习题 充要条件 课时作业 Word版含解析

充要条件课时作业一、选择题1．“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若x(y－2)＝0，则x＝0或y＝2，x2＋(y－2)2＝0不一定成立，反之，若x2＋(y－2)2＝0，则x＝0且y＝2，一定有x(y－2)＝0，因此，“x(y－2)＝0”是“x2＋(y－2)2＝0答案：A2．“m＝1”是“函数y＝xm2－4m＋5为二次函数A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＝1时，y＝x1－4＋5＝x2，是二次函数；反之，若y＝xm2－4m＋5为二次函数，则m2－4m＋5＝2，即m2－∴m＝1或m＝3，因此，“m＝1”是“y＝xm2－4m＋5为二次函数”答案：A3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是()A．b≥0 B．b≤0C．b>0 D．b<0解析：由于函数y＝x2＋bx＋c的图像是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝－eq\f(b,2)，要使该函数在[0，＋∞)上单调，必须－eq\f(b,2)≤0，即b≥0，故选A.答案：A4．方程“ax2＋2x－1＝0至少有一个正实根”的充要条件是()A．－1≤a<0 B．a>－1C．a≥－1 D．－1≤a<0或a>0解析：a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0有一正根，排除A、D两项；a＝－1时，方程化为x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，x＝1>0.答案：C二、填空题5．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<26．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n答案：3或47．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①____________；充要条件②____________.(写出你认为正确的两个充要条件)解析：根据平行六面体的定义和性质可知，平行六面体的两组相对侧面分别平行，反之亦成立；平行六面体的一组相对侧面平行且全等，反之亦成立；平行六面体的底面是平行四边形，反之亦成立．从中任选两个即可．答案：底面是平行四边形两组相对侧面分别平行三、解答题8．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解：(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(1,a)<0，,Δ＝1－4a≥0，))⇒0<a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).9．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.证明：(充分性)当q＝－1时，a1＝S1＝p－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，且n＝1时也成立．于是eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p(p≠0且p≠1)，即{an}为等比数列．(必要性)当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．因为p≠0且p≠1，所以当n≥2时，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(pnp－1,pn－1p－1)＝p，又{a