通信原理第9章课件

通信原理(合订本)陈洁普通高等教育“九五”国家级重点教材通信原理课程建设教材系列通信原理(合订本)陈洁普通高等教育“九五”19.1信道编码的基本概念9.2线性分组码9.3循环码9.4BCH码9.5卷积码第九章信道编码9.6纠正突发错误码9.7交织9.8级连码9.9Turbo码9.10高效率信道编码9.1信道编码的基本概念第九章信道编码9.6纠正突2信道编码的目的目的：为了改善数字通信系统的传输质量。与信源编码比较差错产生的来源：由于实际信道存在噪声和干扰的影响，使得经信道传输后所接收的码元与发送码元之间存在差异，称这种差异为差错。信道编码的目的目的：为了改善数字通信系统的传输质量。3两种简单的信道编码（1）重复码(2)线性分组码两种简单的信道编码（1）重复码49.1信道编码的基本概念基本思路：根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元，以保证传输过程可靠性。任务：构造出以最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。返回目录9.1信道编码的基本概念基本思路：根据一定的规律在待发送的5不同的发送方式：1重复码（1）不重复发送（效率,检错能力）(2)重复一次发送（效率，检错能力）(3)重复两次发送（效率，纠错能力，检错能力）不同的发送方式：1重复码（1）不重复发送（效率,检6图9.1.1重复编码图9.1.1重复编码7重复码译码规则如果收到的信息序列y中多数比特是“1”则判定发送的是“1”，否则判发“0”。例9.1.1，算出错的概率。重复码译码规则如果收到的信息序列y中多数比特是“1”则判定发8重复码的优缺点优点：重复次数n越大，抗干扰性越好缺点：编码效率太低，不是好办法。重复码的优缺点优点：重复次数n越大，抗干扰性越好9线性分组码构造步骤：（1）将输入信息分成k位一组进行编码（2）按照一定线性规律加上人为多余的码元，构成n(n>k)位一组的输出（3）一般用符号(n,k)表示。线性分组码构造步骤：10多余码元的作用人为多余码元是供接收端检查、纠正在传输中产生错误的码元用，故称它为监督码元，又称校验码元。多余码元的作用人为多余码元是供接收端检查、纠正在传输中产生错11（1）码重在线性分组码中，通常把码组(字)中所含“1”的数目定义为码组(字)重量，记为Wc。比如在(3，1)重复码中码重（汉明重量）码重（汉明重量）12（2）码距把两个码组中对应位置上不同分量数目定义为码组距离，记为.显然，码组间的最小距离的大小直接决定线性分组码的检错能力。码距（汉明距离）（2）码距码距（汉明距离）13（1）检测e个独立随机错误，则要求的最小距离

（2）纠正t个随机错误，则要求的最小距离（3）纠正t个同时检测e（>t)个随机错误，则要求的最小距离3.分组码的纠（检）错能力与最小码距的关系（1）检测e个独立随机错误，则要求的最小距离（2）纠正t个14平均每个编码器输出符号所携带的信息比特数称为编码效率，简称码率。4、编码效率平均每个编码器输出符号所携带的信息比特数称为编码效率，简称码15偶（奇）数监督码编码规则

