几何中的最短路径问题

几何中的最短路径问题几何问题是近几年国、联考中必考的热门题型，考查频率越来越高。其中的最短路径问题考查较多，方法性很强，通过学习可以有良好掌握，学习的性价比很高。下面粉笔为大家具体讲解如何解决几何中的最短路径问题。最短路径问题考查形式通常为求点之间的最短距离，核心解题方法为平面上两点之间，线段最短。在考试中最短路径问题主要分为两大类，平面几何最短路径与立体几何最短路径。虽然题目有多种问法，但万变不离其宗，只要知识点掌握牢固、能够融会贯通，无论如何创新如何结合，我们都可以熟练解决。平面几何最短路径问题1.两点异侧题型特征：求在直线异侧的两点之间的最短距离，或在直线异侧的两点到第三点的最短距离之和解题方法：两点之间，线段最短，三点共线时距离之和最短例1.【2011联考】火车站A和B与初始发车站C的直线距离都等于akm，站点A在发车站C的北偏东20度，站点B在发车站C的南偏东40度，若在站点A和站点B之间架设火车轨道，则最短的距离为：A.akmB.3akmC.2akmD.

akm【解题思路】如图所示，根据题意中A在C点北偏东20度和B在C点南偏东40度可知，A、B、C三点构成顶角为120度的等腰三角形，且AB为底边。过点C做AB的中垂线，交AB于点D。根据勾股定理可得，CD=a，AD=a，则AB=2AD=a，正确答案为D。公务员考试中，三角形求边长常用勾股定理和相似三角形。因此粉笔建议各位考生将常见三角形边长比例熟练记忆，如30°直角三角形、等腰直角三角形、120°等腰三角形等。本题若变形为C火车站正东建立新火车站D，求AB两点到D距离之和最短，因三点共线时距离之和最短，直接连接AB即为最短距离和。2.两点同侧题型特征：求在直线同侧的两点到第三点的最短距离之和解题方法：将其中一点镜像对称，使三点共线例1.【2019浙江】

A、B点和墙的位置如图所示。现从A点出发以5米/秒的速度跑向墙，接触到墙后再跑到B点。问最少要多少秒到达B点?A.30B.34C.38D.42【解题思路】要用最短时间到达B点，在速度一定的情况下，需从A接触到墙后再跑到B点所走的路程最短。如图，由于A和B在墙的同侧，可考虑做其中一个点关于墙的对称点，该对称点与另一个点的连线即为最短路程。假设做A点的对称点C，最短距离为BC。CD=90米，BD=30+45+45=120米，最短距离BC==150米，则t==30秒,正确答案为A。【粉笔点评】先判断为同侧问题，需要作其中一点的对称点，再连接另外一点，用勾股定理求解。两点同侧时，对称哪一个点都可以，但是一般为了计算方便，粉笔建议对称短的那一个。例2.【2017联考】如下图所示，某条河流一侧有A.、B.两家工厂，与河岸的距离分别为4km和5km，且A.与B.的直线距离为11km。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸1km处建造一个污水处理厂，分别铺设排污管道连接A.、B.两家工厂。假定河岸是一条直线，则排污管道总长最短是：A.12kmB.13kmC.14kmD.15km【解题思路】如下图所示，过污水处理厂做河岸的平行线HC，D为A关于HC的对称点，则最短距离为DB，由题污水厂离河1km可得A点距离到HC为HA=HD=3km，B点距离HC等于EH=4km，则DE=3+4=7km。，所以，正确答案为B。【粉笔点评】本题中题目AB为河流一侧，因此为两点同侧。粉笔提醒大家注意，若以河为对称轴，求的点为交点，此时污水处理厂建在河里，因此此题的对称轴是第三个点所在的水平线，过C作一条沿河岸的平行线，轴距离河岸为1km。计算时若忽略了这一点，将无法求解正确答案。立体几何最短路径问题题型特征：求立体图形中两点的最短距离解题方法：将立体图形展开放在同一平面，连线计算例1.【2019河北】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm的长方体ABCD-A_1B_1C_1D_1上，有一个蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到C_1获取食物，其路程最小值是多少cm?A.13B.

C.

D.17由题干蚂蚁从A出发沿长方体表面爬行到求最短，画图可知，在长方体中A和不在同一平面，要求最短距离先要把A和C_1放在同一平面内，则把面翻折，形成面，再连接，根据两点之间直线最短求解。如下图：是直角三角形ABC_1的斜边，要让斜边最短，则两直角边的平方和要尽可能小。当AB=12，=4+3=7时，两直角边的平方和最小，最短==，正确答案为B。【粉笔点评】长方体最短路径问题可直接运用结论，长方体中相对的两个顶点沿表面走的最短距离为：；最短路径数为2条，因为长方体存在对立面，每一条路径都有一条与之相对的路径，因此有2条。例2.【2013北京】A和B为正方体两个相对的顶点，一个点从A出发沿正方体表面以最短路径移动到B，则其可选择的路线有几条：A.2B.3C.6D.12【解题思路】正方体有3组对立面，如图可知每一条路线在对立面上都有一条与之对应的路线，因此每组对立面有2条路线，3组对立面共6条路线，正确答案为C。若本题为求A到B最短距离，则可将正方体展开，将AB放在同一平面内。连接AB后，AB==边长。正方体最短路径问题也有有对应结论，建议可以直接用结论做题，正方体中相对