华科电气MATLAB大作业

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华中科技大学电气与电子工程学院

《MATLAB课程作业》

班级

学号

姓名

时间2014年12月25日

目录

一．概述(2)

二．设计要求(2)

三．设计分析(2)

1.系统的稳态误差理论分析

(3)

2.系统稳态误差仿真分析

(3)

3.阶跃响应仿真分析

(4)

四．根轨迹法设计相位滞后环节(9)

1.相位滞后环节设计

(9)

2.加入相位滞后环节的仿真分析

(10)

五．超前校正设计(11)

1．超前校正器设计(11)

2．超前校正仿真分析(13)

六．滞后校正设计(17)

1．滞后校正器设计(17)

2．仿真分析(18)

七．总结(20)

反馈控制系统设计—铣床控制系统设计

一．概述

铣床是指主要用铣刀在工件上加工各种表面的机床。通常铣刀旋转运动为主运动，工件和铣刀的移动为进给运动。它可以加工平面、沟槽，也可以加工各种曲面、齿轮等。铣床是用铣刀对工件进行铣削加工的机床。铣床除能铣削平面、沟槽、轮齿、螺纹和花键轴外，还能加工比较复杂的型面，效率较刨床高，在机械制造和修理部门得到广泛应用。

铣床的自动控制系统的设计直接影响到加工的精度，影响产品的工艺。所以，本文通过利用MATLAB和Simulink对铣床的控制系统做一个校正设计，使其具有相应的性能。

二．设计要求

1、单位斜坡输入2

1()Rss

作用下，速度误差不大于1

8；

2、阶跃输入时的超调量小于20%。

三．设计分析

用Visio画出一个简化的铣床闭环控制系统的方框图如图二所示。

Contoller

Gc(s)

PlantG(s)

+

-

+

+

++

D(s)

N(s)

R（s）

Desireddepth-of-cut

Y（s）

Actualdepth-of-cut

图1.简单的铣床闭环控制系统

图1中，D(s)为外部扰动，N(s)为测量噪声干扰。铣床的传递函数为：

2

()(1)(5)

Gssss=

++

首先，在没有控制器()CGs的情况下，看看系统的输出结果。

1.系统的稳态误差理论分析

系统的稳态误差为：

()1

()()()()()()1()1()

GsEsRsYsRsRsRsGsGs=-=-

=++

式中，2()(1)(5)Gssss=

++，21

()Rss

=。利用终值定理，系统斜坡响应的稳态误差为：

220

01

1(1)(5)15lim()lim()limlim2

(1)(5)22

1(1)(5)

sstsssssseetsEss

sssssssss→∞

→→→++=====++++

++显然速度误差52远大于1

8

，误差太大，不满足要求。

2.系统稳态误差仿真分析

用Simulink画出校正前的斜坡输入仿真图如图2所示。

图2.校正前的Simulink斜坡输入仿真

设输入斜坡为()rtt=，利用Simulink仿真，在同一示波器中记录了输入()rt和输出()yt的波形图。

为方便观察，把示波器中的曲线用MATLAB命令画出如图3所示。其中，画图代码如下：

curve=plot(ry(:,1),ry(:,2),'-g',ry(:,1),ry(:,3),'-r')set(curve(1),'linewidth',2)%设置曲线r(t)的粗细为2set(curve(2),'linewidth',2)%设置曲线y(t)的粗细为

2

legend('y(t)','r(t)')%设置曲线名称人r(t),y(t)xlabel('仿真时间（s）')%X坐标轴名称标注ylabel('幅值')%Y轴坐标轴标注title('稳态误差')%所画图的名称gridon%添加网格axis([025025]);%坐标范围控制set(gca,'xtick',[012...25]);set(gca,'ytick',[012...25]);

图3.校正前斜坡输入仿真结果

图3中红色为斜坡输入()rtt，绿色为输出()yt，为方便观察系统的稳态误差，把坐标控制在[0,25]区间，可以看出，在25S时，已经基本达到稳态，此时的误差可从图中得到约为2.5左右，可见与理论相符。

3.阶跃响应仿真分析

5

10152025

05

10

1520

25

仿真时间（s）

幅值

稳态误差

y(t)r(t)