5、偶奇监督码偶（奇）数监督码编码规则16偶数监督码要保证码组中“1”的个数是偶数，即满足在码组中信息位和监督位模2和为“0”。这种码能发现奇数个在传输中的差错，即在接收端，按照上述模2相加方程，将码组中各码元模2相加，若结果为“1”则认为有差错，结果为“0”则认为无差错。偶数监督码要保证码组中“1”的个数是偶数，即满足在码组中信息17奇数监督码同偶数监督码设计方法一样，只不过这时码组中“1”的个数为奇数。偶（奇）监督码可记为（n,n-1)码。奇数监督码同偶数监督码设计方法一样，只不过这时码组中“1”的18重复码和偶（奇）监督码（1）两类码构造都很简单，但都达不到既可靠又有效的要求。（2）这两类码恰好是在可靠性和有效性两重指标各走极端的两类码。重复码和偶（奇）监督码（1）两类码构造都很简单，但都达不到既19在数字和数据的信息与通信系统中，利用信道编码提高系统的可靠性，控制差错。其主要方式有三种：前向纠错(FEC)反馈重传(ARQ)混合差错控制(HEC)。3.前向纠错、反馈重传和混合差错控制在数字和数据的信息与通信系统中，利用信道编码提高系统的可靠性20前向纠错(FEC)发端发送具有一定纠错能力的码，收端译码时，若传输中产生差错的数目在码的纠错能力之内译码器可以对差错进行定位并自动加以纠正。反之，若差错数目大于纠错能力则无能为力。优点：不需要反馈信道并能自动纠正差错，所以它比较适合于实时传输系统。前向纠错(FEC)发端发送具有一定纠错能力的码，收端译码时，21反馈重传(ARQ)发送一个码字给收端并等待从收端发挥应答信号，若应答信号是肯定的则发送下一个码字，若应答信号是否定的则发端重发该码字，一直到收到肯定的应答信号为止。优点：只需要少量的多余码元就能获得极低的输出误码率，所以实现简单且成本低。缺点：必须有反馈信道，因而不能用于实时通信系统与单向传输系统，且效率低。反馈重传(ARQ)发送一个码字给收端并等待从收端发挥应答信号22混合差错控制（HEC)发送端发送同时具有纠错与检错能力的码组，接收端译码时，检查差错情况，如果差错在码的纠错能力以内则自动加以纠正如果干扰很严重，错误很多，超出了码的纠错能力，但能检测出错来，则可经反馈信道请求发端重发这组数据。混合差错控制（HEC)发送端发送同时具有纠错与检错能力的码组23有限域有限域是指有限个元素的集合，可以进行按规定的代数四则运算，其运算结果仍属于该集合中有限的元素。有限域有限域是指有限个元素的集合，可以进行按规定的代数四则运24最简单的有限域是编码理论中最基本的｛0，1｝二元集合构成的有限域。设｛0，1｝为一个二元集合，在其中规定如下的加法和乘法运算：（见教材386）集合｛0，1｝所规定的加法和乘法构成一个域，称它为二元域，记为GF(2)或F2.最简单的有限域是编码理论中最基本的｛0，1｝二元集合构成的有25线性分组码中的线性是指码组中码元间的约束关系是线性的，而分组则是对编码方法而言，即编码时将每k个信息位分为一组进行独立处理，变换成长度为n(n＞k)的二进制码组。9.2线性分组码返回目录线性分组码中的线性是指码组中码元间的约束关系是线性的，而分组26线性分组码的码字的集合C对加法封闭，即若，则。它表示线性分组码中任意两个码字的线性组合仍是分组码中的一个码字。线性分组码的一些基本概念线性分组码的码字的集合C对加法封闭，即若27全零序列是线性分组码中的一个码字因为对于任意两非全零码字及两者之和，此三者的和必为全零序列。全零序列是线性分组码中的一个码字283线性分组码中任意两个不同码字间汉明距离的最小值为码组的最小距离3线性分组码中任意两个不同码字间汉明距离的最小值为码组的最294除全零码外,码字的最小重量称为码组的最小重量:通信原理第9章课件305、线性分组码各码字之间的最小距离等于某非零码字的最小汉明重量5、线性分组码各码字之间的最小距离等于某非零码字的最小汉明重31定义：若信息分组以不变的形式出现在线性分组码的任意k位中，则称此码组为系统码，否则为非系统码。9.2.2生成矩阵和监督矩阵定义：若信息分组以不变的形式出现在线性分组码的任意k位中，则32生成矩阵G一定是k行n列的k×n阶矩阵，该生成矩阵G的每行构成一行矢量，共有k个行矢量线性分组码的每个码组是生成矩阵G各行矢量的线性组合。G的每一行是一个码字生成矩阵G的各行线性有关。如果生成矩阵G不具备1.生成矩阵性质生成矩阵G一定是k行n列的k×n阶矩阵，该生成矩阵G的每行构332.监督矩阵监督矩阵是一个（n-k）xn阶矩阵2.监督矩阵监督矩阵是一个（n-k）xn阶矩阵34生成矩阵和监督矩阵之间生成矩阵和监督矩阵之间35监督矩阵的重要特性1、由H矩阵可以建立线性分组码的线性方程组2、H矩阵的每行与它的分组码中的每一码子的内积为03、任何一个（n,k）线性分组码的H矩阵有（n-k）行，且每行线性无关。监督矩阵的重要特性1、由H矩阵可以建立线性分组码的线性方程组364、一个（n,k,d）线性分组码，若要纠正小于等于t个错误，则其充要条件是H矩阵中任何2t列线性无关，由于最小距离d=2t+1，所以也相当于要求H矩阵中任意（d-1）列线性无关。5、由系统码的典型生成矩阵可以方便的得到典型监督矩阵4、一个（n,k,d）线性分组码，若要纠正小于等于t个错误，37一个n维码字空间中，子空间k维与n-k维为一对对偶的子空间。若一个码的对偶码是它本身，则称该码为自对偶码，显然，自对偶码是一个（2k,k）形式的线性分组码。9.2.3对偶码一个n维码字空间中，子空间k维与n-k维为一对对偶的子空间。389.2.4系统码的编码与译码图9.2.1线性分组（7，3）系统马编码器9.2.4系统码的编码与译码图9.2.1线性分组（7，339图9.2.2线性分组（7，4）系统码编码器图9.2.2线性分组（7，4）系统码编码器40线性分组码的码译图9.2.3二元信道的模型线性分组码的码译图9.2.3二元信道的模型419.2.5汉明码汉明码的H矩阵可以用任意次序的列排0的m重组成。比如m=3，可得到一个n=7的汉明码，其H矩阵中的列有所有非0三重组成。9.2.5汉明码汉明码的H矩阵可以用任意次序的42循环码最引人注目的特点是：首先它可以用反馈线性移位寄存器很容易地实现其编码和伴随式计算，其次由于循环码有许多固有的代数结构，从而可以找到各种简单实用的译码方法。由于循环码具有很多的良好性质，所以它在理论和实践中都很重要。9.3循环码返回目录循环码最引人注目的特点是：首先它可以用反馈线性移位寄存器很容43定义：设C是某（n,k）线性分组码的码字集合，如果对任何，它的循环移位也属于C，则称该（n,k）码为循环码。

