数学同步练习题考试题试卷教案2007年高考重庆卷数学文科试卷含答案

一般高等学校招生全国一致考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题卷（文史类）共5页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，务必然自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的地址上。2.答选择题时，必定使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必定使用0.5毫米黑色铅字笔，将答案书写在答案卡规定的地址上。4.所有题目必定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参照公式：若是事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)若是事件A、B相互独立，那么P(A·B)P(A)·P(B)若是事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率()1k(1)nk(k0,1,2，)PkCnppn一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的。（1）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（A）2（B）3（C）4（D）82）设全集U＝|a、b、c、d|，A＝|a、c|，B=|b|，则A∩（CuB）＝（A）（B）{a}（C）{c}（D）{a,c}（3）垂直于同一平面的两条直线（A）平行（B）垂直（C）订交（D）异面（4）（2x-1）2张开式中x2的系数为（A）15（B）60（C）120（D）240（5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的（A）充分必要条件（B）充分但不用要条件（C）必要但不充分条件（D）既不充分也不用要条件（6）以下各式中，值为3的是2（A）2sin15cos15（B）cos215sin215（C）2sin2151（D）sin215cos215（7）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运初赛门票中任取3张，则所取3张中最少有2张价格相同的概率为（A）1（B）79（C）3（D）234120424（8）若直线ykx1与圆x2y21订交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为(A)-3或3（B）3（C）2或3（D）2（9）已知向量OA=（4，6），OB=（3，5），且OC⊥OA，AC∥OB，则向量OC=（A）32（B）243224,7,21（C）,（D）,7777721（10）设P（3，1）为二次函数f(x)ax22axb(x1)的图象与其反函数ff1(x)的图象的一个交点，则（A）a15（B）a152,b,b222（C）a15（D）a15,b22,b22（11）设3b是1a和1a的等比中项，则a+3b的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x3y40有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（A）32（B）26（C）27（D）42二、填空题：本题共4小题，每题4分，共16分，把答案填写在答题卡相应地址上。（13）在△ABC中，AB=1,BC=2,B=60°，则AC＝。2x3y6（14）已知x-y0则z3xy的最大值为。0，15）要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不相同的排法种数为。（以数字作答）（16）函数f(x)x22x2x25x4的最小值为。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设甲乙两人每次射击命中目标的概率分别为3和4，且各次射击相互独立。45（Ⅰ）若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率；（Ⅱ）若甲、乙各射击两次，求两命中目标的次数相等的概率。（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）2cos2x4已知函数。sin(x)2（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限且cosa3,求f（a）。5（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分。）如题（19）图，在直三棱柱ABC-A中，∠ABC＝90°，AB=1,BC=32在棱BB上，BD＝1；B3题（19）图（Ⅰ）异面直线A1D与B1C1的距离；（Ⅱ）四棱锥C-ABDE的体积。20.（本小题满分12分）用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。题（21）图（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直均分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。（22）（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn＞1，且6Sn(an1)(an2)1,nN.（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；（Ⅱ）设数列｛bn｝满足an2n11,并记Tn为｛bn｝的前n项和，求证：＞N.3T11log2(an3),n一般高等学校招生全国一致考试（重庆卷）数学试题（文史类）答案一、选择题：每题5分，满分60分。1）A（2）D（3）A（4）B（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）C11）B（12）C二、填空题：每题4分，满分16分。13）3（14）9（15）288（16）1+22三、解答题：满分74分解：（Ⅰ）设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，且P（A）＝3,P(B)4，从而甲命中但乙未命中目标的概率为45P(AB)P(A)P(B)34341.520（Ⅱ）设A1表示甲在两次射击中恰好命中k次，B1表示乙有两次射击中恰好命中l次。依题意有k2kP(A)Ck31,k0,1,2.1244l2lP(B)Cl41,l0,1,2.1255由独立性知两人命中次数相等的概率为P(A0B0)P(A1B1)P(A2B2)P(A0)P(B0)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)22C21·3·1·C32·4·12C22·421·1C22·345445545＝1134916＝193＝162542516254000.4825.(18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由sinx20得xk,即xk(kZ),22故f(x)的定义域为xR|xk,kZ.22（Ⅱ）由已知条件得sina1cos2a134.5512cos(2a)从而f(a)4sin(a2)12cosacos4sin2asin4＝cosa＝1cos2asina2cos2a2sinacosacosacosa＝2(cosasina)14.5（19）（本小题12分）解法一：（Ⅰ）由直三棱柱的定义知B1C1⊥B1D，又因为∠ABC＝90°，因此B1C1⊥A1B1，从而B1C1⊥平面A1B1D，得B1C1⊥B1E。又B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线14,由BDBB知BD31132在Rt△A1B1D中，A2D＝AB2BD2145.11133又因S△ABD11A1D·B1E.A1B1·B1D1122A1B1·B1D1·443故B1E=A1D5.53（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1C1⊥平面A1B1D，又BC∥B1C1，故BC⊥平面ABDE，即BC为四棱锥C-ABDE的高。从而所求四棱锥的体积V为V＝VC-ABDE＝1BC，3其中S为四边形ABDE的面积。如答（19）图1，过E作EF⊥BD，垂足为F。答（19）图1B1E2422在Rt△B1ED中，ED=B1D2416,3515又因S11△22故EF=B1E·DE16.B1D25因△A1AE的边A1A上的高hABEF1169,故112525S△A1AE＝1A1A·h1·2·99.222525又因为S△A1BD＝1A1B1·B1D1·2·42,从而2233S＝S△A1AE-S△A1AE-S△A1B1D＝2-9273.25375因此V1·S·BC1·73·373.33752150解法二：（Ⅱ）如答（19）图2，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O-xyz，则答（19）图2A(0,1,0),A1(0,1,2),B(0,0,0).B1(0,0,2),C1(3,0,2),D(0,0,2)23因此AA1(0,0,2),AB(0,1,0),BC1(2,0,0),AD(0,1,4).2313设E（3，y0，z），则BE(y,z,2)，0021因此BE·BC10,从而BC1BE.1111又由题设B1E⊥A1D，故B1E是异面直线B1C1与A1D的公垂线。下面求点E的坐标。因B1E⊥A1D，即B1E·A1D0,从而4y0(z02)0,(1)3又A1E(0,y01,z02),且A1E∥A1D,得y01z02(2),43联立（1）、（2）,解得y016,z038,即E0,16,38，B1E0,16,12。2525252525251621224因此|BE|.125255（Ⅱ）由BC⊥AB，BC⊥DB，故BC⊥面ABDE.即BC为四棱锥C-ABDE的高.下面求四边形ABDE的面积。因为SABCD＝SABE+SADE，|AB|1,|BD|23而SABE＝1|AB|z01·1·38＝19.222525SBDE＝1|BD|y01·2·16＝16.2232575故SABCD＝191673.257575因此VCABCD1·SABDE·|BC|1·73·373.33752150（20）（本小题12分）解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为h1812x4.53x＜x＜3.4(m)02故长方体的体积为Vx)2x2(4.5x)9x26x33)＜x＜32从而V()18x18x2(4.53)18x(1).xxx令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜2时，V′（x）＜0，3故在x=1处V（x）获取极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。233答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为（21）（本小题12分）

