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第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的基本概念8.2可分离变量的一阶微分方程8.3一阶线性微分方程8.4可降阶的高阶微分方程8.5二阶常系数线性微分方程8.6微分方程应用实例退出微分方程解法第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的基1

第八章微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。

微分方程解法第八章微分方程28.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。

解设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：微分方程解法8.1微分方程的基本概念3

例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为－4,问汽车是否会撞到小孩？解设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：微分方程解法例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发4在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要微分方程解法在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要微分方程5的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的基本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differentialequation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如微分方程解法的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的6等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。微分方程解法等都是常微分方程。微分方程解法7如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。微分方程解法如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个8的解，称为微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initialvaluecondition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为微分方程解法的解，称为微分方程的特解（particularsoluti9

从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integralcurve).如是方程（1）的积分曲线族,而微分方程解法从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线10

8.2可分离变量的一阶微分方程一阶微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).微分方程解法8.211例1求微分方程解首先分离变量，得微分方程解法例1求微分方程解首先分离变量，得微分方程解法12

以后为了方便起见，我们可把记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在条件解分离变量，得微分方程解法以后为了方便13例3种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数的最大容量为b，则种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子成正比，试确定种群生长规律。微分方程解法例3种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数14

8.3一阶线性微分方程

（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数微分方程解法8.3一阶线性微分方程（15二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,微分方程解法二.一阶线性非其次微分方程它们的解之间也必有某种关系。现在，16上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（methodofconstant）.将（5）式改写成两项之和的形式微分方程解法上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成微分方程17上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。微分方程解法上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=18方法二直接利用非齐次方程的通解公式（5），得微分方程解法方法二直接利用非齐次方程的通解公式（5），19(Bernoullidifferentialequation).微分方程解法(Bernoullidifferentialequati20

8.4可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differentialequationofhigherorder）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。微分方程解法8.4可降阶的高阶微分方程微分方程解法21

例2一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度试求其位移s与时间t的关系式。解由题意知则需要n个初值条件。微分方程解法试求其位移s与时22微分方程解法微分方程解法23

8.5二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶常系数线性微分方程（linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients），其中f(x)叫做自由项，当

时，方程（1）叫做二阶线性齐次微分方程，当时，方程（1）叫做二阶线性非齐次微分

方程。

微分方程解法8.5二阶常系数线性微分方程的微分方24下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构定理1如果是二阶线性齐次方程微分方程解法下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。微分方程解法25

微分方程解法微分方程解法26综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。微分方程解法综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。微27知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。微分方程解法知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和28二.二阶常系数线性齐次微分方程由定理2可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，使它和它的导数间只差一个常数因微分方程解法二.二阶常系数线性齐次微分方程各乘以常数因子后相加等于零，如29我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就归结为求特征方程的根：微分方程解法我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，微30特征方程的根齐次方程的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根微分方程解法特征方程的根齐次方程31三.二阶常系数线性非齐次微分方程由定理3可知，求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，可归结为求它对应的齐次方程的通解和它本身的一个特解。在解决了齐次方程的通解问题之后，这里只需讨论求非齐次方程（3）的一个特解的方法我们只介绍当方程（3）中的取两种常见形式时求的方法，这种方法的特点是不用积分就可求出来，把它叫做待定系数法。微分方程解法三.二阶常系数线性非齐次微分方程微分方程解法32

8.6微分方程应用实例许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第十章。一。嫌疑犯问题受害者的尸体于晚上7：30被发现。法医于晚上8：20赶到凶案现场，测得尸体体温为，一小时后，当尸体即将被抬走时，测得尸体温度为微分方程解法8.6微分方程33室温在几小时内始终保持，此案最大的嫌疑犯是张某，但张某声称自己是无罪的，并有证人说：“下午张某一直在办公室上班，5：00时打了一个电话，打完电话后就离开了办公室。”从张某的办公室到受害者家（凶案现场）步行需5分钟，现在的问题：是张某不在凶案现场的证言能否使他被排除在嫌疑犯之外？微分方程解法室温在几小时内始终保持，此案最大的嫌疑犯34人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能消失，尸体的温度受外界温度的影响。假定尸体温度的变化率服从牛顿冷却定律，即尸体温度的变化率正比于尸体温度与室温的差，即微分方程解法人体体温受大脑神经中枢调节，人死后体温调节功能35三.悬链线方程问题将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。解以绳索所在的平面为平面，设绳索最低点为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到另一点Q(x,y)的一段弧，该段弧长为，绳索线密度为,则这段绳索所受重力为。由于绳索是软的，微分方程解法三.悬链线方程问题微分方程解法36第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的基本概念8.2可分离变量的一阶微分方程8.3一阶线性微分方程8.4可降阶的高阶微分方程8.5二阶常系数线性微分方程8.6微分方程应用实例退出微分方程解法第八章微分方程与差分方程简介8.1微分方程的基37

第八章微分方程与差分方程简介我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程，我们需要从这些方程中求出所要的函数。本章主要介绍微分方程的基本概念及求解微分方程中未知函数的几种常见的解析方法；并对差分方程的有关内容做一简单介绍。

微分方程解法第八章微分方程388.1微分方程的基本概念一.引例例1一曲线通过（1，2），且在改曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。