图4.校正前系统的Simulink阶跃输入仿真

用同样的方法可以得到阶跃响应的仿真曲线如图5所示。

图5.校正前的阶跃输入仿真结果

从图5中可以大致的看出该系统的阶跃响应的各个性能指标。为了更加方便准确的获得阶跃响应的各个性能指标，下面利用传递函数和MATLAB代码仿真。代码如下：

5

10152025

00.2

0.4

0.6

0.8

1

仿真时间（s）

幅值

阶跃响应

y(t)u(t)

图6.无控制器时的阶跃输入仿真结果

num=[2];

den=conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5])G=tf(num,den)Gf=feedback(G,1);t=[0:0.01:20];u=1;plot(t,u,'-r');holdonstep(Gf,'-b')den=

1650G=

2s^

3+6s^2+5s

StepResponse

Time(seconds)

Amplitude

05

1015

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System:Gf

Peakamplitude:1.04Overshoot(%):3.75Attime(seconds):7.44

Continuous-timetransferfunction.

从图6中可以看出，在没有控制器时，系统的阶跃响应的超调量为3.75%，符合系统要求。但是，总体来说，由于系统的速度稳态误差太大,此系统需要改进。

由系统的传递函数

221

()(1)(5)5(1)(1)

5

Gsssssss=

=

++++可知，该系统为1型系统，根据系统的型别与稳态误差的关系可知，1型系统的单位斜坡响应稳态误差为1vessK=

，其中2

5

vK=为速度误差系数。所以，为减小系统的斜坡响应稳态误差，需要适当的增大vK的值。根据要求，要使稳态误差小于1

8

，也就是要求8vK>，则根

轨迹增益要求540vKK=>。

下面画出根轨迹增益为1的开环传递函数'1

()(1)(5)

Gssss=

++的根轨迹如图7所示。

图7.开环传递函数的根轨迹

画根轨迹代码如下：

RootLocus

RealAxis(seconds-1

)

ImaginaryAxis(seconds-1)

-20

-15-10-5

0510

-15-10

-5

5

10

15

System:GGain:30.7

Pole:0.00837+2.26iDamping:-0.00371Overshoot(%):101Frequency(rad/s):2.26

num=[1];

den=conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5]);G=tf(num,den);rlocus(G)

由图7可以看出，根轨迹过虚轴时的根轨迹增益约为30.7，所以，当根轨迹增益大于30.7时，系统不稳定，这与上面分析的540vKK=>矛盾。所以，只靠增大系统增益，并不能满足系统的性能要求。

根据上面分析，为使系统满足性能要求，必须要更进一步改进。首先，我们看到，为满足斜坡响应稳态误差的要求，则需要8vK>，即根轨迹增益540vKK=>，于是，我们不妨取10vK=，即根轨迹增益50K=来看看怎样改进这个新的系统。

四．根轨迹法设计相位滞后环节

为了使系统满足超调量小于20%的要求，在10vK=的前提下，采用根轨迹的方法来设计滞后环节，使其满足要求。

1.相位滞后环节设计

滞后环节的传递函数为

()cKsz

Gssp

α+=

+

于是有

()20

111lim1()()lim()()8

sccsaEssssGsGssGsGs→→=?

?=

将()cGs，()Gs代入易得

21085vKz

Kp

α=

=>下面画出开环传递函数2

()(1)(5)

Gssss=

++的根轨迹如图所示。

画根轨迹代码如下：num=[2];

den=conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5]);G=tf(num,den);rlocus(G);gridon

图8.校正前系统根轨迹

根据超调量低于20%，则要求阻尼比大于0.45。为留足够裕度，于是取阻尼比为0.6。由图8可知，当阻尼比为0.601时，系统的增益为1.35，即1.35K

α

=。

于是根据2105vKz

Kp

α==可以得到

18.52z

p

=取0.01z=，则

0.00054p=

RootLocus

RealAxis(seconds-1)

ImaginaryAxis(seconds-1)