9.3.1基本概念定义：设C是某（n,k）线性分组码的码字集合，如果对任何44由于对任意一个长为n的码字可用一多项式来表示，称其为码多项式9.3.2多项式描述由于对任意一个长为n的码字9.3.2多项式描述45(1)多项式加法和乘法运算(2)多项式的模运算(3)循环码多项式的模运算多项式的运算(1)多项式加法和乘法运算多项式的运算46定义：记C(x)为(n,k)循环码的所有码字对应的多项式的集合，若g(x)是C(x)中除0多项式以外次数最低的多项式，则称g(x)为这个循环码的生成多项式9.3.3生成多项式与生成矩阵1.循环码的生成多项式定义：记C(x)为(n,k)循环码的所有码字对应的多项式的集47g(x)特性g(x)的0次项是1；g(x)是唯一的，即C(X)中除0多项式以外次数最低的多项式只有一个；循环码的每一码多项式C(X)都是g(x)的倍式，且每一个小于等于（n-1）次的g(x)倍式一定是码多项式g(x)的次数是（n-k）;g(x)是（x的n次方+1）的一个因子。g(x)特性g(x)的0次项是1；48系统码的构成2.系统循环码的构成及其生成矩阵系统码的构成2.系统循环码的构成及其生成矩阵49系统码的循环码生成矩阵系统码的循环码生成矩阵509.3.4监督多项式与监督矩阵如果生成矩阵是

则监督矩阵为两者满足9.3.4监督多项式与监督矩阵如果生成矩阵是则监督矩阵为51循环码编码器有两类：一是g(x)的乘法电路；一是g(x)的除法电路。

图9.3.2（7，4）循环系统码编码电路9.3.5编码与译码电路1、循环码的编码电路循环码编码器有两类：一是g(x)的乘法电路；一是g(x)的除522、循环码的译码电路定义：若（n,k）循环码的生成多项式是g(x),是接收到的n比特组对应的多项式，则称为接收到y(x)后的伴随示。

2、循环码的译码电路定义：若（n,k）循环码的生成多项式是g53通常可采用增加信息位、校验位来增加码组长度，减少信息位、校验位来减少码组长度；或者用增、减码子的数目来保持码组长度不变。9.3.6编码的加长与缩短通常可采用增加信息位、校验位来增加码组长度，减少信息位、校验54

9.3.7循环冗余校验CRC将接受到的码组进行出发运算，如果除尽，则说明传输无误；如果未除尽，则表明传输出现差错，要求发送端重发。用于这种目的的循环码经常被成为循环冗余校验码，即CRC校验码。9.3.7循环冗余校验CRC将接受到的码组进行出发运55CRC的编码结果有种，它们都是g(x)的倍数。信道中可能发生的非全0错误图样共有种。CRC的编码结果有种，它们都是g(x)的倍数。信56在许多应用中，出错本身是小概率事件，除措时错误图样恰好是g(x)的倍数的概率更小。因而一般来说CRC是一个强有力的验错码。CRC位数越长则验错能力也越强，不过编码效率也越低。在许多应用中，出错本身是小概率事件，除措时错误图样恰好是g(579.4BCH码若循环码的生成多项式具有如下形式则由此生成的循环码称为BCH码。返回目录9.4BCH码若循环码的生成多项式具有如下形式则由此生成58可以检测出的错误 （1）突发长度n-k的突发错误； （2）大部分突发长度＝n-k+1的错误； （3）大部分突发长度n-k+1的错误； （4）所有与许用码组的码距dmin-1的错误； （5）所有奇数个随机错误。可以检测出的错误59BCH码的码长为奇数，在实际使用中，为了得到偶数码长，并增加其检错性能，可以在BCH码的生成多项式中乘上一个（x+1）因子，从而得到（n+1,k+1）扩展BCH码，其码长为偶数。BCH码的码长为奇数，在实际使用中，为了得到偶数码长，并增加60卷积码又称连环码，它和分组码有明显的区别。线性分组码无记忆性。卷积码则不同，每个（n,k）码段（也称子码）n个码元不仅与该码段内的信息元有关，而且与前面m段的信息元有关。9.5卷积码返回目录卷积码又称连环码，它和分组码有明显的区别。线性分组码无记忆性61图9.5.2卷积码编码其原理图9.5.1卷积码编码图9.5.2卷积码编码其原理图9.5.1卷积码编码62描述这类时序网络的方法很多，它大致可分为两大类型：解析表示法与图形表示法。在解析法中又可分为离散卷积法、生成矩阵法、码多项式法等；在图形表示法中也可分为状态图法、树图法、格图法等。描述这类时序网络的方法很多，它大致可分为两大类型：解析表示法63离散卷积、生成矩阵和码多项式，均可用来描述卷积码的编码。其中离散卷积主要用于卷积码的定义，生成矩阵主要用于理论分析，码多项式用于工程最方便。离散卷积、生成矩阵和码多项式，均可用来描述卷积码的编码。其中64图9.5.5编码效率为1/2，约束长度K=3的（2，1，3）卷积编码器图9.5.5编码效率为1/2，约束长度K=3的（2，1，365除了上述三种解析表达式描述方式以外，还可以用比较形象的状态图、树图、网格图来描述卷积码。除了上述三种解析表达式描述方式以外，还可以用比较形象的状态图66（1）（2，1，3）卷积码状态图图9.5.6（2，1，3）卷积码状态图（1）（2，1，3）卷积码状态图图9.5.6（2，1，3）67（2）（2，1，3）卷积码树图图9.5.7（2，1，3）卷积码树图表示（2）（2，1，3）卷积码树图图9.5.7（2，1，3）卷68图9.5.8（2，1，3）卷积码网格图表示法图9.5.8（2，1，3）卷积码网格图表示法69代数译码------根据卷积码的本身编码结构进行译码，译码时不考虑信道的统计特性。概率译码------这种译码在计算时要考虑信道的统计特性。典型的算法如：Viterbi译码、序列译码等。