解设所求曲线方程为y=y(x)，根据导数的几何意义，y(x)应满足：微分方程解法8.1微分方程的基本概念39

例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发现汽车前放20米处有一小孩在路上玩耍，司机立即刹车，已知汽车刹车后获得加速度为－4,问汽车是否会撞到小孩？解设汽车刹车后t秒内行驶了s米，根据题意，反映刹车阶段汽车运动规律的函数S=S(t),应满足方程：微分方程解法例2一汽车在公路上以10m/s的速度行驶，司机突然发40在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要微分方程解法在（9）式中令v=0,得到从开始刹车到完全停住所需要微分方程41的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的基本概念凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程（differentialequation）.未知函数为一元函数的微分方程，叫常微分方程（ordinarydifferentialequation）.未知函数为多元函数的微分方程，叫做偏微分方程（partialdifferentialequation）.这里我们只讨论常微分方程，简称为微分方程，例如微分方程解法的时间t=2.5秒，因此刹车后汽车行使距离为：二.微分方程的42等都是常微分方程。微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为该微分方程的阶（order），例如（1）和（12）为一阶微分方程，（5）和（11）为二阶微分方程，而（13）是n阶微分方程。微分方程解法等都是常微分方程。微分方程解法43如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解（solution）.将（3）。（4）为微分方程（1）的解，而（8）和（10）则是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解（generalsolution）.如（3）和（8）分别是微分方程（1）与（5）的通解。由于通解中含有任一常数，所以它还不能确切的反应某客观事物的特定规律。为此，要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，这种条件称为定解条件。确定了通解中的任意常数后所得。微分方程解法如果将一个函数代入微分方程后能是该方程成为恒等式，则称这个44的解，称为微分方程的特解（particularsolution）.如（10）是微分方程（5）的满足条件（6）的特解时刻的状态得到的定解条件，称为初值条件（initialvaluecondition）.初值条件的个数通常等于微分方程的阶数，一阶微分方程的初值条件一般为微分方程解法的解，称为微分方程的特解（particularsoluti45

从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线，称其为微分方程的积分曲线族，而特解则对应着积分曲线族中的某一条曲线，称其为积分曲线(integralcurve).如是方程（1）的积分曲线族,而微分方程解法从几何上看，微分方程的通解对应着平面上的一族曲线46

8.2可分离变量的一阶微分方程一阶微分方程（differentialequationoffirstorder）(differentialequationofseparatedvariables).微分方程解法8.247例1求微分方程解首先分离变量，得微分方程解法例1求微分方程解首先分离变量，得微分方程解法48

以后为了方便起见，我们可把记住结果中的常数C可正可负。显然y=0也是方程的解，它包含在通解之中，只要取C=0即可。例2求微分方程的通解即在条件解分离变量，得微分方程解法以后为了方便49例3种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数的最大容量为b，则种群生长速度不仅与t时刻种群数量N成正比，且与密度制约因子成正比，试确定种群生长规律。微分方程解法例3种群的自然生长受到环境资源的限制，若种群数50

8.3一阶线性微分方程

（lineardifferentialequationoffirstOrder),它的特点为左端是关于未知函数y及一阶导数微分方程解法8.3一阶线性微分方程（51二.一阶线性非其次微分方程由于其次方程（2）是非其次方程（1）当它们的解之间也必有某种关系。现在，我们把对应的其齐次方程的通解（3）中的任意常数C换成X的待定函数C（x）,即令情形，可以设想,微分方程解法二.一阶线性非其次微分方程它们的解之间也必有某种关系。现在，52上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成x的待定函数，并将其代入非齐次方程中以确定C(x)，从而求得非齐此方程的通解的方法叫做常数变易法（methodofconstant）.将（5）式改写成两项之和的形式微分方程解法上述将对应的齐次方程通解中的任意常数C替换成微分方程53上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=0，则得到第二项，它是非齐次方程（1）的一个特解。由此可知，一阶线性非齐次微分方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。对于高阶线性微分方程，其通解结构也有类似的结论。微分方程解法上式右端第一项是方程（1）对应的齐次方程（2）的通解，令C=54方法二直接利用非齐次方程的通解公式（5），得微分方程解法方法二直接利用非齐次方程的通解公式（5），55(Bernoullidifferentialequation).微分方程解法(Bernoullidifferentialequati56

8.4可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程（differentialequationofhigherorder）.对于有些高阶微分方程。可通过适当的变量代换将它转化为较低阶的方程来求解。下面介绍三种常见的可降阶的微分方程的求解方法。微分方程解法8.4可降阶的高阶微分方程微分方程解法57

例2一物体由静止状态开始做直线运动，其加速度试求其位移s与时间t的关系式。解由题意知则需要n个初值条件。微分方程解法试求其位移s与时58微分方程解法微分方程解法59

8.5二阶常系数线性微分方程的微分方程称为二阶常系数线性微分方程（linearsecondorderdifferentialequationwithconstantcoefficients），其中f(x)叫做自由项，当

时，方程（1）叫做二阶线性齐次微分方程，当时，方程（1）叫做二阶线性非齐次微分

方程。

微分方程解法8.5二阶常系数线性微分方程的微分方60下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。一.通解的结构定理1如果是二阶线性齐次方程微分方程解法下面先来讨论这类方程的性质及通解结构。微分方程解法61

微分方程解法微分方程解法62综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。微分方程解法综上所述，有如下关于二阶线性齐次微分方程的通解结构的定理。微63知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和它的一个特解之和。实际上，二阶及更高阶的线性非齐次方程的通解的结构也由类似的结论。微分方程解法知道，一结线性非齐次方程的通解等于它所对应的齐次方程的通解和64二.二阶常系数线性齐次微分方程由定理2可知，求二阶线性齐次微分方程的通解，可归结为求方程的两个线性无关的特解。二阶线性齐次方程的特点是各乘以常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数y，使它和它的导数间只差一个常数因微分方程解法二.二阶常系数线性齐次微分方程各乘以常数因子后相加等于零，如65我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，特征方程的根叫做特征根。求方程（2）的通解就归结为求特征方程的根：微分方程解法我们把代数方程（5）叫做微分方程（2）的特征方程，微66特征方程的根齐次方程的通解两个相异实根两个相等实根一对共扼复根微分方程解法特征方程