结构力学-jyc-4静定结构影响线

ChapterInfluenceLineofDeterminate1、影响线的1、影响线的概2、各种静定结构的3、机动法画影4、三铰拱的影5、影响线的应11本章主要静定结构在移动荷载作用下的反力与力计算问题，具体解决荷载移动时，反力及内力的变化规律荷载移动时，确定荷载的最不利位置，即使某移动荷载——离不变，但是作用位置随时间变化的荷载。如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。移动荷载——离不变，但是作用位置随时间变化的荷载。如：汽车荷载、火车荷载、吊车荷载等。小吊小吊吊车重吊车荷 吊车汽车荷载、人群荷载11能逐个量值分别。又由于移动荷载的特点，研究时可用一个单位移动力进行，然后运用叠加原理，求出一组力作用下的结果。影响线的概念影影响线——是指结构上某一点的某个内力其值随单位移动载的位置变化而变化的 L

B FYB影响上述影响线中，AB称为基线，表示FP=1的移动范围竖标表示量值Z的大小如：yD—表示单位移动力作用于D点时FYB的大小若梁上有一组移动荷载作用时，FYB的大小为A

L

B1B BFYB影响

的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、轴力的影响线无量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。22静定结构影响线绘制方法有：静力法和机动法的结构包括：简支梁、悬挑梁、多跨静定架、反力影响

把单位力FP=1

L任意位置，求反力，由

MB

FYA

L…L式①就是反力式①就是反力FYA

的影响线方程

Lx取两点：x 画FYA的影响线如

x FYA影响 设竖向反力向上为正，向下为负。规定正的画在基线影响线上的每一个竖标影响线上的每一个竖标,表示的是:位置时,反力F的大小。同理求FYB的影响线 MAx

得：FYB …

取两点

x 画FYB的影响线如下

FYB影响弯矩影响求简支梁上C点弯矩CabL首先让单位力在C点的CabL

侧移动，即0取CB为体

x MCBCbMCBCbMC

FYBb …式③为弯矩式③为弯矩MC在AC取两点

MC

x

MC 其次让单位力在C点的

侧移动，即a

x 取AC为体

ACaMCACaMC

CabLLCabL得：MC

…L式④为弯矩式④为弯矩MC在CB取两点

MC

x 画弯矩MC的影响线剪力影响 求C点剪力的影响线方程首先让单位力在C点的

CabCabL0xx

CCabL取CB为体

A

BCMC影响xMCBCMCBC F

FYB …C点剪力的影响线方

…L取两点

x

x

L其次让单位力在C点的右侧移动，即:a

x

取AC为体CCabL

得：

FYA

LACaMCACaMCLC点剪力的影响线方程：

L… 式式⑥为剪力FQC在AC段的影取两点

x

FQC

x b画剪力FQC的影响线如右所示 bCabL从简支梁反力和内力影响CabL的，可以得出以下几点C简支梁的影响线由直线组成C1

B影响线与内力图有根本的区别；

1FQC影响

B M弯矩 MC影响比

M弯矩

bBMC影响 荷载位截面位横坐竖坐标影响变不单位移荷载位单位移动荷载移到D点时产生的C截面的弯弯矩不变截面位在C点固定荷载作用下产生的D截面弯悬挑梁的影响反力影响作悬挑梁FYA的影

ddLd显然单位力在B线相同，因此只需研究段和B段即可。ABED段：它的影响线一定是直线，因此只需把力作用于点，求出FABEDMB

(Ld

1dLd dLd该值在AB段影响线的延长线上ABDEBE段：同样只需把力作用于E点，求出FABDE由：MAd

dLd得：FYAdLd该值在AB段影响线结论画悬结论画悬BE BE FYA影响

弯矩影响作图示悬挑梁C点弯矩MC的影响线图，先画出AB简支梁段

ababdLd的影响线，然后把左线右线延长即可MC的影响如右图所

MC影响

剪力影响作图示悬挑梁FQCFQC的影响如右图所示

D

ababdLd FQC影响

多跨静定梁的影响画多跨静定梁的影响基础的作图示多跨静定梁反力FYAABDCLc1CDABDCLc1CD当单位力在CD移动时的影响线应是直线，因C、D两点的值即可

FYA影响作FYC的影响abABD当单位力在基本部分移动时FYC为零，当单位力在CD部分abABDELCc作FYD影响线ELCc作ME1由于ME是基本部分的1因此在整个梁上都有量作ME影响线如右图所示

FYC影响 C ME影响作FQE由于FQE是基本部分的量值，因此在整个FQE的影响线如aabABDELCcELCc结论 FQE影响间接荷载作用下的纵横CkE纵横CkE作主梁k点在间接 载作用下的弯矩

主 分、、B三段。由于k点在段，当单位力在、B段移动时，k点的弯矩与直接荷载作用下相同。：ACk：ACkkDEBx当力在CD段移动时，k点的弯矩求解如下x

dd

FYD (x2ddx3d)CAkCAkBxCdDxCdD M( M(k

x)

3dAFCkAFCkdx3d9d5x kMCD是直线方kkMCD是x的一次函数，因此在CD段的影响线也是条直线k取两点x

刚好等于DB段在D刚好等于DB段在D点的刚好等于AC段在C点的Mx

M M

结论结论所求量值的结间进行修（每个结间一定是直线）ABA

Mk影响

CkCk 继续图示主梁在间接荷载作用下C点的剪力影响线C点处有一次梁，因

C CFQC左影响CFQC右影响C CFQC左影响CFQC右影响。 左属于AC段，因此AC应该修正 右属于CD段， 此CD段应该修正 1画出直接荷载作用下C的影响线 左对AC段进行修正 右对AC段进行修正 【例题1】作图示结构FYB、FQC、ＭC的影响线，单位力A－D间移动 BCBCa11

DFYB影响

FYB要修正GD结间1影响

FQC要修正EFbMC影响

GD结间MC要修正EFGD结间【例题2作图示结构FQF、荷载 F点处有集中力作用，

EA DGA DGFH1m1m1m

1

MG影响2把荷载分别作用于A、BC、D四点求出量值即可

ME影响线

静定桁架的影响桁架上作用的移动荷载，一般是间接荷载，因此它的【例题3】求图示桁架EF、GH、EG杆的影响线，荷载在nCDAnCDABGFE解：（1）作EF杆的h荷载在CD间移动h把荷载移动分三段C-E、E-F、F-D。首先荷载作用于C-E段，取n-n截面，可得

0M Mh其次让荷载作用于F-D段，同样取n-nCCDAB FE

h作FNEF影响线作基线，它的范围是：A-把相应简支梁Mo的竖标除以h;对上述影响线进行修正▲对上承式把AC段和DB段去掉（因为荷载没有在这两段▲找到E、F两点影响线的值E-F段的影响线nCEFDAnCEFDABGnFNEF影响（上承FNEF的影响线（下承）

FNEF影响线（下承CCDAB 11FE可得

当荷载在H-B段时

影响1

（下承1FNEG影响（上承nCDnCDABGnFEM

h

FNGH影响当荷载在HB段时同样M

（下承FNGH影响线（上承

h同理可得到荷载在上弦移动时FNGH的影作EH杆的影响

nCnCDAαGnBFE

1/ 当荷载在HB段时，1/同样

FNEH影响（下承

1/

/

FNEH影响（上承同理可得到荷载在上弦移动时FNEH下面以举例的【例题4】求图示组合结构FNEF、MD、FQD的影响线，单力在AB间移动

解：（1）作FNEG影响

MFNEG M2FNEG影响线如右图所示

FNEG影响作MD影响荷载在AD段移动时作n-n截面MD Y

A

C

荷载在CB段移动时 同样作n-n截面 MD

MD影响荷载在段移动时，影响线应是直线，因此取和两点的值连以直线即可。由于D点处有一集中力，因此剪力有左和右，先求作 左影响

。。当荷载在AD段移动

作m-m截面 2F左F

m FFx

荷载在DC段移动F左

FQD左影响Fx 左F荷载在CB段移动F左

x

F 作m-m截面：荷载在AD段移动

CA

荷载在DC段移动F 荷载在CB段移动

FQD右影响F 机动法画影响线运用的是虚位移原理。具体步骤如下aa力来代替（称为真实的力状态）；bb、让去掉约束后的机构沿着力的方向发生单位的虚位移（为虚设的位移状态）;cc、让真实的力到虚设的位移上去做虚功，由刚体虚功方程：所有外力所做的虚功=0，可得到影响线方程；而虚设的位移状态就是所要求的影响线。下面以简支梁的影响线x

简支梁反力的影响 真实的力状真实的力状的方向发生一个FYA11PFYA11P

虚设的虚设的位移状P 由于单位力可在整个梁此虚设的位移图就是

影响线

FYB影响求简支梁弯矩的影响位移，设C点发生的

L

命令真实的力到虚设的位上做虚功，由虚功方程

MCM虚虚设的位移状MC

虚位移图就是MC

MC影响线求简支梁剪力的把C点的抗剪连系去掉，

一对剪力FQC代替，得到一个 真实的力状构，让机构沿着剪力真实的力状AbaB虚位移，设CAbaBab虚设的位移状虚设的位移状

a

11

a

虚位移图就是FQC的影响线

FQC影响线xKEFBC【例题xKEFBC解

K的影响 把K点的抗弯连系去 2m 2m1EAFBCD图即可MK的虚位 图HMK的影响

E

G

FQK的影响FQK的虚位移FQK的影

HxxKEFBC 2m1K1KEFABCD1/5

KB

E

GGDxEFBC作MC、FYFxEFBC 2mMC的影FYF的影FYD的影响

1

G1D1DFG多跨静定梁的影响线绘制要点附属部分上的量值其影响线，在附属部分上与相应②基本部分上的量值其影响线，在基本部分上与相应规律变化。③静定结构的影响线相应于机构的虚位移图，由直线段组成。在截面所在杆为折线（）或平行线（），在其利用影响线竖标含义求出各控制点的影响量，再连线。4、三铰拱的4、三铰拱的影

f反力计算公式如下 F M0MH f

H影由此可见，三铰拱竖向反力的影响线应与相应简支梁H的影响线，可由相应简支梁截面C的弯矩影响线除以拱高f而得到。弯矩影响弯矩计算公式如下

k M0

①是相应简支梁对应截面k②是推力H的影响

a aM

影响k截面的纵坐标yD剪力影响剪力计算公式如下

F＝F0Cos

Qk 由计算公式可知，三拱剪力FQk的影响线可由

a 个影的①是相应简支梁剪力 的

Lsink影响线乘以常数Cosk②是推力H的影响

Cos

FQK影响轴力影响轴力计算公式如下

F＝F0Sin 的相应简支梁剪力F的

a Lcos②是推力H的影响

Cosk

FNK影响当荷载位置确定时求某量值的大简支梁FYA的影响线如图所示

5、5、影响线的应

LPCFPC若C点作用一集中力

P时，显然 PFYA影响

FP11

…

nAy1 n若简支梁上作用均布荷载时，FYA的计算如下

DCDC利用影响线计算在位置确定的载作用下某一量

y1yA

FYA影响①作出某一量值Z的影响线；②利用下式求出该量ZZFPiyiinn【例题6】利用影响线，求出图示简支梁C点的剪力解：作C点的剪力影计算影响线的面积

ABC12ABC 1123 3 由公式计算得

2

FQC影响2041

3 【例题7】利用影响线，求出图示多跨静定梁C点的弯矩 MC100.5

121m1m 1m1mAD1 0.5BD10.521 0.5BD25.25kM

MC影响

确定移动均布活荷载的最不利布移动均布活荷载指的是：人群荷载、雪荷载、雨荷等，它不是作用在结构上的下图是悬挑梁C点的弯矩影响线，若要求C点正最大值，显然应把移动均布活荷载布满AB若要求C点负弯矩的最大值，应把DA和BE之间DEC MCmax的最DEC BMCmin的最不利布B【例题8】求图示多跨静定梁F、M的最布利荷载布置。解：先作出影响线，然后作出其荷载的最不利布置FYBmax的最不利布

FYB的影DFYBmin的最不利布

MBmax的最不利布MB的影MBmin的最不利布画出要求的某量值Z利用该量值的影响线，先选择其中一个荷载为使值达到极值的临界荷载，并假设荷载的临界位置；的值是极大值，那么把荷载整体往左或往右作一微小移动，量值Z的增量都应小于等于零。若求出的值是极小值，那的增量都应大于等于零；一组荷载可能有若干个临界位置及对应的极值，因此所有极大值中的最大值或极小值中的最小值所对应的荷载位置才称为荷载的最不利位置。影响线是三角形时的判别公式推导……ααhβ

aab某量值的影响Z1

FPn设荷载向右移

x,则Z2为Z2

y1)

FP2(

y2)FPn(

ynZ的增量为Z

FPnyn在影响线的同一条直线上有：y yxtgx

xbh于是△Z可写成：hZ

x

FPn)bZ

x

FPn

hx当Z为极大值时，x往左或往右移动都是小于等于零当Z为极小值时

往左或往右移动

都是大于等于零要满足上述条件，必须有一个力FPi作用在影响线的尖上，当求极大值时，上式为①x往右移动，FPi落在‘b’(F )h(F

)h P

h②x往左移动（是负的），FPi落在‘a’段内h

FPn)b左Fcrabab若上二式成立，FPi就称为是临界荷载，用FCR表示。把FCR左边的力左Fcrabab当求极小值时①x往右移动，FPi落在‘b’(F )h(F

)h P

h②x往左移动（是负的），FPi落在‘a’段内h

FPn)b判断【例题9】简支梁在汽车荷载作用下，求截面C

70

50

50m4AB45447013050m4AB4544

6.889.387.507013050100

CMc7026

100A

55442.253.756.259.382.25 150130+

Mc1007.88100因此Mc的最大值为影响线是多边形时的判断公式下图为作用在梁上的荷载及某量值Z的影F1 F3F1 F3F5F6…Fn-1中的荷载用其合力Ri

ZR1

R2y2

ynyRn yZ可写成

Z

n

R2tg2xRntgnx

才可能发生极值。xxRitgixRitgi

发生极小值时1FP=90kN，q=37.8kN/m，求荷载的临界位置及临界值1 1.51.51.51.5FPFPFPFP x

1.51.51.51.5FPFPFPFP Rtg

9041119014

1

637.5

4.5 x

Rtg9031902

1

637.5

3.375 可见上述位置是临界位置，其产生的临界荷载为Z903.55.06.581900.750.252.5 37.8

0.8130.751

0.75637.8

作内力包络内力包络图：在移动荷载作用下，由各截面内力最大值连接而成的曲线称为包络图，它分弯矩包络图和剪力包络图。内力包络图的做法：将梁沿跨度分成若干等份，求出各等将最小值也连成曲线，由此得到的图形即为内力包络图。【例题11】作图示简支梁的弯矩和剪力包络图解：（1）求弯矩求出每个点弯矩

3 5 9101112B载的

2 31.67

M2影响荷载最不利位M3影响荷载最不利位 45 9101112 弯矩包络（2）求剪力包络

其中第1点、

（e1.00

0.71

FQ1max荷载3点剪力的影响线荷载的最不利位

如图（e）、

0.83 FQ3max0.17

所示，最后画出

荷载最不

剪力包络3）简支梁的绝对最大xa绝对最大弯矩荷载作用下梁中可能出现的最大弯矩值，而作弯矩包络图的方xa假定某个荷载为临界荷

FPn-FCR，并设其与梁A为x。然后求出作

有荷载的合力FR与临界荷 FCR的距离a（右侧）由：

Lx 作用点处的弯矩为

M x

L

x

x M x

L

x

x FP1 FP1 FPi(FCR)FPn-ALB其中MZ表示FCR左边的载对

CR作用点的是与x无关的常量dML

(L2xa) x2MFLa2R221MMFLa2R221MZxx2MmaxFRa22 应用上述公式求绝对最大弯矩时要注意F是梁上实有荷载的合力。安排FF的位置时，有些荷载可能在梁上或已离开梁上，这时应重新计算合力的数值和位置。当合力在临界荷载的左侧时公式中的a应取负值一般来说绝对最大弯矩的位置在梁的中点附近，因此中点的临界荷载就是绝对最大弯矩的临界荷载【例题12】求图示

此时梁上荷载的合力

FR904 a

弯矩的最大值