9.5.2卷积码的译码代数译码------根据卷积码的本身编码结构进行译码，译码时70最大似然译码可解释为：收到y后，将y与所有可能码序列分别比较它们之间的汉明距离，选择出与y的汉明距离最小的那个序列作为最佳译码结果。在用网格图描述时，最大似然译码即是在网格图中所有可能路径集合中选择其中一条与接收到的y序列之间的汉明距离最小的路径作为译码结果。1、最大似然译码最大似然译码可解释为：收到y后，将y与所有可能码序列分别比较71在用网格图描述时，译码过程中只需考虑整个路径集合中那些能使似然函数最大的路径。如果在某一节点上发现某路径已不可能获得最大对数似然函数，那么就放弃这条路经，然后在剩下的路径中重新选择译码路径，这样一直进行到最后一级。2、维特比译码在用网格图描述时，译码过程中只需考虑整个路径集合中那些能使似72维特比算法，即是找出通过网格图中具有最大度量值的最大似然路径。这个算法在实际应用中是采用迭代方式来处理的。在每一步中，它将进入每一状态的所有路径的度量值进行比较，并存储具有最大度量值的路径，即幸存路径。维特比算法，即是找出通过网格图中具有最大度量值的最大似然路径73维特比算法的一些说明未特殊说明，均假设从全0状态开始译码（即缺省假设编码的初始状态为全0）卷积码的判决可以在译码10~20N之后，（译码时延）由于每时刻每状态只保留一条“幸存”路径，判决时只要比较各状态的“幸存”路径度量值，即可确定最小路径。维特比算法的一些说明未特殊说明，均假设从全0状态开始译码（即74最小距离dmin是指卷积码中长度为nK的编码序列之间的最小汉明距离。自由距离df指任意长度卷积码编码序列之间的最小汉明距离。9.5.3卷积码的距离特性最小距离dmin是指卷积码中长度为nK的编码序列之间的最小汉75对于码率为1/n的卷积码，1968年HeIIer给出了下列的一个简单上界。对于码率为1/n的卷积码，1968年HeIIer给出了下列的76最典型的突发干扰是变参信道中的快衰落干扰，闪电与人为的电气脉冲干扰也往往构成突发干扰，另外在光盘数字音频记录系统中，若存储介质受到刮痕和手指印，则会造成成串的差错。9.6纠正突发错误码返回目录最典型的突发干扰是变参信道中的快衰落干扰，闪电与人为的电气脉77纠突发差错，既可采用分组码，也可采用卷积码。在分组码中，循环码不仅对检测突发差错很有效，而且对纠正突发差错也很有效。其中最为典型的是法尔码和RS码，它们是一类纠正突发差错的循环码，且能用很简单的电路实现译码。纠突发差错，既可采用分组码，也可采用卷积码。在分组码中，循环78现有编码的纠突发错能力分组码对突发错和随机错的纠错能力基本相当，但码长较短，稍长一些的突发也无能为力也有专门针对突发错设计的分组码，但纠随机错的能力相应降低现有编码的纠突发错能力分组码对突发错和随机错的纠错能力基本相799.7交织交织原理实现方框图返回目录9.7交织交织原理实现方框图返回目录80分组交织实现方框图分组交织实现方框图81任何长度的突发差错，经交织变换后，成为至少被N-1位隔开后的一些单个独立错误。任何长度的突发性差错，经去交织变换后，可将长突发变换成短突发，其突发长度为：分组周期交织方法的特性任何长度的突发差错，经交织变换后，成为82完成交织与去交织变换在不计信道时延的条件下，两端间的时延为2MN个符号，而交织与去交织各时延MN个符号。在很特殊的情况下，周期为M个符号单个独立差错序列经去交织后，会产生相应序列长度的突发错误。完成交织与去交织变换在不计信道时延的条件下，两端间的时延为283图9.7.3卷积交织器实现框图图9.7.3卷积交织器实现框图84交织器的三个重要参数交织延迟交织前相邻的符号在交织后的最小距离称为交织深度交织后相邻的符号在交织前的最小距离称为交织宽度交织器的三个重要参数交织延迟85级联码的最初想法是为了进一步降低残余误码率（改善渐近性能），但事实上它同样可以提高较低信噪比下的性能。这是由较好构造的短码进一步构造性能更好的长码（近随机码）的一种途径。9.8级联码返回目录级联码的最初想法是为了进一步降低残余误码率（改善渐近性能），86图9.8.1标准级连码系统图9.8.1标准级连码系统87图9.8.2级连码性能曲线图9.8.2级连码性能曲线88图9.9.1Turbo码编码框图9.9Turbo码返回目录图9.9.1Turbo码编码框图9.9Turbo码89图9.9.2Turbo码译码框图图9.9.2Turbo码译码框图90寻找构造好码的规律（分量码构造，交织器构造等）译码延时大，译码算法复杂广泛应用于移动通信、军事通信、深空及卫星通信等Turbo码具有优越性能的原因寻找构造好码的规律（分量码构造，交织器构造等）Turbo码具919.10高效率信道编码网格编码调制（TCM）引入了编码和调制相结合统一进行设计的方法，在不增加信道传输带宽的前提下降低差错率编码。

