\al(2,0))＝eq\f(3（yeq\o\al(2,0)－1）,4（1－yeq\o\al(2,0)）)＝－eq\f(3,4)(定值)．(10分)②由①知，eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,y0＋1)，3))，eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(x0,y0＋1)，y0＋2))，(12分)所以eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(x0,y0＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(x0,y0＋1)))＋3(y0＋2)＝eq\f(xeq\o\al(2,0)（y0＋2）,（y0＋1）2)＋3(y0＋2)＝eq\f(4（1－yeq\o\al(2,0)）（y0＋2）,（y0＋1）2)＋3(y0＋2)＝eq\f(（7－y0）（y0＋2）,y0＋1).(14分)令t＝y0＋1∈(0，2)，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(（8－t）（t＋1）,t)＝－t＋eq\f(8,t)＋7，因为y＝－t＋eq\f(8,t)＋7在t∈(0，2)上单调递减，所以eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))＝－t＋eq\f(8,t)＋7>－2＋eq\f(8,2)＋7＝9，即eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PM,\s\up6(→))的取值范围为(9，＋∞)．(16分)例6、(2019苏州暑假测试）如图，已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－eq\r(2)的直线l与AF平行且与圆C2相切．(1)求椭圆C1的离心率；(2)若椭圆C1的短轴长为8，求eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值．【解析】(1)由题意得F(c,0)，A(0，b)，则kAF＝－eq\f(b,c).(2分)因为在y轴上截距为3－eq\r(2)的直线l与AF平行，所以直线l：y＝－eq\f(b,c)x＋3－eq\r(2)，即bx＋cy＋(eq\r(2)－3)c＝0.(4分)因为圆C2的圆心C2(0,3)，半径r＝1，直线l与圆C2相切，所以eq\f(|\r(2)c|,\r(b2＋c2))＝1，即eq\f(\r(2)c,a)＝1，所以e＝eq\f(\r(2),2).(6分)(2)因为椭圆C1的短轴长为8，所以2b＝8，即b＝4.因为a2＝b2＋c2，eq\f(\r(2)c,a)＝1，所以a＝eq\r(2)c,2c2＝b2＋c2.(8分)所以c＝b＝4，a＝4eq\r(2)，所以椭圆方程是eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.(10分)设P(x，y)，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PC2,\s\up6(→))＋eq\o(C2M,\s\up6(→)))·(eq\o(PC2,\s\up6(→))＋eq\o(C2N,\s\up6(→)))＝(eq\o(PC2,\s\up6(→)))2＋eq\o(PC2,\s\up6(→))·(eq\o(C2M,\s\up6(→))＋eq\o(C2N,\s\up6(→)))＋eq\o(C2M,\s\up6(→))·eq\o(C2N,\s\up6(→))＝(eq\o(PC2,\s\up6(→)))2＋eq\o(C2M,\s\up6(→))·eq\o(C2N,\s\up6(→))＝x2＋(y－3)2－1＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y2,16)))＋(y－3)2－1＝－y2－6y＋40＝－(y＋3)2＋49，又y∈[－4,4]，所以当y＝－3时，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最大值是49.(16分)题型二、由向量关系求参数的范围例7、(2019扬州期末）在平面直角坐标系中，椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(1,2)，左、右顶点分別为A，B，线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.(1)若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；(2)若直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，求λ的取值范围．【解析】由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(1,2)，,2a＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝1，,a＝2，))所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆M的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1且A(－2，0)，B(2，0)(3分)解法1(点参数法)(1)设P(x0，y0)，kPA＝eq\f(y0,x0＋2)，因为l1⊥PA，所以直线AC的方程为y＝－eq\f(x0＋2,y0)(x＋2)．同理直线BC的方程为y＝－eq\f(x0－2,y0)(x－2)．联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(x0＋2,y0)（x＋2），,y＝－\f(x0－2,y0)（x－2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－x0，,y＝\f(xeq\o\al(2,0)－4,y0))).又因为点P(x0，y0)在椭圆上，故eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1，所以eq\f(xeq\o\al(2,0)－4,y0)＝eq\f(4－\f(4,3)yeq\o\al(2,0)－4,y0)＝－eq\f(4,3)y0，所以点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x0，－\f(4,3)y0)).(6分)因为点C的横坐标为－1，所以x0＝1.又因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以y0＝eq\f(3,2)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(8分)(2)解法1设Q(xQ，yQ)，因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x0＋2＝λ（xQ＋2），,－\f(4,3)y0＝λyQ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xQ＝－\f(x0,λ)＋\f(2,λ)－2，,yQ＝－\f(4,3λ)y0.))因为点Q在椭圆M上，所以eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x0,λ)＋\f(2,λ)－2))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3λ)y0))eq\s\up12(2)＝1.又yeq\o\al(2,0)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,0),4)))，整理得7xeq\o\al(2,0)－36(λ－1)x0＋72λ－100＝0，解得x0＝2或x0＝eq\f(36λ－50,7).(14分)因为P为椭圆M上第一象限内一点所以0<eq\f(36λ－50,7)<2，解得eq\f(25,18)<λ<eq\f(16,9)，故λ的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,18)，\f(16,9))).(16分)解法2P为椭圆M上第一象限内由(1)可知直线AC的斜率为k＝－eq\f(x0＋2,y0)，直线AC的方程为y＝k(x＝2)，联方方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,3xi2＋4y2－12＝0，))得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，所以xAxQ＝(－2)xQ＝eq\f(16k2－12,4k2＋3)，故xQ＝eq\f(6－8k2,4k2＋3)＝eq\f(6－8·\f(（x0＋2）2,yeq\o\al(2,0)),4·\f(（x0＋2）2,yeq\o\al(2,0))＋3)＝eq\f(6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,4)xeq\o\al(2,0)))－8（x0＋2）2,4（x0＋2）2＋3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,4)xeq\o\al(2,0))))＝eq\f(－2（25x0＋14）,7x0＋50)，故λ＝eq\f(AC,AQ)＝eq\f(－x0＋2,\f(－2（25x0＋14）,7x0＋50)＋2)＝eq\f(7x0＋50,36).