学科数学-基础课数分9第1517章精讲学姐

考研人帮考研人 今天你的明天考研人帮考研人 今天你的明天 只有修改好备注，小老师才能够核实你是欣途学，才能在YY里面课程考研人帮考研人 今天你的明天 级多元函数微分课程总 互动答考研人帮考研人 今天你的明天 考研人帮考研人 今天你的明天 以为周期 级 以2l为周期 级奇、偶函数 级考研人帮考研人 今天你的明天 Ø以为周期 2

(ancosnxbnsinnx)是由三角函数考研人帮考研人 今天你的明天 （2）以为周期 若在整个数轴上f(x)

a0

(acosnxbsinnn nn a0f(x)dx

f(x)cosnxdx,nb f(x)sinnxdx,n 记作f(x)~2

cosnxbnsin考研人帮考研人 今天你的明天

若以为周期的函数在[-上按段光滑，则在每一 f(x0)f(x

cosnx

sin

考研人帮考研人 今天你的明天 x,0x 设函数f(x)0,x0,求f 考研人帮考研人 今天你的明天 考研人帮考研人 今天你的明天 Ø以2l为周期 cos

f(x)~a2

nn

llll

f(x)f(x) nxdx,n0,1,2lf(x) nxdx,n1,2 l

f(x0)f(x0)

a

nx

n

考研人帮考研人 今天你的明天 Ø奇函数、偶函数 余弦级数与正弦级

1 f(x)cos

a1 f(x)cosnxdx0,n l

l lf(x)cosnxdx,n

b1 f(x)sinl

l b1 f(x)sinnxdx0,n

l

l

f 级数只含有正弦函数的即f(x)~2

an

即f(x~bn

考研人帮考研人 今天你的明天 偶式延拓与奇式延考研人帮考研人 今天你的明天 p84习题2考研人帮考研人 今天你的明天 例 .2解

x)dx2(x1x2)

2

(2x)cosnxdx

(cosnxxcos cosnxdx xcosnxdx1sin 21cosnxxsinnx0 0

0

n2 21(cosncos0) 2

2

1

nn

1

cosnx

cos当x时，f(x)收敛于f(0)f(0),当x0时，f(x)收敛于f(00)f(00) 考研人帮考研人 今天你的明天 考研人帮考研人 今天你的明天

考研人帮考研人 今天你的明天 Ø可微与偏导数定义 设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域U(P0)上有定义，对于U(P0中的点P(x,y)x0xy0y)，若函数f在点P0处的全增量zzf(x0x,y0y)f(x0,y0)AxBy (x,y (x,y若A,B仅是与点P0有关的常数， 0全微分：AxBy为函数f在点P0的全微分，记作dz df(x0,y0)Ax0考研人帮考研人 今天你的明天 设函数zf(x,y),(x,y)D.若(x0,y0)D,f(x0,y0)在x0的某邻域内有定义则当极限limxf(x0,y0) f(x0x,y0)f(x0,y0)存在时，称这个极限为函数 在点(x,y)关于x的偏导数，记作 (x,y)或z(x,y),

,

x(x0,y0)

(x0,y0同样定义f在点(x,y)关于y的偏导数 (x,y)或f

y(x0,y0考研人帮考研人 今天你的明天 可微性条件定理71可微的必要条件）二元函数f在其定义域内一点(x0y0f在该点关于每个自Afxx0y0，Bfyx0y0因此，函数f在点(x0y0的全微分可唯一地表示 df(xyfxx0y0xfyx0y0y，又可写为df(xyfxx0y0dxfyx0 若函数f在区域D上每一点(x,y)都可微，则称函数f在区域D上可微，且f在D上全微分为df(x,y)fxx,y)dxfyx,y)dy定理72可微的充分条件）函数zf(xy)的偏导数在点(x0y0的某邻域上存在，且fx与fy在点(x0y0连续，则函数f在点(x0y0可微.考研人帮考研人 今天你的明天 Ø求导法则（链式法则 若函数x(s,t)，y(s,t)在点(s,t)D可微，z f(x,y)在点(x,y)((s,t)，(s,t))可微，则复合函数z f((s,t),(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s与t的偏导数分别为 s(s, t(s,

(x,y)(x,y)

(s, (s,

(x,y)(x,y)

,(s,.(s,考研人帮考研人 今天你的明天 u 1u

u

ur

r2

x

考研人帮考研人 今天你的明天 Ø定义 设三元函数f在点（x,y,z）的某邻域U(P)R3有定义 l为从点P0出发的射线，P(x,y,z)为l上且含于U(P0)内的任一点表示P与P两点间的距离，若极限

f(P)f(P0

lf存， ，则称此极限为函数f在点P0沿方向f的方向导

记作

,

)或

,

,z0定理 若函数f在点P0(x0,y0,z0)可微，则点沿任意方向l的方向导数都存在，fl(P0)fx(P0cosfy(P0cosfz(P0cos,其中为方向l的方向余弦考研人帮考研人 今天你的明天 Ø定义 若函数f(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)存在对所有自变量的偏导数，则向量(fx(P0),fy(P0),fz(P0))为函数f在P0的梯度，记作 (fx(P0),fy(P0),fz(P0向量gradf的长度（或模）为|gradf| f(P)2f(P)2f(P)2 若记l方向上的单位向量为l0=(cos,coscos),则方向导数公式又可写成flP0gradfP0l0|gradfP0|cos是梯度向量gradfP0与l0的夹角考研人帮考研人 今天你的明天 Ø

设zf(x,y且fx(x,y)与fy(x,y)以及他们关于x与y的偏导数存在，y(

y2

x(

fxy(x, )2 2 )2 2x( )2fxx(x, (x,y( ))2考研人帮考研人 今天你的明天 f(x, 例 设zf(x,

2 2 . 考研人帮考研人 今天你的明天 极值问①多元函数的极值（极大值、极小值）、(0

fxy(0)

f

fxy (P②黑赛(Hesse)矩阵：Hf( (P

0③求极值0

(0

f

fyy定理17.1极值充分条件）设二元函数f在点P0(x0y0的某邻域U(0上具有二阶连续偏导数，且P0是f的稳定点，则当Hf(0是正定矩阵时，f在点P0取得极小值；则当Hf(0)是负定矩阵时，f在点P0取得极大值，当Hf(0是不定矩阵时，f在点P0不取极值考研人帮考研人 今天你的明天 若函数f如定理17.11所设.P0是f的稳定点，则有2当fxx(P0)0,(fxxfyy- )(P)0时，f在点P取得极小值2 当fxxP00,f

f

f2P)0f在点P 当

f

f2P0fP ( -f2P)0fP当f

考研人帮考研人 今天你的明天 考研人帮考研人 今天你的明天

考研人帮考研人 今天你的明天 Ø

2{(x,y)|(x-2

{(x,y)|x-

|二元函数的极限定义重极限与累次极重极限：极 f(x,y)中，两个自变量x,y同时以任何方式趋于x0,y0.累次极限：Llimlimf(xy)或Klimlimf(xyy0 xx0y重极限与累次极限的关系考研人帮考研人 今天你的明天 ①若f(x,y)在点(x0y0

f(x,y)与累次极限limlimf(x,y)，则它们必相等(x,y)(x0,y0②若累次极限limlimf(x,y),limlimf(x,y)xx0y yy0 (x,y)(x0,y0

xx0y f(x,y)都存在,则三者相等(x,y)(x0,y0f(