UB码是一类调制联合优化的编码，它一般是利用（n+1,n,K）卷积码，其中n表示输入消息，n+1表示输出元码，K表示编码器的约束长度。返回目录9.10高效率信道编码网格编码调制（TCM）引入了编码和92图9.10.48psk调制信号子集划分图图9.10.48psk调制信号子集划分图93TCM是利用“子集划分”理论，而不是利用传统的扩展频带来获取编码增益的，故其频谱效率高，并称为高效编码调制。TCM的实现TCM是利用“子集划分”理论，而不是利用传统的扩展频带来获取94星座中的所有信号点数大于未编码同类调制所需的信号点数，通常是信号点扩大1倍，扩大后多余的信号点为纠错编码提供了冗余度。采用卷积码在信号点之间引入某种依赖性，只有某些信号点序列是允许出现的，这些允许信号点序列可以模型化为网格结构，故称为网格编码调制。最佳分割的特点星座中的所有信号点数大于未编码同类调制所需的信号点数，通常是95

通信原理(合订本)陈洁普通高等教育“九五”国家级重点教材通信原理课程建设教材系列通信原理(合订本)陈洁普通高等教育“九五”969.1信道编码的基本概念9.2线性分组码9.3循环码9.4BCH码9.5卷积码第九章信道编码9.6纠正突发错误码9.7交织9.8级连码9.9Turbo码9.10高效率信道编码9.1信道编码的基本概念第九章信道编码9.6纠正突97信道编码的目的目的：为了改善数字通信系统的传输质量。与信源编码比较差错产生的来源：由于实际信道存在噪声和干扰的影响，使得经信道传输后所接收的码元与发送码元之间存在差异，称这种差异为差错。信道编码的目的目的：为了改善数字通信系统的传输质量。98两种简单的信道编码（1）重复码(2)线性分组码两种简单的信道编码（1）重复码999.1信道编码的基本概念基本思路：根据一定的规律在待发送的信息码中加入一些人为多余的码元，以保证传输过程可靠性。任务：构造出以最小多余度代价换取最大抗干扰性能的“好码”。返回目录9.1信道编码的基本概念基本思路：根据一定的规律在待发送的100不同的发送方式：1重复码（1）不重复发送（效率,检错能力）(2)重复一次发送（效率，检错能力）(3)重复两次发送（效率，纠错能力，检错能力）不同的发送方式：1重复码（1）不重复发送（效率,检101图9.1.1重复编码图9.1.1重复编码102重复码译码规则如果收到的信息序列y中多数比特是“1”则判定发送的是“1”，否则判发“0”。例9.1.1，算出错的概率。重复码译码规则如果收到的信息序列y中多数比特是“1”则判定发103重复码的优缺点优点：重复次数n越大，抗干扰性越好缺点：编码效率太低，不是好办法。重复码的优缺点优点：重复次数n越大，抗干扰性越好104线性分组码构造步骤：（1）将输入信息分成k位一组进行编码（2）按照一定线性规律加上人为多余的码元，构成n(n>k)位一组的输出（3）一般用符号(n,k)表示。线性分组码构造步骤：105多余码元的作用人为多余码元是供接收端检查、纠正在传输中产生错误的码元用，故称它为监督码元，又称校验码元。多余码元的作用人为多余码元是供接收端检查、纠正在传输中产生错106（1）码重在线性分组码中，通常把码组(字)中所含“1”的数目定义为码组(字)重量，记为Wc。比如在(3，1)重复码中码重（汉明重量）码重（汉明重量）107（2）码距把两个码组中对应位置上不同分量数目定义为码组距离，记为.显然，码组间的最小距离的大小直接决定线性分组码的检错能力。码距（汉明距离）（2）码距码距（汉明距离）108（1）检测e个独立随机错误，则要求的最小距离

