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文档简介

振型分解法以上讨论多自由度体系的自由振动和受迫振动是，质量的位移是以几何坐标来描述。振型分解法是以体系自由振动时的主振型为基底来描述质量的动位移，利用主振型的正交性，所得的运动方程将转变成n个相互独立的微分方程，其中，每个方程只对应一个振型的一种位移，相当于一个单自由度体系的振动。通常情况下体系的弹性矩阵或和质量矩阵并不是对角矩阵，所得的运动方程是一组相互耦联的微分方程。此时，求解一般动力荷载作用下或需考虑阻尼影响时的动力响应将十分困难。这种可以使微分方程解除耦联关系的坐标称为正则坐标，它是一种广义坐标。振型分解法也称为振型叠加法或正则坐标法。以两个自由度为例作如下说明。、为几何坐标的原始基底。质点的位移可用向量表示。若改用振型、为基底，位移向量表示为：其中，即，可缩写为，、称为以振型为基底的广义坐标（或正则坐标）。两个自由度体系在不考虑阻尼时，运动微分方程是：将坐标变换式代入得：将第一振型左乘(1)式两边得：其中，(1)(1)式可改写为：引入以下符号，称为对应于第一振型的广义质量、广义刚度和广义动力荷载。(2)(2)式可改写为：(3)第一振型相应的频率为：相同方法推广至第二振型或多自由度体系：相应的运动微分方程：按振型分解法计算教材P291例10-12。第一频率相应振型对体系的动力反应，远大于第二频率相应振型对体系的动力反应。振型分解法的意义：1、利用振型分解法，可使具有耦联关系的运动微分方程解耦。2、从广义坐标的角度分析，低频率相应振型对体系的动力影响远大于高频率相应振型对体系的动力影响。3、若有阻尼时，高频率反应衰减比低频率衰减迅速得多。在工程抗震设计中，只需考虑前几个振型对体系动力反应的贡献。§14-7计算频率的近似法1.能量法结构在振动过程中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量和速度而构成的动能，另一种是由于结构变形而储存的应变能。由能量守恒原理，结构在无阻尼自由振动过程中的任一时刻，其动能T和应变能之和应等于常数，即常数。

在最大振幅处，动能为0，应变能达到最大；在静力平衡位置，动能达到最大，应变能为0，则有，=常数，亦即，。

以梁为例，假设振动方程为则其速度为：动能为：(14-53)应变能为：（14-54）由得：

(14-55)如果结构上除分布质量m(x)外，还有集中质量，上式应为：(14-56)假设一个位移幅值函数y(x)代入上式求频率。通常可取结构在某个静荷载（如自重）作用下的弹性曲线作为y（x）的近似表达式。此时应变能可用外力功来代替，即则(14-57)2.集中质量法

在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。等

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