大一高数上册-第一章第四三、无穷小与无穷大关系

一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系第四节无穷小与无穷大一、无穷小1、定义:定义

1

如果对于任意给定的正数

(不论它多么小),总存在正数(

或正数X

),

使得对于适合不等式0

x

x0

(

或

x

X

)

的一切x

,

对应的函数值f

(

x

)都满足不等式

f

(

x)

,那末称函数

f

(

x)当x

x0

(或x

)时为无穷小记作

lim

f

(

x)

0

(或lim

f

(

x)

0).x

x0

x

极限为零的变量称为无穷小.x0例如,limsin

x

0,

函数sin

x是当x

0时的无穷小.x

x

lim

1

0,1函数 是当x

时的无穷小.x(1)nn

limn

0,数列{}是当n

时的无穷小.1)(nn注意

（1）无穷小是变量,不能与很小的数

;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.f

(x)

A

,

其中

为

x

x0时的无穷小量.2、无穷小与函数极限的关系:定理1.(无穷小与函数极限的关系)lim

f

(x)

Axx0证:lim

f

(x)

Axx0

0,

0,

当

0

x

x0

时,有f

(x)

A

f

(x)

A

lim

0xx0对自变量的其它变化过程类似可证.注：（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）此定理可表叙为：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小的和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，则该常数即为此函数的极限。3、无穷小的运算性质:定理2

在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证设及是当x

x0

0,为无穷小,1

0,使得20

1当0

|

x

x

|

时恒有

;20

2当0

|

x

x

|

时恒有

;注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如,n

时,1

是无穷小n之和为1不是无穷小.1n但n个对此

0,为无穷小,2

0,使得取

max{1

,2

},则当0

|

x

x0

|

时,恒有|

|

2

,|

|

2同时成立从而|

||

|

|

|

2

2

0

(

x

)定理3

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证设函数u在U

0

(

x

,

)内有界0

1则M

0,

1

0,

使得当0

x

x0

1时恒有u

M

.又设是当x

x0时的无穷小,

0,

2

0,

使得当0

x

x0

2时M恒有

.取

min{1

,

2

},

则当0

x

x0

时,

恒有Mu

u

M

,当x

x0时,u

为无穷小.推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论3

有限个无穷小的乘积也是无穷小.1xx12例如,当x

0时,

x

sin ,

x

arctan都是无穷小3xx

例1：求lim

cos

x

.二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.定义2设函数f

(x)在x0

某一去心邻域内有定义（或x

大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M

(不论它多么大),总存在正数(或正数X

),使得对于适合不等式0

x

x0

(或x

X

)的一切x

,对应的函数值

f

(x)总满足不等式f

(x)

M

,则称函数f

(x)当x

x0

(或x

)时为无穷大,记作lim

f

(x)

(或lim

f

(x)

).x

x0

x

特殊情形：正无穷大，负无穷大．(或

lim

f

(

x)

)x

x0(

x

)lim

f

(

x)

x

x0(

x

)注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数;变量,但是无（2）无穷大是一种特殊的界变量未必是无穷大.y

1

sin

1x

x是一个

变量,

但不是无穷大.例如,当x

0时,y

1

sin

1x

x(k

0,1,2,3,)22k

1k(1)

取

x

y(

x

)

2k

,kk当k充分大时,

y(

x

)

M

.212kk

0,(1,2,xk

,k(2)

取

x

当k

充分大时,但y(xk

)

2ksin

2k

0

M

.不是无穷大．，

.x

1

x

11例 证明lim证

M

0.

要使M

,1x

1只要

x

1

1

,M

M取

1

,1M

x

1当0

x

1

1

时,

就有1M

.

lim

.x

1

x

1定义:

如果

lim

f

(

x)

,则直线x

x0是函数y

f

(

x)x

x0的图形的铅直渐近线.1x

1y

三、无穷小与无穷大的关系定理4

在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证x

x0设

lim

f

(

x)

.1

0,

对于M

,

0,

使得当0

x

x0

时恒有

f

(

x)

M

1

.