（2）纠正t个随机错误，则要求的最小距离（3）纠正t个同时检测e（>t)个随机错误，则要求的最小距离3.分组码的纠（检）错能力与最小码距的关系（1）检测e个独立随机错误，则要求的最小距离（2）纠正t个109平均每个编码器输出符号所携带的信息比特数称为编码效率，简称码率。4、编码效率平均每个编码器输出符号所携带的信息比特数称为编码效率，简称码110偶（奇）数监督码编码规则

5、偶奇监督码偶（奇）数监督码编码规则111偶数监督码要保证码组中“1”的个数是偶数，即满足在码组中信息位和监督位模2和为“0”。这种码能发现奇数个在传输中的差错，即在接收端，按照上述模2相加方程，将码组中各码元模2相加，若结果为“1”则认为有差错，结果为“0”则认为无差错。偶数监督码要保证码组中“1”的个数是偶数，即满足在码组中信息112奇数监督码同偶数监督码设计方法一样，只不过这时码组中“1”的个数为奇数。偶（奇）监督码可记为（n,n-1)码。奇数监督码同偶数监督码设计方法一样，只不过这时码组中“1”的113重复码和偶（奇）监督码（1）两类码构造都很简单，但都达不到既可靠又有效的要求。（2）这两类码恰好是在可靠性和有效性两重指标各走极端的两类码。重复码和偶（奇）监督码（1）两类码构造都很简单，但都达不到既114在数字和数据的信息与通信系统中，利用信道编码提高系统的可靠性，控制差错。其主要方式有三种：前向纠错(FEC)反馈重传(ARQ)混合差错控制(HEC)。3.前向纠错、反馈重传和混合差错控制在数字和数据的信息与通信系统中，利用信道编码提高系统的可靠性115前向纠错(FEC)发端发送具有一定纠错能力的码，收端译码时，若传输中产生差错的数目在码的纠错能力之内译码器可以对差错进行定位并自动加以纠正。反之，若差错数目大于纠错能力则无能为力。优点：不需要反馈信道并能自动纠正差错，所以它比较适合于实时传输系统。前向纠错(FEC)发端发送具有一定纠错能力的码，收端译码时，116反馈重传(ARQ)发送一个码字给收端并等待从收端发挥应答信号，若应答信号是肯定的则发送下一个码字，若应答信号是否定的则发端重发该码字，一直到收到肯定的应答信号为止。优点：只需要少量的多余码元就能获得极低的输出误码率，所以实现简单且成本低。缺点：必须有反馈信道，因而不能用于实时通信系统与单向传输系统，且效率低。反馈重传(ARQ)发送一个码字给收端并等待从收端发挥应答信号117混合差错控制（HEC)发送端发送同时具有纠错与检错能力的码组，接收端译码时，检查差错情况，如果差错在码的纠错能力以内则自动加以纠正如果干扰很严重，错误很多，超出了码的纠错能力，但能检测出错来，则可经反馈信道请求发端重发这组数据。混合差错控制（HEC)发送端发送同时具有纠错与检错能力的码组118有限域有限域是指有限个元素的集合，可以进行按规定的代数四则运算，其运算结果仍属于该集合中有限的元素。有限域有限域是指有限个元素的集合，可以进行按规定的代数四则运119最简单的有限域是编码理论中最基本的｛0，1｝二元集合构成的有限域。设｛0，1｝为一个二元集合，在其中规定如下的加法和乘法运算：（见教材386）集合｛0，1｝所规定的加法和乘法构成一个域，称它为二元域，记为GF(2)或F2.最简单的有限域是编码理论中最基本的｛0，1｝二元集合构成的有120线性分组码中的线性是指码组中码元间的约束关系是线性的，而分组则是对编码方法而言，即编码时将每k个信息位分为一组进行独立处理，变换成长度为n(n＞k)的二进制码组。9.2线性分组码返回目录线性分组码中的线性是指码组中码元间的约束关系是线性的，而分组121线性分组码的码字的集合C对加法封闭，即若，则。它表示线性分组码中任意两个码字的线性组合仍是分组码中的一个码字。线性分组码的一些基本概念线性分组码的码字的集合C对加法封闭，即若122全零序列是线性分组码中的一个码字因为对于任意两非全零码字及两者之和，此三者的和必为全零序列。全零序列是线性分组码中的一个码字1233线性分组码中任意两个不同码字间汉明距离的最小值为码组的最小距离3线性分组码中任意两个不同码字间汉明距离的最小值为码组的最1244除全零码外,码字的最小重量称为码组的最小重量:通信原理第9章课件1255、线性分组码各码字之间的最小距离等于某非零码字的最小汉明重量5、线性分组码各码字之间的最小距离等于某非零码字的最小汉明重126定义：若信息分组以不变的形式出现在线性分组码的任意k位中，则称此码组为系统码，否则为非系统码。9.2.2生成矩阵和监督矩阵定义：若信息分组以不变的形式出现在线性分组码的任意k位中，则127生成矩阵G一定是k行n列的k×n阶矩阵，该生成矩阵G的每行构成一行矢量，共有k个行矢量线性分组码的每个码组是生成矩阵G各行矢量的线性组合。G的每一行是一个码字生成矩阵G的各行线性有关。如果生成矩阵G不具备1.生成矩阵性质生成矩阵G一定是k行n列的k×n阶矩阵，该生成矩阵G的每行构1282.监督矩阵监督矩阵是一个（n-k）xn阶矩阵2.监督矩阵监督矩阵是一个（n-k）xn阶矩阵129生成矩阵和监督矩阵之间生成矩阵和监督矩阵之间130监督矩阵的重要特性1、由H矩阵可以建立线性分组码的线性方程组2、H矩阵的每行与它的分组码中的每一码子的内积为03、任何一个（n,k）线性分组码的H矩阵有（n-k）行，且每行线性无关。监督矩阵的重要特性1、由H矩阵可以建立线性分组码的线性方程组1314、一个（n,k,d）线性分组码，若要纠正小于等于t个错误，则其充要条件是H矩阵中任何2t列线性无关，由于最小距离d=2t+1，所以也相当于要求H矩阵中任意（d-1）列线性无关。5、由系统码的典型生成矩阵可以方便的得到典型监督矩阵4、一个（n,k,d）线性分组码，若要纠正小于等于t个错误，132一个n维码字空间中，子空间k维与n-k维为一对对偶的子空间。若一个码的对偶码是它本身，则称该码为自对偶码，显然，自对偶码是一个（2k,k）形式的线性分组码。9.2.3对偶码一个n维码字空间中，子空间k维与n-k维为一对对偶的子空间。1339.2.4系统码的编码与译码图9.2.1线性分组（7，3）系统马编码器9.2.4系统码的编码与译码图9.2.1线性分组（7，3134图9.2.2线性分组（7，4）系统码编码器图9.2.2线性分组（7，4）系统码编码器135线性分组码的码译图9.2.3二元信道的模型线性分组码的码译图9.2.3二元信道的模型1369.2.5汉明码汉明码的H矩阵可以用任意次序的列排0的m重组成。比如m=3，可得到一个n=7的汉明码，其H矩阵中的列有所有非0三重组成。9.2.5汉明码汉明码的H矩阵可以用任意次序的137循环码最引人注目的特点是：首先它可以用反馈线性移位寄存器很容易地实现其编码和伴随式计算，其次由于循环码有许多固有的代数结构，从而可以找到各种简单实用的译码方法。由于循环码具有很多的良好性质，所以它在理论和实践中都很重要。9.3循环码返回目录循环码最引人注目的特点是：首先它可以用反馈线性移位寄存器很容138定义：设C是某（n,k）线性分组码的码字集合，如果对任何，它的循环移位也属于C，则称该（n,k）码为循环码。

9.3.1基本概念定义：设C是某（n,k）线性分组码的码字集合，如果对任何139由于对任意一个长为n的码字可用一多项式来表示，称其为码多项式9.3.2多项式描述由于对任意一个长为n的码字9.3.2多项式描述140(1)多项式加法和乘法运算(2)多项式的模运算(3)循环码多项式的模运算多项式的运算(1)多项式加法和乘法运算多项式的运算141定义：记C(x)为(n,k)循环码的所有码字对应的多项式的集合，若g(x)是C(x)中除0多项式以外次数最低的多项式，则称g(x)为这个循环码的生成多项式9.3.3生成多项式与生成矩阵1.循环码的生成多项式定义：记C(x)为(n,k)循环码的所有码字对应的多项式的集142g(x)特性g(x)的0次项是1；g(x)是唯一的，即C(X)中除0多项式以外次数最低的多项式只有一个；循环码的每一码多项式C(X)都是g(x)的倍式，且每一个小于等于（n-1）次的g(x)倍式一定是码多项式g(x)的次数是（n-k）;g(x)是（x的n次方+1）的一个因子。g(x)特性g(x)的0次项是1；143系统码的构成2.系统循环码的构成及其生成矩阵系统码的构成2.系统循环码的构成及其生成矩阵144系统码的循环码生成矩阵系统码的循环码生成矩阵1459.3.4监督多项式与监督矩阵如果生成矩阵是

则监督矩阵为两者满足9.3.4监督多项式与监督矩阵如果生成矩阵是则监督矩阵为146循环码编码器有两类：一是g(x)的乘法电路；一是g(x)的除法电路。

图9.3.2（7，4）循环系统码编码电路9.3.5编码与译码电路1、循环码的编码电路循环码编码器有两类：一是g(x)的乘法电路；一是g(x)的除1472、循环码的译码电路定义：若（n,k）循环码的生成多项式是g(x),是接收到的n比特组对应的多项式，则称为接收到y(x)后的伴随示。

2、循环码的译码电路定义：若（n,k）循环码的生成多项式是g148通常可采用增加信息位、校验位来增加码组长度，减少信息位、校验位来减少码组长度；或者用增、减码子的数目来保持码组长度不变。9.3.6编码的加长与缩短通常可采用增加信息位、校验位来增加码组长度，减少信息位、校验149

9.3.7循环冗余校验CRC将接受到的码组进行出发运算，如果除尽，则说明传输无误；如果未除尽，则表明传输出现差错，要求发送端重发。用于这种目的的循环码经常被成为循环冗余校验码，即CRC校验码。9.3.7循环冗余校验CRC将接受到的码组进行出发运150CRC的编码结果有种，它们都是g(x)的倍数。信道中可能发生的非全0错误图样共有种。CRC的编码结果有种，它们都是g(x)的倍数。信151在许多应用中，出错本身是小概率事件，除措时错误图样恰好是g(x)的倍数的概率更小。因而一般来说CRC是一个强有力的验错码。CRC位数越长则验错能力也越强，不过编码效率也越低。在许多应用中，出错本身是小概率事件，除措时错误图样恰好是g(1529.4BCH码若循环码的生成多项式具有如下形式则由此生成的循环码称为BCH码。返回目录9.4BCH码若循环码的生成多项式具有如下形式则由此生成153可以检测出的错误 （1）突发长度n-k的突发错误； （2）大部分突发长度＝n-k+1的错误； （3）大部分突发长度n-k+1的错误； （4）所有与许用码组的码距dmin-1的错误； （5）所有奇数个随机错误。可以检测出的错误154BCH码的码长为奇数，在实际使用中，为了得到偶数码长，并增加其检错性能，可以在BCH码的生成多项式中乘上一个（x+1）因子，从而得到（n+1,k+1）扩展BCH码，其码长为偶数。BCH码的码长为奇数，在实际使用中，为了得到偶数码长，并增加155卷积码又称连环码，它和分组码有明显的区别。线性分组码无记忆性。卷积码则不同，每个（n,k）码段（也称子码）n个码元不仅与该码段内的信息元有关，而且与前面m段的信息元有关。9.5卷积码返回目录卷积码又称连环码，它和分组码有明显的区别。线性分组码无记忆性156图9.5.2卷积码编码其原理图9.5.1卷积码编码图9.5.2卷积码编码其原理图9.5.1卷积码编码157描述这类时序网络的方法很多，它大致可分为两大类型：解析表示法与图形表示法。在解析法中又可分为离散卷积法、生成矩阵法、码多项式法等；在图形表示法中也可分为状态图法、树图法、格图法等。描述这类时序网络的方法很多，它大致可分为两大类型：解析表示法158离散卷积、生成矩阵和码多项式，均可用来描述卷积码的编码。其中离散卷积主要用于卷积码的定义，生成矩阵主要用于理论分析，码多项式用于工程最方便。离散卷积、生成矩阵和码多项式，均可用来描述卷积码的编码。其中159图9.5.5编码效率为1/2，约束长度K=3的（2，1，3）卷积编码器图9.5.5编码效率为1/2，约束长度K=3的（2，1，3160除了上述三种解析表达式描述方式以外，还可以用比较形象的状态图、树图、网格图来描述卷积码。除了上述三种解析表达式描述方式以外，还可以用比较形象的状态图161（1）（2，1，3）卷积码状态图图9.5.6（2，1，3）卷积码状态图（1）（2，1，3）卷积码状态图图9.5.6（2，1，3）162（2）（2，1，3）卷积码树图图9.5.7（2，1，3）卷积码树图表示（2）（2，1，3）卷积码树图图9.5.7（2，1，3）卷163图9.5.8（2，1，3）卷积码网格图表示法图9.5.8（2，1，3）卷积码网格图表示法164代数译码------根据卷积码的本身编码结构进行译码，译码时不考虑信道的统计特性。概率译码------这种译码在计算时要考虑信道的统计特性。典型的算法如：Viterbi译码、序列译码等。

9.5.2卷积码的译码代数译码------根据卷积码的本身编码结构进行译码，译码时165最大似然译码可解释为：收到y后，将y与所有可能码序列分别比较它们之间的汉明距离，选择出与y的汉明距离最小的那个序列作为最佳译码结果。在用网格图描述时，最大似然译码即是在网格图中所有可能路径集合中选择其中一条与接收到的y序列之间的汉明距离最小的路径作为译码结果。1、最大似然译码最大似然译码可解释为：收到y后，将y与所有可能码序列分别比较166在用网格图描述时，译码过程中只需考虑整个路径集合中那些能使似然函数最大的路径。如果在某一节点上发现某路径已不可能获得最大对数似然函数，那么就放弃这条路经，然后在剩下的路径中重新选择译码路径，这样一直进行到最后一级。2、维特比译码在用网格图描述时，译码过程中只需考虑整个路径集合中那些能使似167维特比算法，即是找出通过网格图中具有最大度量值的最大似然路径。这个算法在实际应用中是采用迭代方式来处理的。在每一步中，它将进入每一状态的所有路径的度量值进行比较，并存储具有最大度量值的路径，即幸存路径。维特比算法，即是找出通过网格图中具有最大度量值的最大似然路径168维特比算法的一些说明未特殊说明，均假设从全0状态开始译码（即缺省假设编码的初始状态为全0）卷积码的判决可以在译码10~20N之后，（译码时延）由于每时刻每状态只保留一条“幸存”路径，判决时只要比较各状