习题2：离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差课后知能检测一、选择题1．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于()\f(1,7) \f(1,6)\f(1,5) \f(1,4)【解析】np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝eq\f(6,7)，∴p＝eq\f(1,7).【答案】A2．(2022·长春高二检测)若ξ的分布列如下表所示，且E(ξ)＝，则()ξ01xPp(ξ)＝2 B．D(ξ)＝C．D(ξ)＝ D．D(ξ)＝【解析】＋p＋＝1，∴p＝.又E(ξ)＝0×＋1×＋＝，∴x＝2，∴D(ξ)＝(0－2×＋(1－2×＋(2－2×＝.【答案】D3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,n)(eq\f(2,3))k·(eq\f(1,3))n－k，k＝0,1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为()A．8 B．12\f(2,9) D．16【解析】由题意可知ξ～B(n，eq\f(2,3))，∴eq\f(2,3)n＝E(ξ)＝24，∴n＝36，又D(ξ)＝n×eq\f(2,3)×(1－eq\f(2,3))＝eq\f(2,9)×36＝8.【答案】A4．(2022·石家庄高二检测)已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)则①E(X)＝－eq\f(1,3)，②D(X)＝eq\f(33,27)，③P(X＝0)＝eq\f(1,3)，其中正确的个数为()A．0 B．1C．2 D．3【解析】根据分布列知，P(X＝0)＝eq\f(1,3)，E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3)，∴D(X)＝(－1＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＋(0＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1＋eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＝eq\f(15,27).只有①③正确．【答案】C5．(2022·海口高二检测)若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为()\f(5,3) \f(7,3)C．3 \f(11,3)【解析】∵E(X)＝eq\f(2,3)x1＋eq\f(1,3)x2＝eq\f(4,3).∴x2＝4－2x1，D(X)＝(eq\f(4,3)－x1)2×eq\f(2,3)＋(eq\f(4,3)－x2)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9).∵x1＜x2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3.【答案】C二、填空题6．(2022·南京高二检测)有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)，则自动包装机________的质量较好．【解析】均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中．故乙的质量较好．【答案】乙7．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________.【解析】由题意知E(ξ)＝np＝36p＝12，∴p＝eq\f(1,3).∴D(ξ)＝np(1－p)＝36×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝8.【答案】88．变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，则D(ξ)的值是________．【解析】由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c，又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq\f(1,3)，a＋c＝eq\f(2,3).又E(ξ)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(1,6)，c＝eq\f(1,2)，故分布列为ξ－101Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,2)∴D(ξ)＝(－1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,6)＋(0－eq\f(1,3))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(1,3))2×eq\f(1,2)＝eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)三、解答题9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．【解】(1)X的分布列为：X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝.D(X)＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×＝11，得a＝±2.又∵E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－2×＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即为所求．10．有甲、乙两家单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？【解】根据月工资的分布列，可得E(X1)＝1200×＋1400×＋1600×＋1800×＝1400，D(X1)＝(1200－1400)2×＋(1400－1400)2×＋(1600－1400)2×＋(1800－1400)2×＝40000；E(X2)＝1000×＋1400×＋1800×＋2200×＝1400，D(X2)＝(1000－1400)2×＋(1400－1400)2×＋(1800－1400)2×＋(2200－1400)2×＝160000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，可选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，可选择乙单位．11．(2022·北京高考)如图2－3－1是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．图2－3－1(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)【解】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)．根据题意，P(Ai)＝eq\f(1,13)，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝eq\f(2,13).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝eq\f(4,13)，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝eq\