固体物理第二章第四节-倒格子课件

第四节倒格子本节主要内容:一、概念的引入三、倒格矢与晶面二、倒格子是倒易空间的布拉维格子四、倒格子的点群对称性第四节倒格子本节主要内容:一、概念的引入三、§2.4倒格子

一、概念的引入

晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？§2.4倒格子一、概念的引入晶体结构的周期

布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：布拉维格矢由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：展开系数1.周期函数的傅里叶展开布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物展开系数原胞体积

因为：所以：令则：则展开系数原胞体积因为：所以：令则：则不合要求，应舍去所以不合要求，应舍去所以由于与存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,自然也可以描述同样的布拉维格子,且与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.成立也就是说,一定存在某些使得当成立时由于与存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,2.定义对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice)与倒格子的定义对应，由格矢的端点所描述的布拉维格子，称为正格子(directlattice)由端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子(reciprocallattice)

称为倒格矢2.定义对布拉维格子中所有格矢，满利用倒格矢，满足的傅里叶展开为:意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。二、倒格子是倒易空间的布拉维格子利用倒格矢，满足将代入得：欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求：h1,h2,h3为整数对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice).称为倒格矢将代入得：欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为显然,如果令h1,h2,h3为整数

当满足时，则下式自然成立：可知亦应该不共面，从而可以用描述倒格子。由于为基矢，互不共面，则由或：显然,如果令h1,h2,h3为整数当由于为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocalspace),则由于不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。和对比,表明对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。从而且也可作为以为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。由于为倒格矢，如果把倒格矢讨论：由可知：垂直,因此，

和与平行所以可令：两边同时点乘

原胞的体积

1.讨论：由可知：垂直,因此，和与平行所以可令：两边同时点乘其中是正格基矢是固体物理学原胞体积同理可得所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：

与所联系的各点的列阵即为倒格子。许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义

其中是正格基矢是固体物理学原胞体积同理可得a.晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等，它们的状态均用波矢来表征，其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在简约布里渊区中(单值性的要求)2.与正格子空间的平面波

类似，可以把看成倒空间的平面波，是倒空间的任一矢量所以，在倒空间中，矢量与代表相同的波或相同的状态。

注：a.晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波

b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区3.由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。

三、倒格矢与晶面(倒格子与正格子的几何关系)1.体积关系(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓除因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积

互为倒数利用

=0除因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积2.倒格矢与晶面

倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：其中是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距首先我们证明

倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交2.倒格矢与晶面倒格矢设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面ABC在基矢

上的截距分别为。由图可知：BCOA

所以倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面接着我们再证明倒格矢长度为由于倒格矢与晶面族(h1h2h3)正交.

因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为BCOA则法线方向的单位矢量为：因而，面间距接着我们再证明倒格矢长度为由于倒格矢这个关系很重要,后面分析XRD时要用

表明,对任一倒格矢以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以为法线方向，且面间距为3.倒格子基矢的方向和长度这个关系很重要,后面分析XRD时要用表明,对任一倒格矢以一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。设：是所在晶面族的面间距；是所在晶面族的面间距；是所在晶面族的面间距。利用体积=底面积*高，则有：一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向晶体结构

正格子

倒格子2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1晶体结构正格子倒格子2.与晶已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体结构正格子正格子基矢倒格子基矢倒格子已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体结构正格子正格子基矢倒格子例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。倒格子是边长为的正方形格子。倒格子是边长为的正方形格子。例2：证明体心立方的倒格子是面心立方。解：体心立方的原胞基矢：例2：证明体心立方的倒格子是面心立方。解：体心立方的原胞基矢倒格矢：同理得：体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方。与p25fcc比较可知

倒格矢：同理得：体心立方的倒格子是边长为4/a的面心立方例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为证明：由得：简立方：法一：例3：证明简立方晶面(h1h2h3)的面间距为证明：由得：简固体物理第二章第四节--倒格子课件法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，ABC在基矢上的截距分别为

则法二：设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，A对于立方晶系：且：根据任何矢量的方向余弦的平方和等于1,即：对于立方晶系：且：根据任何矢量的方向余弦的平方和等于1,即：四、倒格子的点群对称性1.同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性

证明：设为正格子的一个点群的任取对称操作，亦即为正格矢时，亦为正格矢(点群对称操作不会改变原有格点之间的距离)。按照群的定义,当为点群对称操作时,亦为同一点群的对称操作，则亦为正格矢。四、倒格子的点群对称性1.同一晶格的正格子和倒格子有相同的由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：当和接受同一点群对称操作时，空间任意两点之间的距离不变。由点群对称操作不会改变原有格点之间的距离可知：当所以，对点群中任一而言，亦为倒格矢，亦即，对应正格子的群中的任一操作相应的也是倒格子的对称操作。因而同一晶格的正格子和倒格子有相同的点群对称性。2.倒格子空间中的WS原胞，亦即第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区，具有晶格点群的全部对称性。主要因为WS原胞本身就是对称化原胞之故所以，第一布里渊区具有特别重要的意义所以，对点群中任一而言，亦为倒格矢，亦第四节倒格子本节主要内容:一、概念的引入三、倒格矢与晶面二、倒格子是倒易空间的布拉维格子四、倒格子的点群对称性第四节倒格子本节主要内容:一、概念的引入三、§2.4倒格子