因为0<x0<2，所以λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,18)，\f(16,9))).解法2(线参数法)(1)设直线AP的斜率为k，P(x0，y0)．因为P为椭圆M上第一象限内一点，所以0<k<eq\f(\r(3),2)，所以kAP·kBP＝eq\f(y0,x0＋2)·eq\f(y0,x0－2)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),xeq\o\al(2,0)－4)＝－eq\f(3,4)，所以直线BP的斜率为－eq\f(3,4k).故直线AP，BP的方程分别为y＝k(x＋2)，y＝－eq\f(3,4k)(x－2)．联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋2），,y＝－\f(3,4k)（x－2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6－8k2,4k2＋3)，,y＝\f(12k,4k2＋3)))即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6－8k2,4k2＋3)，\f(12k,4k2＋3))).因为l1⊥PA，所以kAC＝－eq\f(1,k)，则直线AC的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋2)．因为l2⊥PB，所以kBC＝eq\f(4,3)k，则直线BC的方程为y＝eq\f(4,3)k(x－2)．联立言程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)（x＋2），,y＝\f(4,3)k（x－2），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8k2－6,4k2＋3)，,y＝\f(－16k,4k2＋3)，))即Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2－6,4k2＋3)，\f(－16k,4k2＋3))).(6分)因为点C的横坐标为－1，所以eq\f(8k2－6,4k2＋3)＝－1，解得k＝±eq\f(1,2).因为0<k<eq\f(\r(3),2)，所以k＝eq\f(1,2)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).(8分)(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，又直线AC的方程为y＝－eq\f(1,k)(x＋2)．联立方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,k)（x＋2），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得(3k2＋4)x2＋16x＋16－12k2＝0，所以－2·xQ＝eq\f(16－12k2,3k2＋4)，解得xQ＝eq\f(6k2－8,3k2＋4).因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(xC＋2,xQ＋2)＝eq\f(\f(8k2－6,4k2＋3)＋2,\f(6k2－8,3k2＋4)＋2)＝eq\f(16k2（3k2＋4）,12k2（4k2＋3）)＝1＋eq\f(7,12k2＋9).(14分)因为0<k<eq\f(\r(3),2)，所以λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,18)，\f(16,9))).(16分)例8、【2018年高考北京卷理数】已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，，，求证：为定值．【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（1）知，．直线PA的方程为．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．题型三、与向量有关的其它应用例9、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【解析】（1）设，则．两式相减，并由得．由题设知，于是．由题设得，故．（2）由题意得，设，则．由（1）及题设得．又点P在C上，所以，从而，．于是，同理，所以，故，即成等差数列．设该数列的公差为d，则．①将代入得，所以l的方程为，代入C的方程，并整理得，故，代入①解得，所以该数列的公差为或．例10、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|．【答案】（1）；（2）.【解析】设直线．（1）由题设得，故，由题设可得．由，可得，则．从而，得．所以的方程为．（2）由可得．由，可得．所以．从而，故．代入的方程得．故．二、达标训练1\【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】不妨设点在轴上方，联立得.因为是正三角形，所以.所以.故答案为：2、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，若，，则的离心率为___________.【答案】.【解析】：设双曲线的渐近线方程为，的方程为，设，直线的方程为，联立，可得，)，联立，可得，)，由，可得)，化为，①，可得，，即，化为，②由①②可得，则＝＝＝，故答案为：.3、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点，是直线与的一个交点，若，则__________.【答案】【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M，过Q向准线，垂足是N，∵抛物线，∴焦点为，准线方程为，∵，4、（2019·山东高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意可知，，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，，，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，，联立，得，根据韦达定理可得：，，由于，，则因为为定值，所以，解得，故存在点，且.5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】在平面直角坐标系中，已知焦点为的抛物线上有两个动点、，且满足，过、两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为.（1）求：的值；（2）证明：为定值.【解析】（1）设，，∵焦点，∴，，∵，∴消得，化简整理得，∵，∴，∴.∴（定值）.（2）抛物线方程为，∴，∴过抛物线、两点的切线方程分别为和，即和，联立解出两切线交点的坐标为，∴（定值）.6、(2017南京、盐城二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,b2)＝1经过点(b,2e)，其中e为椭圆C的离心率．过点T(1,0)作斜率为k(k＞0)的直线l交椭圆C于A，B两点(A在x轴下方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于M，N两点，求eq\f(AT·BT,MN2)的值；(3)记直线l与y轴的交点为P，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(TB,\s\up6(→))，求直线l的斜率k.【解析】(1)由点(b,2e)在椭圆C上，得eq\f(b2,8)＋eq\f(4e2,b2)＝1.因为e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(8－b2,8)＝1－eq\f(b2,8)，所以eq\f(b2,8)＋eq\f(4,b2)＝eq\f(3,2).(2分)又b2<a2＝8，解得b2＝4，所以椭圆C的标准方程是eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(4分)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，由对称性知N(－x0，－y0)，其中y1＜0.因为MN∥AB，所以eq\f(AT·BT,MN2)＝eq\f(－y1y2,4y\o\al(2,0)).(6分)直线AB的方程为y＝k(x－1)，直线MN的方程为y＝kx，其中k＞0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(