线性变换练习题

线性变换复习练习题线性变换习题一、填空题1.设是P3的线性变换，(a,b,c)(2bc,a4b,3a)，a,b,cP，1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)是P3的一组基，则在基1,,下的矩阵为23_______________，又123P3,则()_________。2.设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间Pn的线性变换：()A，Pn，则dim1(0)＝，dim(Pn)＝。,,1123.设P上三维列向量空间V的线性变换在基3下的矩阵是201，则12121,,3下的矩阵是在基21。假如矩阵A的特点值等于，则队列式|AE|。4.211=15.设A=121，(X)AX是P3上的线性变换，那么的零度=。1126.若APnn，且A2E，则A的特点值为。7.在P[x]n中，线性变换D(f(x))f'(x)，则D在基1,x,x2,L,xn1下的矩阵为。在P22中，线性变换:A10在基10018.AE1,E2,2000000000E3,E4下的矩阵是。10013219.设A502的三个特点值为1，2，3，则1+2+3=，114=。12310.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间，1/10线性变换复习练习题它与同构。11.已知n阶方阵A知足A2A，则A的特点值为。12.已知3阶矩阵A的特点值为1,2,3,则|A|。13.设为数域P上的线性空间V的线性变换,假如单射,则1(0)=。14.设三阶方阵A的特点值为1,2,-2,则|2A|=。15.在P[x]n中，线性变换D(f(x))f'(x)，则D在基1,2x,3x2,L,nxn1下的矩阵为。aaa11a1213,16.已知线性变换在基1,2,3下的矩阵为a21a23，则在基3,1下的矩222aaa313233阵为。,,11217.设P上三维列向量空间V的线性变换3下的矩阵是201，则在基12121在基2,1,3下的矩阵是。18.设线性变换在基1,11在基2,2的矩阵为，线性变换1下的矩阵为01101,2下的矩阵为.，那么在基1119.已知n阶方阵A知足A2A，则A的特点值为。20.已知线性变换在基矩阵为在R3中，若向量组t。

aaa,,111213aaa3,2,1下的123下的矩阵为212223，则在基aaa313233。1(1,t1,0)，2(1,2,0)，3(0,0,t21)线性有关，则2/10线性变换复习练习题21122.若线性变换在基1,2,3下的矩阵为011，则在基3,2,1下的矩阵为121矩阵为。23.若APnn，且A2E，则A的特点值为。3/10线性变换复习练习题二、选择题1.以下哪一种变换必定是向量空间Fxn的线性变换（）。A．C．

fxfxxfxfx

B．fxfxdxD．fxf2xfx2.当n阶矩阵A合适条件（）时，它必相像于对角阵。A．A有n个不同样的特点向量B．A是三角矩阵C．A有n个不同样的特点D．A是可逆矩阵值3.设是向量空间V上的线性变换，且22，则的所有特点值为（）。A．2B．0，2C．0D．0，2，14.设是3维向量空间上的变换，以下中是线性变换的是（）。A．x1,x2,x3=132333B．x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3x,x,xC．x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0D．123=12,0,0x,x,xx5.设1,2,L,r是向量空间V的线性有关的向量组，是V的一个线性变换，则向量组,12,L,r在下的像(1),(2),L,(r)（）。A．线性没关B．线性有关C．线性有关性不确立D．所有是零向量6.n阶方阵A有n个不同样的特点值是A可以对角化的（）。A．充要条件B．充分而非必需条件C．必需而非充分条件D．既非充分也非必需条件7.设是向量空间V的线性变换且2，则的特点值（）。A．只有1B．只有1C．有1和1D．有0和118.假如方阵A与对角阵D1相像，则A10=（）。1A.EB.AC.ED.10E9.设A、B为n阶矩阵，且A与B相像，E为n阶单位矩阵，则（）。A．EAEBB．A与B有同样的特点向量和特点值C．A与B相像于同一个对角矩阵D．AB10.设4级矩阵A与B相像，B的特点值是1，2，3，4，则A的队列式是（）。A．-24B．10C．24D．不可以确立4/10线性变换复习练习题是n维线性空间V的线性变换,那么以下说法错误的选项11.设是（）。A.是单射Ker(){0}B.是满射Im()VC.是双射Ker(){0}D.是双射是单位照耀设A为3阶矩阵,且AE,AE,A2E均不可以逆,则错误的选项12.是（）。A.A不相像于对角阵B.A可逆C.|AE|0D.|AE|0设A为3阶矩阵,且其特点多项式为f()(1)(1)(2),则错误的选项是13.（）。A.A相像于对角阵B.A不可以逆C.|AE|0D.|AE|014.n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。A．有n个互不同样的特点向量B．有n个互不同样的特点根C．有n个线性没关的特点向量D.不存在n个互不同样的特点根15.设是3维向量空间上的变换，以下中是线性变换的是（）。A．x,x,x=x3,x3,x3B．x,x,x=2xx,x5x,6x12312312312233C．x1,x2,x3=cosx,x,0D．x1,x2,x3=x12,0,x321216.设是向量空间V上的线性变换，且2E，则的所有特点值为（）。A．2B．-1，1C．0D．0，2，117.n维线性空间V的线性变换可以对角化的充要条件是（）。A.有n个互不同样的特点向量B.有n个互不同样的特点根C.有n个线性没关的特点向量D．是可逆线性变换18.2.设矩阵A的每行元素之和均为1，则()必定是A23A2E的特点值。C.2D.319.设是3维向量空间上的变换，以下中是线性变换的是（）。A．23B．x1,x2,x3=2x1,x2x3,x3x2x1,x2,x3=x1,x2,x3C．x1,x2,x3=cosx12,sinx3D．123=x12,x2,0,sinxx,x,x20.设L(V)，则以下各式建立的是（）。A.dimImdimKernB.ImKerVC.ImKerVD.ImIKer{0}5/10线性变换复习练习题三、计算题设R[x]3表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式组成的线性空间，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一组基，线性变换知足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（）求在已知基下的矩阵；（2）设f(x)12x3x2，求f(x)。2.设是二维列向量空间P2x111的线性变换：设xP2，定义xx211