-20

-15

-10

-5

5

10

-15-10

-5

510

15

0.16

0.340.5

0.64

0.76

0.86

0.940.9852.5

5

7.5

10

12.5

15

17.5

200.16

0.340.50.640.760.860.94

0.985System:GGain:1.35

Pole:-0.436+0.58iDamping:0.601

Overshoot(%):9.43Frequency(rad/s):0.726

于是滞后环节的传递函数为

()0.01

1.350.00054

cKszsGsspsα++=

=++

于是，整个系统的传递函数为

()()()()()

20.012.7(0.01)

()1.35

150.00054150.00054cssGGsGsssssssss++===++++++（）

2.加入相位滞后环节的仿真分析

利用MATLAB程序可以获得新系统的阶跃响应如图9所示。

图9.加入滞后环节后的阶跃响应

仿真代码如下：num=2.7*[1,0.01];

den=conv(conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5]),[1,0.00054]);G=tf(num,den)Gf=feedback(G,1);

StepResponse

Time(seconds)

Amplitude

0246

81012

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

System:Gf

Peakamplitude:1.11Overshoot(%):11.3Attime(seconds):5.66

t=[0:0.01:20];u=1;plot(t,u,'-r');holdonstep(Gf,'-b')

由图9可见，系统的阶跃响应超调量为11.3%，小于20%，满足要求。

五．超前校正设计

1．超前校正器设计

取根轨迹增益50K=后，我们画出新的传递函数的波特图如图10所示。

图10.

10vK=时的波特图

画波特图的代码如下：num=[50];

den=conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5]);G=tf(num,den);bode(G)

-100-50

50

100

Magnitude(dB)

System:G

Frequency(rad/s):2.98Magnitude(dB):-0.787

10

-210

-1

10

10

1

10

2

-270

-225-180-135

-90System:G

Frequency(rad/s):2.99Phase(deg):-192

Phase(deg)

BodeDiagram

Frequency(rad/s)

gridon;

从图10中可以看出，当幅频响应中增益为0时，此时对应的相位为192?-。明显，192180??-<-，所以系统不稳定。所以，为使10vK=时系统稳定，我们可以引入超前

校正环节，来改变系统零极点的分布，从而改变根轨迹，增大幅频响应为0时的相位。校正环节的传递函数为

()1αs

s1s

cTGT+=

+下面，主要是确定α，T的大小。

根据要求，系统的阶跃响应超调量小于20%，所以，根据相位裕度

100PMξ=

可知，相位裕度为45?，为留足够裕度，则系统相位需提前大约=80θ?；根据

1

sin1

αθα-=

+于是可以得到

130α=

幅频曲线上移大小为

10lg21.14MdBα?==

于是在原波特图图11中可以看到，当21.14MdB=-时的频率为7.87/mradsω=，所以可认为新系统的穿越频率为

7.87/mradsω=

根据1

mTωα

=

，可以得到1

0.01114mTωα

=

=；

于是，校正环节的传递函数为

1+αs1130*0.0111411.44821s10.0111410.0111)4(cTss

GTss

s++=

==

+++所以，整个系统的传递函数为1130*0.0111411.4482)

10.0111410.011145050('()()*(1)(5)1)(5))

((csssGsGsGsssssss++=+==

+++++

图11.10vK时的波特图

2．超前校正仿真分析

画出引入超前校正后系统的波特图和根轨迹如图12和图13所示。代码如下：num=50*[1.4482,1];

den=conv(conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5]),[0.0114,1]);G=tf(num,den);D=zpk(G);figure(1)bode(G)

BodeDiagram

Frequency(rad/s)

-100-50

50100

Magnitude(dB)

System:G

Frequency(rad/s):7.87Magnitude(dB):-21.3

10

-210

-1

10

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135-90

System:G

Frequency(rad/s):7.85Phase(deg):-230

Phase(deg)

gridon;figure(2)rlocus(G)DD=

6351.8(s+0.6905)s(s+87.72)(s+5)(s+1)

Continuous-timezero/pole/gainmodel.