一、概念的引入

晶体结构的周期性,可以用坐标空间(r空间)的布拉维格子来描述,这是前几节我们所讨论的内容,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.然而,量子力学的学习使我们认识到,任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子,同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式.波矢k可用来描述波的传播方向.那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？§2.4倒格子一、概念的引入晶体结构的周期

布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物理量,由于布拉维格点的等价性,均应是布拉维格矢R的周期函数,如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：布拉维格矢由于F(r)是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：展开系数1.周期函数的傅里叶展开布拉维格子具有平移对称性,因而相应的只与位置有关的物展开系数原胞体积

因为：所以：令则：则展开系数原胞体积因为：所以：令则：则不合要求，应舍去所以不合要求，应舍去所以由于与存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,自然也可以描述同样的布拉维格子,且与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似,因而,凡是波矢和布拉维格矢满足的波矢,一定也可以描述布拉维格子.这就是倒格子的由来.成立也就是说,一定存在某些使得当成立时由于与存在上述对应关系,可以描述布拉维格子,2.定义对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice)与倒格子的定义对应，由格矢的端点所描述的布拉维格子，称为正格子(directlattice)由端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子(reciprocallattice)

称为倒格矢2.定义对布拉维格子中所有格矢，满利用倒格矢，满足的傅里叶展开为:意义：把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间,且只存在波矢为倒格矢的分量。二、倒格子是倒易空间的布拉维格子利用倒格矢，满足将代入得：欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任意整数，则要求：h1,h2,h3为整数对布拉维格子中所有格矢，满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子(reciprocallattice).称为倒格矢将代入得：欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为显然,如果令h1,h2,h3为整数

当满足时，则下式自然成立：可知亦应该不共面，从而可以用描述倒格子。由于为基矢，互不共面，则由或：显然,如果令h1,h2,h3为整数当由于为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocalspace),则由于不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。和对比,表明对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。从而且也可作为以为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。由于为倒格矢，如果把倒格矢讨论：由可知：垂直,因此，

和与平行所以可令：两边同时点乘

原胞的体积

1.讨论：由可知：垂直,因此，和与平行所以可令：两边同时点乘其中是正格基矢是固体物理学原胞体积同理可得所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为：

与所联系的各点的列阵即为倒格子。许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义

其中是正格基矢是固体物理学原胞体积同理可得a.晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波以及电子在晶体中运动的几率波等，它们的状态均用波矢来表征，其波矢取值应限制在倒格子空间中的一个原胞内，一般限制在简约布里渊区中(单值性的要求)2.与正格子空间的平面波

类似，可以把看成倒空间的平面波，是倒空间的任一矢量所以，在倒空间中，矢量与代表相同的波或相同的状态。

注：a.晶格振动形成的格波，x射线被晶体衍射的电磁波

b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓的简约布里渊区3.由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。

三、倒格矢与晶面(倒格子与正格子的几何关系)1.体积关系(其中和*分别为正、倒格子原胞的体积)b.倒格子空间中的WS原胞称为第一布里渊区，也就是所谓除因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积

互为倒数利用

=0除因子外，正格子原胞体积和倒格子原胞体积2.倒格矢与晶面

倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交且其倒格矢长度为：其中是正格子晶面族(h1h2h3)的面间距首先我们证明

倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交2.倒格矢与晶面倒格矢设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面ABC在基矢

上的截距分别为。由图可知：BCOA

所以倒格矢和正格子中晶面族(h1h2h3)正交设平面ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面接着我们再证明倒格矢长度为由于倒格矢与晶面族(h1h2h3)正交.

因而，晶面族(h1h2h3)的法线方向为BCOA则法线方向的单位矢量为：因而，面间距接着我们再证明倒格矢长度为由于倒格矢这个关系很重要,后面分析XRD时要用

表明,对任一倒格矢以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以为法线方向，且面间距为3.倒格子基矢的方向和长度这个关系很重要,后面分析XRD时要用表明,对任一倒格矢以一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2倍。设：是所在晶面族的面间距；是所在晶面族的面间距；是所在晶面族的面间距。利用体积=底面积*高，则有：一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向晶体结构

正格子

倒格子2.与晶体中原子位置相对应；2.与晶体中一族晶面相对应；3.是与真实空间相联系的倒格子空间中点的周期性排列；3.是真实空间中点的周期性排列；4.线度量纲为[长度]4.线度量纲为[长度]-1晶体结构正格子倒格子2.与晶已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体结构正格子正格子基矢倒格子基矢倒格子已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体结构正格子正格子基矢倒格子例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。例