1.5m.3m3。（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为

y2

2px

，则

2p

8，从而

p

4.因此焦点

F(

p,0)的坐标为（

2，0）.2又准线方程的一般式为x从而所求准线l的方程为

x

p。22。答（21）图（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|＝|AC|＝xxp|FA|cosapp4，222|FA|cosa4解得|FA|1cosa近似地有|FB|4|FB|cosa，解得|FB|4。1cosa记直线m与AB的交点为E，则|FE||FA||AE||FA||FA||FB|1(|FA||FB|)11444cosa222cosa1cosasin2a因此|FP||FE|4。cosasin2a故|FP||FP|cos2a4cos2a)4·2sin2a(1sin28。sin2aa解法二：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线AB的斜率为ktana，则直线方程为yk(x2)。将此式代入y28x,得k2x24(k22)x4k20，故xAxBk(k22)k2。记直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则xExAxB2(k22)，2k2yEk(xE2)4，k故直线m的方程为y41x2k24.kkk2令y=0,得P的横坐标xP2k244故k2|FP|xP24(k21)4。k2sin2a从而|FP||FP|cos2a4(1cos2a)4·2sin2a8为定值。sin2asin2a（22）（本小题12分）（Ⅰ）解：由aS1(a1)(a2)，解得a1＝1或a＝2，由假设a＝S＞1，因此11611a1＝2。又由an+1＝S＝11)(a1(a1)(a2)，n1n1n66n得an+1-an-3＝0或an+1＝-an因an＞0，故an+1＝-an不行立，舍去。因此an+1-an-3＝0。从而｛an｝是公差为3，首项为2的等差数列，故｛an｝的通项为an＝3n-2。（Ⅱ）证法一：由an(2b1)1可解得bzlogz11logz3n；an3n1从而Tbbblog3·6··3n1。n12nz253n3·6··3n32因此3Tn1logz(an3)logz1·。253n3n23·6··3n32令f(x)1·2,则253n3nf(n1)3n2·3n33(3n3)32)2。f(n)3n53n2(3n5)(3n因(3n3)2(3n5)(3n2)29n7＞0，故f(n1)＞f(n).特其他f(n)f(1)27＞1。从而3Tn1log(an3)logf(n)＞0，20即31log2(an3)。Tn＞证法二：同证法一求得bn及T