胜者的钥匙(共16张PPT)

4•2证明23第1页，共16页。胜者的“钥匙”证明命题的一般步骤:

回顾与思考☞(1)根据题意,画出图形；(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；(3)在“证明”中写出推理过程.

依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善.第2页，共16页。

实验1：

先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图1），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。

ACB图1BAC图2BAC图4例3求证：三角形三个内角的和等于180º.AC图3B第3页，共16页。言必有“据”112ABD23C12实验2：

将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。第4页，共16页。＝∠DAE＝180º（平角的定义）三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.∠A=1800–(∠B+∠C).＝∠DAE＝180º（平角的定义）（辅助线通常画成虚线）检查表达过程是否正确、完善.∠B=1800–(∠A+∠C).∠C=1800–(∠A+∠B).∴∠AOB＝∠AOC＝Rt∠证明过点A作DE∥BC.它的作用是把分散的条件集中，把隐含例4已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于求证：∠B+∠BAD＝∠C+∠CAD.议一议：

在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC，（如图）。他的想法可行吗？ABCED你有没有其他的证法？证明过点A作DE∥BC.则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠BAD+∠CAE＝∠DAE＝180º（平角的定义）第5页，共16页。已知：如图，△ABC.求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°ABC12DE

证明:作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°∠Ａ+∠Ｂ+∠ＡＣＢ＝180°第6页，共16页。ABCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRMANBCTS图4PQRM第7页，共16页。三角形内角和定理三角形内角和定理三角形三个内角的和等于1800.△ABC中,∠A+∠B+∠C=1800.∠A+∠B+∠C=1800的几种变形:∠A=1800

–(∠B+∠C).∠B=1800

–(∠A+∠C).∠C=1800

–(∠A+∠B).∠A+∠B=1800-∠C.∠B+∠C=1800-∠A.∠A+∠C=1800-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.

三种语言☞ABC第8页，共16页。关于辅助线：辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.（辅助线通常画成虚线）添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.第9页，共16页。例3求证：三角形三个内角的和等于180º.（全等三角形的对应边相等）证明过点A作DE∥BC.∴∠AOB＝∠AOC＝Rt∠∠B=1800–(∠A+∠C).∠A+∠C=1800-∠B.∵BC⊥AD（已知）∠B=1800–(∠A+∠C).如图，比较∠1与∠2+∠3∴△ABC是等腰三角形∠1+∠2+∠ＡＣＢ＝180°∴∠D+∠CAD＝90º∴∠AOB＝∠AOC＝Rt∠在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120º，∠B＝15º，求∠C的度数。∴∠AOB＝∠AOC＝Rt∠由三角形内角和定理，很容易得到以下两个真命题：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。第10页，共16页。1）.在△ABC中，以A为顶点的一个外角为120º，∠B＝15º，求∠C的度数。做一做：231ACBDEZUOYIZUO2）.如图，比较∠1与∠2+∠3的大小，并证明你的判断。第11页，共16页。BDCAO

证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线（已知）

例4已知：如图，AD是∠BAC的平线，BC⊥AD于点O，AC⊥DC于点C，求证：（1）△ABC是等腰三角形；

∴△ABC是等腰三角形∴AB＝AC∴△ABO≌△ACO（ASA）又∵AO＝AO（公共边）

∴∠AOB＝∠AOC＝Rt∠∵BC⊥AD（已知）∴∠BAO＝∠CAO（角平分线的定义）(垂线的定义)（全等三角形的对应边相等）（等腰三角形的定义）第12页，共16页。例4已知：如图，AD是∠BAC的平分线，BC⊥AD于点O，AC⊥DC于点C，求证：

（2）∵AC⊥DC（已知）BDCAO(2)

∠D=∠B.∴∠B＝∠D.

∵∠BAD＝∠CAD∴∠B+∠BAD＝90º∵BC⊥AD（已知）∴∠D+∠CAD＝90º（直角三角形的两个锐角互余）（直角三角形的两个锐角互余）（角平分线的定义）（等角的余角相等）第13页，共16页。课内练习1.已知，如图，AD是△ABC的高.求证：∠B+∠BAD＝∠C+∠CAD.ABDC2.已知：如图，A，C是线段BD的垂直平分线上的任意两点.求证：∠ABC＝∠ADCBDCA第14页，共16页。

已知命题：如图，点A，D，B，E在同一直线上，