习题：复数的几何意义

3．复数的几何意义1．过原点和eq\r(3)－i对应点的直线的倾斜角是()．\f(π,6) B．－eq\f(π,6)\f(2π,3) \f(5π,6)解析∵eq\r(3)－i在复平面上的对应点是(eq\r(3)，－1)，∴tanα＝eq\f(－1－0,\r(3)－0)＝－eq\f(\r(3),3)(0≤α<π)，∴α＝eq\f(5,6)π.答案D2．当eq\f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析∵eq\f(2,3)<m<1，∴3m－2>0，m－1<0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．答案D3．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|<2，那么实数a的取值范围是()．A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－2,2)C．(－1,1) D．(－eq\r(3)，eq\r(3))解析因为|z|<2，所以eq\r(1＋a2)<2，则1＋a2<4，a2<3，解得－eq\r(3)<a<eq\r(3)，故选D.答案D4．复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.答案55．复数z＝1＋cosα＋isinα(π<α<2π)的模为________．解析|z|＝eq\r(1＋cosα2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(4cos2\f(α,2))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2))).∵π<α<2π，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<π，coseq\f(α,2)<0，∴|z|＝－coseq\f(α,2).答案－coseq\f(α,2)6．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2－5m－14)i的点．(1)位于第四象限？(2)位于第一、三象限？(3)位于直线y＝x上？解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2－5m－14<0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<3或m>5，,－2<m<7.))解得－2<m<3或5<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2－5m－14>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0，,m2－5m－14<0.))可等价转化为(m2－8m＋15)(m2－5m－14)>0，即(m－3)(m－5)(m＋2)(m－7)>0，利用“数轴标根法”可得：m<－2或3<m<5或m>7，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使点Z在直线y＝x上，需m2－8m＋15＝m2－5m－14，解得m＝eq\f(29,3).此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．eq\a\vs4\al\co1(综合提高限时25分钟)7．下列命题中为假命题的是()．A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|解析A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0))⇔|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．答案D8．设复数z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是()．A．复数z对应的点在第一象限B．复数z一定不是纯虚数C．复数z对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数解析∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，排除D.又z的实部2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)可为正、为零、为负，∴选项A、B不正确．答案C9．已知复数z＝x－2＋yi的模是2eq\r(2)，则点(x，y)的轨迹方程是________________．解析由模的计算公式得eq\r(x－22＋y2)＝2eq\r(2)，∴(x－2)2＋y2＝8.答案(x－2)2＋y2＝810．已知实数m满足不等式|log2m＋4i|≤5，则m的取值范围为________．解析由题意知(log2m)2＋16≤25，即(log2m)2≤9，－3≤log2m≤3，所以2－3≤m≤23，即eq\f(1,8)≤m≤8.答案eq\f(1,8)≤m≤811．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.解∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，又|－1＋i|＝eq\r(2)，由|z－1|＝|－1＋i|，得eq\r(a2＋1)＝eq\r(2)，解得a＝±1，∴z＝±i.12．(创新拓展)已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？解由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z的对应点在第