。x（1）求值域P2的基与维数；（2）求核1(0)的基与维数。1113.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222111（1）求矩阵A以及线性变换的特点值与特点向量；（2）判断能否可以对角化（即线性变换能否在某组基下的矩阵为对角形），若不可以对角化，说明原因；若可以对角化，求可逆1AT为对角形。阵T，使T1114.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，令A111，若R3，作变换222()A。（1）证明为R3上的线性变换；（2）求ker()及其维数；（3）求Im()及其维数。1215.设矩阵A000，000（1）求A的特点值和特点向量；（2）求可逆矩阵P，使P1AP为对角矩阵。110106.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，A011，10，21，121006/10线性变换复习练习题31）

100

。若11,22,31，证明1,2,3为R3的一组基；233,,（2）求1,2,3到123的过渡矩阵；（3）若R3，作变换()A，证明为R3上的线性变换；4）求ker()及其维数；5）求Im()及其维数。7.设是R3的线性变换,(x1,x2,x3)(x12x2x3,x2x3,x1x22x3)。（1）求ker()及其维数；（2）求Im()及其维数。1118.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222。111（1）求矩阵A以及线性变换的特点值与特点向量；（2）判断能否可以对角化（即线性变换能否在某组基下的矩阵为对角形），若不可以对角化，说明原因；若可以对角化，求可逆阵T，使T1AT为对角形矩阵。1119.令R3表示实数域R上的三元列向量空间，令A012，若R3，作变换123()A。（1）证明为R3上的线性变换；（2）求ker()及其维数；（3）求Im()及其维数。100,10.设12,3为V的基，且线性变换在此基下的矩阵为A350。361（1）求的特点值与特点向量；（2）求可逆矩阵T，使T1AT是对角矩阵。7/10线性变换复习练习题11211.设三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A011。101（1）求的值域及其维数；（2）求的核及其维数。设R[x]3表示实数域上的次数小于3的多项式，再添上零多项式组成的线性空间，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一组基，线性变换知足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（1）求在已知基下的矩阵；（2）设f(x)12x3x2，求f(x)。13.给定P3的两组基1(1,0,1),2(2,1,0),3(1,1,1)；1(1,2,1),2(2,2,1),3(2,11)。定义线性变换：ii,i1,2,3。（1）,,3到基1,2,3的过渡矩阵；写出由基12（2）写出在基1,2,3下的矩阵；,（3）写出在基1,23下的矩阵。32114.设线性变换在基1,2,3下的矩阵是A222,求可逆矩阵T,使得361T1AT为对角形矩阵。10115.设A020。101（1）求A的所有特点值；（2）求A的属于每个特点值的特点向量；（3）求一个可逆矩阵X，使X1AX为对角形。12216.设L(V)，且在V的基1,2,3下的矩阵A=224。问242能否可以对角化(2)若能对角化，求出V的一个基，使在此基下的矩阵为对角矩阵。17.设数域P上三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵A

460350。3618/10线性变换复习练习题（1）求在基1212,22123，3123下的矩阵；（2）设1223，求在基1,2,3下的坐标。9/10线性变换复习练习题四、证明题1.设是数域F上的n维向量空间V的线性变换，又1,2,,n是V的一个基，证明。VL1,2,Ln2.设，都是向量空间V的线性变换，S是，的不变子空间，证明S也是的不变子空间。3.设是数域P上线性空间V的线性变换且2。证明：（1）的特点值为1或0；（2）1(0){()|V}；（3）V1(0)(V)。4.设W1,W2是向量空间V的两个子空间，是V的一个线性变换，证明：若W1,W2都是的不变子空间，则W1W2也是的不变子空间。5.设是向量空间V的一个线性变换，W1,W2都是的不