药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片

第四节中值定理洛必达法则一、中值定理二、洛必达法则

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一、中值定理

定理2-1（罗尔(Rolle)中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点

(a<<b),使得f()=0成立。

证明（1）若函数f(x)在闭区间[a,b]上为常数，则f(x)=0，因而，(a,b)内任何一点都可取作。（2）若函数f(x)在[a,b]上不是常数,必存在最大值M和最小值m，且M与m至少有一个不等于f(a)。xyoa1bCy=f(x)

药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第2页!不妨设M≠f(a),则在(a,b)内至少存在一点,使得f()=M。由于∈(a,b),故f()存在。而f()=M，所以，当x足够小时，f(+x)-f()≤0,若若二者又相等，所以f()=0成立。药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第3页!

拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。

药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第4页!所以函数F(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔中值定理的条件,则在开区间(a,b)内至少存在一点,使得即

拉格朗日中值定理的几何意义：一段连续曲线y=f(x)除端点外，处处有不垂直于x轴的切线，则在该段曲线上至少有一点(,f())的切线，与曲线端点的连线平行。药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第5页!

例2-27求证不等式sinx-siny≤x-y。

证明建立函数z=sint。函数z=sint在区间[x,y]（不妨设x≤y）上满足拉格朗日中值定理的条件，则在(x,y)内至少存在一点，使得所以即sinx-siny≤x-y药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第6页!构造辅助函数因为

，且F(a)=F(b)=0所以函数F(x)在[a,b]上满足罗尔中值定理的条件，则在(a,b)内至少存在一点，使得即药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第7页!当x→x0（或x→±∞）时的极限

lim

f(x)=lim

g(x)=0或∞，那么极限

可能存在，也可能不存在，通常称为不定式(未定式)(indefiniteform)记作

不定式：0/0,∞/∞,0·∞,1∞,00,∞-∞

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证明在条件（1）的邻域中任取一点x0，不妨设x>x0。由条件（1）知，函数f(x)、g(x)在区间[x,x0]上满足柯西中值定理的条件（若在x0点不连续，则补充定义f(x0)=0,g(x0)=0），则至少存在一点(x0,x)，使得当xx0时，必有x0

，所以药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第9页!

例2-28求

解设f(x)=e2x-1,g(x)=3x。两个函数满足洛必达法则中条件（1）、（2），且f

(x)=2e2x,g(x)=3。

由于所以，根据洛必达法则，药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第10页!

型未定式解法

方法：把它们转化成或型后，再用洛必达法则求极限。

型

例2-31求

解

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-型

例2-32求

解

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例2-34求

解设，则所以药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第13页!其他不定式:解决方法:通分转化取倒数转化取对数转化药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第14页!

罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线y=f(x)除端点外，处处有不垂直于x轴的切线（即可导），且在两个端点处的纵坐标相等（即f(a)=f(b)），则在该段曲线上至少有一点(,f())的切线与x轴平行。

例2-26已知f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)。不求导，判断方程f

(x)=0的实根个数和范围。

解

f(x)的连续性和可导性是明显的，且f(1)=f(2)=f(3)=0，故在区间[1，2]、[2，3]上均满足罗尔中值定理的条件，则在（1，2）内至少存在一点1，使得f

(1)=0；在（2，3）内至少存在一点2，使得f

(2)=0。而f

(x)=0是一元二次方程，最多有两个实根，分别在开区间（1，2）、（2，3）内。药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第15页!定理（拉格朗日(Lagrange)中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在开区间(a,b)内至少存在一点

(a<<b),使下面等式成立。

或f(b)-f(a)=f

()(b-a)

证明构造辅助函数则且F(a)=F(b)=0药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第16页!

推论2-3如果函数f(x)在开区间(a,b)内的导数恒等于零,则函数在开区间(a,b)内为常数。

证明任取x1、x2∈(a,b),则f(x)在闭区间[x1,x2]上满足拉格朗日定理条件,在（x1,x2）内至少存在一点,使得由于f

()=0，即f(x2)-f(x1)=0，f(x2)=f(x1)所以函数在开区间(a,b)内为常数。

推论2-4如果函数f(x)、g(x)在开区间(a,b)内恒有f

(x)=g(x),则在(a,b)内f(x)、g(x)相差一个常数，即f(x)=g(x)+C，其中C为常数。药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第17页!

定理2-3（柯西(Cauchy)中值定理）如果函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且g(x)≠0。则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得

成立。

证明

g(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,则在(a,b)内至少存在一点使得即g(b)-g(a)=g()(b-a)。由于g()≠0,故g(b)-g(a)≠0。药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第18页!二、洛必达法则洛必达是法国数学家。1661年生于巴黎；1704年2月2日卒于巴黎。洛必达出生于法国贵族家庭，青年时期一度任骑兵军官，因眼睛近视而自行告退，转向从事学术研究。15岁时解决了帕斯卡所提出的一个摆线难题。他是莱布尼茨微积分的忠实信徒，并且是约伯努利的高徒，法国科学院院士。.

药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第19页!洛必达法则(L´Hospital)法则如果函数f(x)、g(x)满足以下条件：（1）在x0点的某个邻域(x0点可除外)内可导,且g(x)≠0;（2）（3）存在。则存在，且药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第20页!

将xx0改为x，结论仍成立。因为，设，则当x时，t0。故

将条件（2）改为，即

为型不定式，结论也成立。药学高数8中值定理-洛必达法则幻灯片共26页，您现在浏览的是第21页!

例2-29