习题1：空间几何体全章综合测试

单元测评(一)空间几何体(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是() ①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A．①② B．①③C．①④ D．②④解析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A，B，C.答案：D2．已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是()\f(1,2)cm3 \f(1,3)cm3\f(1,6)cm3 \f(1,12)cm3解析：根据三视图可知原几何体是三棱锥，V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)(cm3)．答案：C3．一个底面是正三角形且侧棱垂直底面的三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2eq\r(3)，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是()A．4B．2eq\r(3)C．2\r(3)解析：作出直观图(如图所示)，设棱长为a，由eq\f(\r(3),4)a2·a＝2eq\r(3)，解得a＝2，取AB与A1B1的中点分别为D，D1，则侧视图即为矩形CC1D1D，其中C1D1＝eq\r(3)，其面积为2eq\r(3)，故选B项．答案：B一三棱锥P－ABC，PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝1，PB＝eq\r(6)，PC＝3，则该三棱锥外接球的表面积是()A．16π B．64π\f(32π,3) \f(252π,3)解析：以PA，PB，PC为棱作长方体，则该长方体的外接球就是三棱锥P－ABC的外接球，所以球的半径R＝eq\f(\r(12＋\r(6)2＋32),2)＝2，所以球的表面积是S＝4πR2＝16π.答案：A5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．(5＋eq\r(5))π B．(20＋2eq\r(5))πC．(10＋eq\r(10))π D．(5＋2eq\r(5))π解析：由三视图可知这是一个大圆柱，上面挖去一个小圆锥的几何体，圆柱的底面积为π，圆柱的侧面积为2π×2＝4π，圆锥的母线长为eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，则面积为eq\r(5)π，所以总的侧面积为eq\r(5)π＋π＋4π＝(5＋eq\r(5))π，选A.答案：A6．已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为()A．18 B．12C．6 D．12π解析：连接球心与多面体的各个顶点，把多面体分成了高为1的多个棱锥．∴S＝S1＋S2＋…＋Sn＝18.∴V＝eq\f(1,3)S×1＝eq\f(1,3)×18＝6.答案：C7．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南 B．北C．西 D．下解析：如图所示．答案：B8．一个水平放置的圆柱形储油桶，桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的eq\f(1,4)，则油桶站立时油的高度与桶的高度的比值是()\f(1,4) \f(1,4)－eq\f(1,2π)\f(1,8) \f(1,2π)－eq\f(1,8)解析：设圆柱桶的底面半径为R、高为h，油桶站立时油的高度为x，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)πR2－\f(1,2)R2))h＝πR2x，∴eq\f(x,h)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).答案：B9．一个物体的三视图如图所示，则该物体的体积为()A．2π \f(8,3)＋eq\f(4,3)π\f(14,3)π \f(40,3)π解析：该几何体为一圆柱和球的组合体，V＝π×12×eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)π×13＝2π.答案：A10．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为2eq\r(5)，则它的表面积为()A．4(3eq\r(3)＋4) B．12(eq\r(3)＋2)C．12(2eq\r(3)＋1) D．3(eq\r(3)＋8)解析：如图所示，S＝12×eq\f(\r(3),4)×22＋6×2×2＝12eq\r(3)＋24＝12(eq\r(3)＋2)．答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图(1)、(2)所示的三视图代表的立体图形分别是__________．(1)(2)解析：由三视图的特征想象原几何体的特征分别为正六棱锥和两个圆台的组合体．答案：正六棱锥、两个圆台的组合体12．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．解析：原三角形是两直角边长分别为2与2eq\r(2)的直角三角形，∴S＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为4cm2,6cm2,24cm2，则该长方体的体积等于__________．解析：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有ab＝24，ac＝6，bc＝4，所以(abc)2＝24×6×4.所以abc＝24(cm3)，即长方体的体积为24cm3.答案：24cm314．如图所示，扇形所含的中心角为90°，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得的旋转体体积V1和V2之比为__________．解析：设OA＝OB＝R，Rt△AOB绕OA旋转一周形成圆锥，其体积V1＝eq\f(π,3)R3，扇形绕OA旋转一周形成半球面，其围成的半球的体积V＝eq\f(2π,3)R3，∴V2＝V－V1＝eq\f(2π,3)R3－eq\f(π,3)R3＝eq\f(π,3)R3.∴V1∶V2＝1∶1.答案：1∶1三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)画出如图所示的直三棱柱和正五棱柱的三视图．解：如图(1)是直三棱柱的三视图，图(2)是正五棱柱的三视图．(1)(6分)(2)(12分)16．(12分)如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解：(1)这个几何体的直观图如图所示．(4分)(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)(cm2)，(8分)所求几何体的体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．(12分)17．(12分)有一个轴截面为正三角形的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一个圆台体，问容器中水的高度为多少．解：作出圆锥和球的轴截面(如图所示)，设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，则r＝eq\f(R,tan30°)＝eq\r(3)R，l＝2r＝2eq\r(3)R，h＝eq\r(3)r＝3R，(4分)∴V水＝eq\f(π,3)r2h－eq\f(4π,3)R3＝eq\f(π,3)·3R2·3R－eq\f(4π,3)R3＝eq\f(5π,3)R3.(6分)球取出后，水形成一个圆台，设圆台上底面半径为r′，高为h′，则下底面半径r＝eq\r(3)R，(8分)h′＝(r－r′)tan60°＝eq\r(3)(eq\r(3)R－r′)，∴eq\f(5π,3)R3＝eq\f(π,3)h′(r2＋r′2＋rr′)，∴5R3＝eq\r(3)(eq\r(3)R－r′)(r′2＋eq\r(3)Rr′＋3R2)，∴5R3＝eq\r(3)(3eq\r(3)R3－r′3)，解得r′＝eq\r(3,\f(4,\r(3)))R＝eq\r(6,\f(16,3))R，(10分)∴h′＝(3－eq\r(3,12))R.(12分)18．(14分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2