图12.超前校正后系统的波特图

BodeDiagram

Frequency(rad/s)

-200-150-100-500

50Magnitude(dB)

System:G

Frequency(rad/s):7.74Magnitude(dB):0.0499

10

-110

10

1

10

2

10

3

10

4

-270

-225-180-135-90

-45System:G

Frequency(rad/s):7.78Phase(deg):-150

Phase(deg)

图13.超前校正后系统的根轨迹

从图12中可以看出，校正后系统的穿越频率约为5.1/mradsω=，对应的相位约为150?-，相位裕度为30?，系统稳定。同时，从图13中可以看出，校正环节引入后，系统分

别增加了一个零点和一个极点，从而改变了系统的跟轨迹。可以看到，

根轨迹通过虚轴时的根轨迹增益约为6351.8*6.5741731.326K==，所以，在要求的根轨迹增益50K=下，系统是稳定的，满足要求。

下面看看引入校正环节后的系统的斜坡响应和阶跃响应。利用前面的方法，仿真结果如下：

图14.超前校正后系统的Simulink斜坡输入仿真

-350

-300-250-200-150-100-50

050100150

-250-200

-150

-100

-50

50

100

150

200

250

System:GGain:6.57

Pole:-0.0835-21.2iDamping:0.00393Overshoot(%):98.8Frequency(rad/s):21.2

RootLocus

RealAxis(seconds-1

)

ImaginaryAxis(seconds-1)

图15.超前校正后系统斜坡输入仿真

图16.超前校正后系统阶跃输入仿真

0.51

1.5

22.53

00.5

1

1.5

2

2.5

3

仿真时间（s）

幅值

稳态误差

y(t)r(t)

StepResponse

Time(seconds)

Amplitude

00.511.522.53

0.5

1

1.5

System:Gf

Peakamplitude:1.4Overshoot(%):40.2Attime(seconds):0.392

从图15中可以看出，以为没有改变之前设定的增益vK值，斜坡响应的稳态误差为0.1，也就是11

10

ssveK=

=，与理论相符；但是从图6中可以看出，系统的阶跃响应虽然在校正后能够稳定，但是超调量达到40.2%，远大于要求的20%。所以该系统任然不可以使用，需要进一步改进。

下面，不妨采用滞后校正来试试能否满足要求。

六．滞后校正设计

1．滞后校正器设计

滞后校正环节的传递函数为()11cs

sGs

τβτ+=

+

根据前面分析，希望得到系统的阻尼比为0.45，于是需要相位裕度45?，为留足裕度，取需要引起的相位滞后量为60?。

图17.校正前系统的波特图

BodeDiagram

Frequency(rad/s)

10

-210

-1

10

10

1

10

2

-270

-225

-180

-135

-90

System:G

Frequency(rad/s):0.457Phase(deg):-120

Phase(deg)

-100-50

50

100

Magnitude(dB)

System:G

Frequency(rad/s):0.456Magnitude(dB):26

从图17中可以看出，当相位为120-?时，频率为0.457rad/s,所以，新系统的穿越频率大约为0.457/mradsω=，对应的幅频响应的增益为26dB。根据20lgMβ?=，可以得到2620lgβ=，从而19.95β=。同时，1

0.10.0457mωτ

==，可得21.88τ=。于是，

滞后校正环节的传递函数为

()1121.88121.881119.95*21.881436.5csss

Gsss

sτβτ+++=

==

+++于是，整个系统带的传递函数为

121.88121.88)

1435050('()()*(1)(5)(16.51)(5)(436.5)

cGGsGsssssssssss++=

++==

++++2．仿真分析

画出引入滞后校正器后的波特图和阶跃响应图如图18和图19所示。画图代码如下：num=50*[21.88,1];

den=conv(conv(conv([1,0],[1,1]),[1,5]),[436.5,1]);G=tf(num,den);

Gf=feedback(G,1);

t=[0:0.01:20];figure(1)bode(G)gridon;figure(2)u=1;plot(t,u,'-r');holdonstep(Gf,'-b')

图18.滞后校正后系统的波特图

图19.滞后校正后系统阶跃输入仿真

BodeDiagram

Frequency(rad/s)

-150-100

-50

50100

Magnitude(dB)

System:G

Frequency(rad/s):0.459Magnitude(dB):-0.0612

10

-410

-3

10

-2

10

-1

10