.1f

(

x)即为无穷小.f

(

x)10当x

x

时,反之,设

lim

f

(

x)

0,且

f

(

x)

0.x

x0M

0,

0,

使得当0

x

x0

时M恒有

f

(

x)

1

,M

.1f

(

x)由于

f

(

x)

0,

从而为无穷大.f

(

x)10当x

x

时,,都可归结为关于无穷小意义关于无穷大的的

.四、小结无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容:

两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；变量未必是无穷大.一、极限的四则运算法则二、求极限的方法举例第五节极限运算法则一、极限运算法则定理设lim

f

(x)

A,lim

g(x)

B,则lim[

f

(

x)

g(

x)]

A

B;lim[

f

(

x)

g(

x)]

A

B;其中B

0.lim

f

(

x)

A

,g(

x)

B(3)注：1、此法则对于数列求极限同样使用；3、法则（1）与法则（2）可推广到有限个函数代数和与积的情形；4、法则（3）使用时一定要注意分母极限不能为0，否则不能用该法则5、推论：lim

Cf

(x)

C

lim

f(x)lim[

f

(

x)]n

[lim

f

(

x)]nlim

n

f

(

x)

n

lim

f

(

x)2、必须是同一极限过程二、求极限方法举例.

12

3

x

5x

3x

2

x例1

求

limx

2

lim

3

x

lim

5x

2

x

2x

2解

lim(

x

2

3

x

5)

lim

x

2

(lim

x)2

3

lim

x

lim

5x

2

x

2

x

2

1lim

3x

5x

2

x

2x

3lim(

x

2

3

x

5)

22

3

2

5

3

0,lim

x

3

lim

1x

2

x

2

x

2

37

.3

123小结:

1.

设

f

(

x)

a0

x

a1

x

an

,则有n

n1n0

1lim

f

(

x)

a

(

lim

x)n

a

(

lim

x)n1

ax

x0

x

x0

x

x0n

n1

a0

x0

a1

x0

an

f

(

x0

).02.

设

f

(

x)

P(

x)

,

且Q(

x

)

0,

则有lim

Q(

x)Q(

x)lim

P(

x)x

x0x

x0lim

f

(

x)

x

x00Q(

x

)P(

x

)

0

0

f

(

x

).则商的法则不能应用.若Q(x0

)

0,x

1解

lim(

x

2

2

x

3)

0,商的法则不能用x1又

lim(4

x

1)

3

0,4

x

1

2

x

3limx

2x

1

0.03由无穷小与无穷大的关系,得例2.

2

x

34

x

1x

1

x

2求lim

.lim

2

x

34

x

1x

1

x

2解.

12

2

x

3x

2x

1

x例3

求

limx

时

.先约去不为零的无穷小因子x

1后再求极限.lim2

lim

1 (

x

1)(

x

1)

2

x

3

x

3()(

x

1)x

1x

2x

1

xx

1

x

32

lim

x

1

1

.0(0

型)(消去零因子法).3

2

4

x

12

x

3

3

x

2

5x

7

x例4

求

lim解

x

时,

分子,分母的极限都是无穷大.(

型)先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.23x

3

3

xxx

3xlim

2

x2

3

5

4

x

2

1

5

limx

4

17

x

7

x

37

2

.(无穷小因子分出法)例53

2求limx

2x3x2

2x

1

x

5例6

求2x3

x2

5limx

3x2

2x

1小结:当a0

0,

b0

0,

m和n为非负整数时有,当n

m,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.0b0

1

n

b

xn1b

xn

a

xm

1a

xmx

lim

0

1

m

0,当n

m,a0

,当n

m,

b

a5(2

x

1)3

(3

x

4)2(2

x

3)x如求极限lim例7n2

n

).n2

n2

2n求lim(1解n

时,是无限lim(

1n2

n2

n2

n2nn

2

n

)

lim

1

2

nn21

n(n

1)

lim

2nn

2n

2

lim

1

(1

1

)

1

.先变形再求极限.22

32n2n(1

1

)又如：lim(1

1

)(1

1

)例8.sin

xxx

求lim解当x

时,1

为无穷小,x而sin

x是有界函数.x

lim

sin

x

0.x

xy

sin

x例9x1

x2

1x0求lim解：

lim(

1

x2

1)(

1

x2

1)x(

1

x2

1)1

x2

1limx0x0x1

x2

1

limx0

0x(

1

x2

1)x1

x2

1

limx0例10设f

(x)2x

0

x

1,

x

01

x,

x

0,求

lim

f

(

x).ox1yy

1

xy

x解

x

0是函数的分段lim

f

(

x)

lim

(1

x)

1,x

0

x

0lim

f

(

x)

lim

(

x

2

1)

1,x

0

x

0左右极限存在且相